《工程力学基础》课件全套 张小英 单元1-12 受力分析-动载荷与交变应力

工程力学基

础单元1

受力分析力与平衡力与平衡～力与力系1.力:是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的外效应内效应运动状态或形状发生改变。作用的结果改变物体的 引起物体变运动状态 形力与平衡～力与力系1.力:是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生改变。⑴力的单位:N、kN⑵力的三要素:大小、方向和作用点⑶力是定位矢量力与平衡～集中力与均布力2.集中力与均布力⑴集中力：当力作用面积很小，则可将其抽象为一个点，这时作用力称为集中力。FAFA力与平衡～集中力与均布力2.集中力与均布力⑵均布力：如果接触面积比较大,力在整个接触面上均匀分布作用，这时的作用力称为均布力。qlF线均布力载荷集度

q单位:N/m

或

kN/m合力大 小:F

=ql (分布图面积)作用线:过分布图形心力与平衡～平衡3.平衡:在工程上一般是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。工程力学基

础单元1

受力分析刚体的概念与静力学公理刚体的概念与静力学公理～力系与刚体1.力系:是作用在同一物体上的若干个力的总称。⑴物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系⑵如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系⑶当一个力系与一个力的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而该力系中的每一个力称为合力的分力2.刚体:是指在受力状态下保持其几何形状和尺寸不变的物体。刚体是静力学中将实际物体进行抽象化的理想模型，静力学的研究对象是刚体。3.力的平行四边形法则:作用于物体同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向由以这两个力为边所构成的平行四边行的对角线所确定，即合力矢量等于这两个分力矢量的矢量和。矢量表达式：FR=

F1+F2AF1F2FR刚体的概念与静力学公理～静力学公理的与，4.二力平衡公理:作用于刚体上两个力，使刚体处于平衡的必要充分条件是：这两个力大小相等方向相反且作用于同一直线上。数学表达式：FA=-FB只有两个力作用下平衡的刚体又称为二力构件或二力杆二力杆的受力特点:两个力的方向必在二力作用点的连线上刚体的概念与静力学公理～静力学公理= =FAF1FABF2F1AB刚体的概念与静力学公理～静力学公理5.加减平衡力系公理:在作用着已知力系的刚体上，加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。推论⑴力的可传性：作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点，而不改变原力对刚体的作用效应推论⑵三力平衡汇交定理：如果刚体受同一平面的三个互不平行的力的作用而平衡，则此三个力的作用线必汇交于一点F1R1F2AA3F1F2=F3F3A3A2A1A刚体的概念与静力学公理～静力学公理5.加减平衡力系公理:在作用着已知力系的刚体上，加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。刚体的概念与静力学公理～静力学公理6.作用与反作用公理:两个物体间相互作用的一对力，总是大小相等，方向相反且共线，分别作用于这两个物体。☆静力学公理及推论的解读公理一 力的平行四边形法则---力的矢量求和公理二 二力平衡公理（二力平衡条件）---在两个力作用下并处于平衡的物体称为二力体，通常将受两个力作用而处于平衡的构件称为二力构件。二力构件的判断方法:①构件上只有两个约束，而且每个约束的约束力的方向一般都是不确定的；②除了受到两个约束以外，再没受到其它力的作用。公理三 加减平衡力系公理---只适用于刚体，因为平衡力系对刚体的运动状态改变没有影响。推论1

力的可传性---对刚体而言力的三要素中力的作用点可由力的作用线代替，因此，作用于刚体上的力的三要素为:力的大小、方向和作用线的位置。推论2

三力平衡汇交定理---刚体受同一平面且互不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。☆静力学公理及推论的解读公理四 作用与反作用公理（牛顿第三定律）---力永远是成对出现的，物体间的作用总是相互的，有作用力就有反作用力，两者总是同时存在，又同时消失

。☆静力学公理及推论的解读工程力学基

础单元1

受力分析约束与约束力1.约束的相关概念⑴约束：由周围物体所构成的、限制非自由体位移的条件⑵被约束体：运动受到限制或约束的物体⑶约束力：又称为约束反力，是约束对被约束体的反作用力约束与约束力～基本概念2.约束力的特点⑴是被动力，大小取决于作用于物体的主动力⑵总是作用在被约束体与约束体的接触处⑶方向总是与约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反约束与约束力～基本概念3.常见的几种约束柔性约束光滑圆柱铰链约束01 02刚性光滑面约束03 04固定端约束约束与约束力～常见约束及其约束力柔性约束(FT)特点：⑴只能限制被约束体沿绳索伸长方向的运动⑵力的方向总是背离被约束体PFTP约束与约束力～常见约束及其约束力刚性光滑面约束(FN)特点：⑴约束力通过接触点⑵沿公法线指向被约束体FN2OWW1W2FN1FN1FN2FN3WFN公切线公法线约束与约束力～常见约束及其约束力⑴固定铰链约束：构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起来，支座固定在地基或者其它结构上。光滑圆柱铰链约束---⑴固定铰链约束(Fx，Fy)结构简图约束与约束力～常见约束及其约束力FxFy结构简图力学简图Fxo约束与约束力～常见约束及其约束力光滑圆柱铰链约束---⑴固定铰链约束(Fx，Fy)特点：①作用线与轴线相交，约束力的方向不定，随接触点而变化；②约束力的大小由两个通过铰链中心的正交分力求得。FyFN结构简图光滑圆柱铰链约束---⑵活动铰链约束(FN)⑵活动铰链约束：在固定铰链约束的底部安装一排辊轮或辊轴，使支座沿固定支承面自由滚动。特点：构件受到垂直于光滑面的约束力。约束与约束力～常见约束及其约束力FRFxFFxF

F结构简图Rooo约束与约束力～常见约束及其约束力光滑圆柱铰链约束---⑶中间铰链约束(Fx，Fy)⑶中间铰链约束：将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接起来,称为中间铰链约束。特点：过铰链中心，其大小和方向待定。o约束与约束力～常见约束及其约束力固定端约束(Fx，Fy，M)特点：⑴既不能移动，也不能转动⑵约束力的大小由两个正交分力和一个阻止转动的力偶来表示。☆约束与约束力的解读柔性约束---作用点必在约束与被约束物体相互接触处，方向沿约束的中心线且背离被约束的物体。这类约束的约束力常用FT来表示。刚性光滑面约束---约束力必过接触点沿接触面法向并指向被约束物体。这类约束的约束力常用FN来表示。☆约束与约束力的解读光滑圆柱铰链约束---可分为固定铰链约束、中间铰链约束、活动铰链约束三种形式，前两种能限制物体两个方向的移动，故表示为正交约束反力FAx、FAy；第三种的约束反力只能位于滚子接触面的法线方向。固定端约束---约束力可用两个互相垂直的分力FAx、FAy和一个阻止转动的反力偶矩MA来表示，方向均为假设。工程力学基

础单元1

受力分析物体的受力分析及受力分析图的绘制物体的受力分析及受力分析图的绘制1.受力分析的相关概念⑴受力分析：研究物体上所受的力，包括力的大小（所有的主动力和约束力）、方向及力的作用点。⑵分离体：解除约束后的物体。⑶受力分析图：在分离体上画出全部的主动力和约束力，这样的受力简图称为受力分析图。2.绘制受力分析图的步骤：⑴选定合适的研究对象，确定分离体⑵画出所有作用在分离体上的主动力（使物体产生运动或运动趋势的力）⑶在分离体的所有约束处，判别并逐一画出约束力（根据研究对象与周围物体的连接关系）物体的受力分析及受力分析图的绘制物体的受力分析及受力分析图的绘制例题1连杆增力机构如图所示，在滑块A

上作用F

力使工件被夹紧，夹紧力为FQ，AB

杆与水平的夹角α=10O，不计AB

杆及滑块的自重，试绘制滑块A

和B

的受力图。工程力学基

础单元2

平面力系平面汇交力系平面汇交力系～力在坐标轴上的投影1.力在坐标轴上的投影yxBF=120

kNA起点终点平面汇交力系～力在坐标轴上的投影1.力在坐标轴上的投影

yxABFyAyBxA xBFx=xB-

xAFy=yB-

yA平面汇交力系～力在坐标轴上的投影1.力在坐标轴上的投影yxFFx=F

cosαFy=F

sinαα力在坐标轴上的投影一般形式为：Fx=±F

cosαFy=±F

sinα将力的起点指向终点的方向赋予力的投影Fx

、Fy

后，力在该轴向的分力

Fx

、Fy就出现了。平面汇交力系～力在坐标轴上的投影1.力在坐标轴上的投影FFyαFxF

F2

F

2x yFxtan

FyFx

和Fy

是力

F

的两个正交分力。平面汇交力系～合力投影定理2.合力投影定理当应用平行四边形法则求一个平面内许多个力的合力显得繁琐时，可用合力投影定理：将各力向坐标轴投影，求相应坐标轴上各力投影的代数和，进而得到合力在坐标轴上的投影。由此可计算得到合力的大小和方向。平面汇交力系～合力投影定理2.合力投影定理合力在坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。若设合力FR

由

n

个分力

F1、F2、……、Fn

组成，则合力FR在x、y坐标轴上的投影

FRx、FRy为：FRx=∑

F

ix =F1x+F2x+……+F

nxFRy=∑

F

iy =F1y+F2y+……+F

ny平面汇交力系～合力投影定理2.合力投影定理Fx=F1x+F2x=

ab+af =ab+bc=

acFRx=Fx+F3x=

ac-

ea =ac-dc=

ad平面汇交力系～合力投影定理2.合力投影定理

RyRxRF

2F

2合力的大小：F

RyFRxF合力的方向：tan

FRFRyαFRx平面汇交力系～平面汇交力系的平衡条件3.平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系中各力的作用线相交于同一点，力系的合力可通过逐次应用平行四边形法则将力两两求和得到。当平面汇交力系平衡时，该合力大小为零。平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力大小为零，即：FR =

0该式等价于：FRx=∑Fix=

0FRy=∑Fiy=

0｛力在轴上的投影---力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。Fx

Fcos

;Fy

Fsin

;F

☆力的投影与平面汇交力系的解读合力投影定理---合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。FRx＝F1x＋F2x＋…＋Fnx＝ΣFxFRy＝F1y＋F2y＋…＋Fny＝ΣFy☆力的投影与平面汇交力系的解读RxRyyxR RxFFF

F

) ;

tan

F

)

(22

F

2

(RyF

2⑵平面汇交力系的平衡条件

Fx

0;☆力的投影与平面汇交力系的解读平面汇交力系的合成与平衡条件---⑴平面汇交力系的合成工程力学基

础单元2

平面力系力矩与力偶一

力矩风吹动帆船前行，产生线性位移；吹动风车转动，产生角位移。一

力矩叶片受到力

F

作用，且在固定转轴的约束下，产生了绕轴的转动。转动方向与力

F

的方向有关，转动效应与力的大小有关，也与力的作用线与转轴的相对位置有关。叶片的转动是由力

F

对轴之矩引起的。转轴力

F如图，平面内物体上O点固定，A点在力F

对O点的力矩作用下，移动到

A'点。称这一不动点O为矩心，从矩心O到力

F

的作用线或延长线的垂直距离为力臂

d

。定义力

F对矩心O点之矩为：M

O

(F)

=±

F·d，规定当力矩为逆时针转动方向时，力矩取正值，反之取负值。一

力矩力

F矩心

OAA'力臂

d一

力矩力矩的单位是

N·m

(牛·米)，或

kN·m

(千牛·米)。力矩的数值大小表述物体转动效应的程度，如快还是慢。平面内力矩是一个代数量。如图，力

F

对O点之矩为逆时针转动方向，M

O

(

F)=

F·d

=100×0.5

kN·m

=

50

kN·m。F=100

kNOd=

0.5m二

合力矩定理合力矩指一个力系的合力对某点之矩。合力矩定理：合力对某点的力矩等于力系中各分力对同一点力矩的代数和：MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+……+MO

(

Fn )=ΣMO

(

Fi )例题

图中折杆OA上受力

FR

作用，试求出FR

对O点的力矩。解：合力力矩：MO(FR)=

FR·d

,d=OC·sinα=(OB－

BC)sinα= (l－

AB/tanα)sinα=l·sinα－

a·cosα二

合力矩定理OldaCFRα

FxBFyA二

合力矩定理MO(FR)=FR·d=FR·（lsinα－

acosα）分力力矩：MO(Fx)=

－

Fx·a

=

－FR·acosαMO(Fy)=Fy·l=

FR·lsinα可见，MO(FR)

=

FR·（lsinα

－acosα）=MO(Fx)+

MO(Fy)OldaCFRα

FxBFyA性质1---力沿作用线移动时，对某点的矩不变。性质2---力的作用线通过矩心时，此力对矩心之矩等于零。性质3---互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。☆力矩的基本性质三

力偶力偶：使物体产生转动效应的一对大小相等、方向相反、作用线平行的力。FF’力偶臂：力偶中两力作用线间的垂直距离，记为

d。力偶矩：力偶中一个力与力偶臂的乘积，衡量转动效应的大小，记为M（FF’）。力偶使物体产生逆时针方向转动时，力偶矩取正值。dM(FF’

)

= ±

F·d三

力偶力矩与力偶的异同逆时针为正，顺时针为负；力偶M(FF’

)

= ±

F·d力偶中的一个力乘以力偶臂力矩MO(F

)= ±

F·d一个力乘以力臂均产生转动效应单位：N

·

m，或

kN

·

m；三

力偶力矩与力偶的异同转动效应三要素力矩力的大小转动方向矩心位置力偶1. 力偶矩大小转动方向力偶的作用平面（力偶中两力作用线所在平面）三

力偶F’力偶的性质1.

力偶无合力，在坐标轴上投影之和为零。力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。yFx力偶力力力偶偶力偶三

力偶2. 力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩，而与所取点位置无关。FyF’xAldA AM (F)

+M (

F’

)

=

－F·

l

+

F’

·

(l

+d)= F·d=M(FF’

)三

力偶3.

力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对刚体的转动效应。注：刚体指受外力作用后，形状改变很小且忽略不计后不影响主要特征的物体，可用物体内任意两点间距离在受力前后是否改变判定。=FF’yxyxFF’dd三

力偶4.

只要保持力偶矩的大小和力偶的转动方向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。M(FF’)=10×1.5kN·m=3×5kN·m=15

kN·m3

kN5m3

kN10

kN1.5m10

kN=力偶的三要素：⑴力偶矩的大小⑵力偶的转向⑶力偶作用面的方位力偶的作用效果：决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关！即:力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于该力偶的力偶矩！☆力偶的解读力偶的性质---⑴力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效、也不能用一个力来平衡。⑵同一平面内的两个力偶，若其力偶矩相等，则两力偶等效。☆力偶的解读力偶的推论---⑴任一力偶可以在它的作用平面内任意移动，而不改变它对物体的作用。⑵只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对物体的作用。因此,以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。☆力偶的解读相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。☆力矩与力偶的区别与联系工程力学基

础单元2

平面力系平面一般力系的简化平面一般力系的简化～力线平移定理oFnF1F2oFnF1F2mnm2m1=利用力线平移定理，将刚体上作用的一平面任意力系F1F2 … ,Fn，向简化中心O点平移，得到一个作用于O点的平面汇交力系和一个平面力偶系。这两个力系与原力系是等效的。对于平面汇交力系oFnF1F2R作用于O点的合力RR的大小：yR

22 2

R

2

ix

iy

F

F

xxRyRR

tan

R的方向：α是合力与坐标轴x所夹的锐角。力矢R与平面汇交力系等效，但只表示原力系作用效果的一部分，称为原力系的主矢。平面一般力系的简化～简化结果对于平面力偶系平面内的合力偶M0等于各附加力偶的力偶矩的代数和.M

o

m1

m2

mn

mo

F1

mo

F2

mo

Fn

Mo与附加力偶系等效，称为原力系的主矩，等于原力系中的各力对简化中心的力矩的代数和。平面一般力系的简化～简化结果1.结论oRM平面任意力系O点简化一个力一个力偶主矢主矩主矢是由原力系中的各分力的大小和方向决定的，与简化中心的位置无关；而当简化中心的位置不同时，得到的主矩的大小和转向是不同的，因此，主矩与简化中心的位置有关。平面一般力系的简化～简化结果平面一般力系的简化～简化结果2.平面任意力系简化结果的分析1）主矢R≠0，主矩Mo=0。

此力系合成为一合力，合力的方向、大小由主矢确定且通过简化中心。Ro平面一般力系的简化～简化结果2.平面任意力系简化结果的分析2）主矢R

=0，主矩Mo

≠

0。此时力系合成为一合力偶，其力偶矩与主矩相等。此时力系对任意简化中心的主矩是一常量。RM平面一般力系的简化～简化结果2.平面任意力系简化结果的分析3）主矢R

=0，主矩Mo=0。

此时不存在合力或合力偶，力系平衡。RMROMOxyαx=ROyR'αdO'=xOyR'dO'α4) 主矢、主矩均不为零时,进一步合成根据力的平移定理的逆定理：平面一般力系的简化～简化结果2.平面任意力系简化结果的分析d=

Mo／RF''力系简化为一个合力R',

其大小和方向均与主矢R

相同，但是作用在另一点O1。即：

R'=

R其作用线位置与简化中心点O

的距离为:1、

平衡方程的一般形式力系平衡的从分必要条件：主矢F´=0，主矩Mo=0。平面一般力系平衡方程：

Fx

0

Fy

0

MO

(F

)

0平面一般力系有3个平衡方程。两个投影式，一个力矩式。平面一般力系的简化～平衡条件及平衡方程2、

平衡方程的其他形式二力矩式的平衡方程

Fx

0

M

A

(F

)

0

MB

(F

)

0条件：x轴与A、B两点连线不相垂直。三力矩式的平衡方程

M

A

(F

)

0

MB

(F

)

0

MC

(F

)

0条件：A、B、C三点不共线。平面一般力系的简化～平衡条件及平衡方程FPMAB3m3m1.5mABFBFAxFAyxFPMy例1

钢筋混凝土刚架，受荷载及支撑情况如图所示。刚架上作用有集中力FP和力偶矩为M的力偶已知

Fp

5kN,

M

2kN

m。试求各支座反力。FPMABFBFAxFAyxy解：以刚架为研究对象，其受力图如下，列平衡方程（1）

Fx

0FP

FAx

0FAx

FP

5kN（2）

M

A

(F

)

0

FP

3

M

FB

3

0FB

5.67kN（3）

Fy

0 FB

FAy

0FAy

FB

5.68kN工程力学基

础单元2

平面力系平面物体系统的平衡一、物系平衡的概念及特点1.物体系统(物系)—由若干个物体通过约束所组成的系统⑴外力:外界物体作用于系统上的力⑵内力:系统内部各物体之间的相互作用力平面物体系统的平衡～物体系统及其平衡方程n

n1

n2

n3一、物系平衡的概念及特点2.物体平衡的特点由n个刚体组成的物系，且:其中:n1--受有平面力偶系作用的刚体n2--受有平面汇交力系或平行力系作用的刚体n3--受有平面一般力系作用的刚体则整个系统可列出m个独立的平衡方程m

n1

2n2

3n3平面物体系统的平衡～物体系统及其平衡方程二、物体系统的静定和静不定问题1.静定问题—若系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a平面物体系统的平衡～静定问题与静不定问题二、物体系统的静定和静不定问题2.静不定问题—若系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目,用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。qACBMe2aaFD4a4a约束力的未知量 x独立平衡方程数

mx

=

m: 静定问题x

>

m:

静不定问题静不定的次数为:

k=x-m平面物体系统的平衡～静定问题与静不定问题三、物系平衡的求解方法弄清题意标已知量选整体为研究对象画受力图，列平衡方程检查结果并验算选局部为研究对象画受力图，列平衡方程求解注意:①二力构件的分析②内力与外力的关系③力偶M在任一轴上的投影为零，且对任一点之矩即为M④选取适当的坐标轴和矩心,注意正负号方法一: 整体局部平面物体系统的平衡～求解方法三、物系平衡的求解方法弄清题意标已知量选局部为研究对象画受力图，列平衡方程检查结果并验算选局部为研究对象画受力图，列平衡方程求解方法二: 局部局部注意:①二力构件的分析②内力与外力的关系③力偶M在任一轴上的投影为零，且对任一点之矩即为M④选取适当的坐标轴和矩心,注意正负号平面物体系统的平衡～求解方法工程力学基

础单元3

空间力系力的投影与分解

F

F

cos

F

F

cos

zy力的投影与分解～直接投影法1.直接投影法Fx

Fcos

力的投影与分解2.二次投影法𝐹𝑥 =

𝐹𝑠𝑖𝑛𝛾𝑐𝑜𝑠𝜃ቐ𝐹𝑦 =

𝐹𝑠𝑖𝑛𝛾𝑠𝑖𝑛𝜃𝐹𝑧 =

𝐹𝑐𝑜𝑠𝛾力的投影与分解例：设力F＝100N，作用在如图所示的正六面体的A点，力F与正六面体的对角线AE重合。已知AB＝3cm，BC＝4cm，AD＝5cm，求力F在坐标轴上的投影力的投影与分解解1：采用直接投影法𝐴𝐸

= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+

𝐴𝐷2

= 32+42+52=

7.07𝑐𝑚cos

＝AB／AE＝3/7.07＝0.424cos

＝BC／AE＝4/7.07＝0.566cos

＝AD／AE＝5/7.07＝0.707Fx＝Fcos

＝100×0.424＝

42.4NFy＝–Fcos

＝–100×0.566＝–56.6

NFz＝Fcos

＝100×0.707＝70.7

N力的投影与分解解1：采用二次投影法𝐴𝐶

= 𝐴𝐵2+

𝐵𝐶2

= 32+42=

𝟓𝑐𝑚sin

＝BC／AC＝4/5＝0.8cos

＝AB／AC＝3/5＝0.6cos

＝

sin

＝0.707Fx＝Fsin

cos

＝100N×0.707×0.6＝42.4NFy＝–Fsin

sin

＝–100N×0.707×0.8＝–56.6NFz＝Fcos

＝100N×0.707＝70.7

N工程力学基

础单元3

空间力系力对轴之矩力对轴之矩以关门动作为例，在门上A点处作用了一个力F，使其绕固定轴z转动。将该其分解为两个互相垂直的分力：⑴与z轴平行的分力Fz＝Fsinβ⑵与z轴垂直平面上的分力Fxy＝FcosβFz无法使门绕z轴转动，只有分力Fxy才能产生使门绕z轴转动的效应。力对轴之矩以

d 表示Fxy作用线到z轴与平面的交点O的距离，则Fxy

对O点之矩，就可以用来度量力F使门绕z轴转动的效应，记作：Mz（F）＝MO（Fxy）＝±Fxyd力对轴之矩：力使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量，其绝对值等于这个力在垂直于该轴的平面上的投影对于这平面与该轴的交点之矩。力对轴之矩力对轴的矩等于零的情形：⑴当力与轴相交时（此时d＝0）；

0

）⑵当力与轴平行时（此时

Fxy工程力学基

础单元3

空间力系空间力系合力矩定理空间力系合力矩定理1.空间力系合力矩定理空间力系中合力对某轴之矩等于各分力对该轴力矩的代数和。Mz(FR)=∑Mz(F)空间力系合力矩定理例：如左图所示的曲轴，在A点作用一力F，其作用线在垂直于y轴的平面内且与铅垂线方向夹角

=10°已知：F＝1kN，AB＝r＝5cm，OB＝l＝15cm，试求曲柄位于xOy平面内时，力F对图中各坐标轴之矩。空间力系合力矩定理解:运用空间力系合力矩定理求解力F

沿坐标轴的投影分别为:Fx=Fsin

Fy=0 Fz=－Fcos

Mx(F) ＝

Flcos

＝

－1000N×0.15m×cos10°＝－147.8N

mMy(F) ＝Frcos

＝1000N×0.05m×cos10°＝49.3N

mMz(F) ＝－Plsin

＝－1000N×0.15m×sin10°＝－26.1N

m工程力学基

础单元3

空间力系空间力系的简化空间力系的简化～空间力的平移定理1.空间力的平移定理作用在刚体上某点A的力F

可平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原来的力F

对新作用点

B的矩。空间力系的简化～空间力系的简化2.空间力系的简化根据空间力的平移定理，空间力系向指定点O简化可以得到一个合力和一个力偶。𝑅主矢：𝐹′

=

𝐹1

+𝐹2

+⋯

𝐹𝑛

=

෍𝐹其大小和方向与简化中心无关!主矩：𝑀𝑜=𝑀1+𝑀2+⋯𝑀𝑛=෍𝑀𝑜(𝐹ሻ其大小和方向与简化中心有关!空间力系的简化～主矢与主矩的特点3.主矢的特点对于给定的力系，主矢唯一；主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线，因而主矢是自由矢量。4.主矩的特点力系主矩MO与矩心O（简化中心）的位置有关；力系主矩是定位矢量，其作用点为矩心。𝑹O⑴𝑭′ =0，M =

0𝑹O⑵𝑭′

=

0，M

≠0𝑹O⑶𝑭′

≠0，M =

0平衡合力偶合力空间力系的简化～简化的结果5.简化的结果空间任意力系向任一点O

简化可得到一个主矢和一个主矩：𝑹O⑷𝑭′

≠0，M

≠0𝑹O𝑭′ •

M

≠0合力力螺旋𝑹O𝑭′ •

M =

0工程力学基

础单元3

空间力系空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程～空间任意力系1.空间任意力系的平衡方程෍

𝐹𝑥

=

0，

෍

𝐹y

=

0，

෍𝐹𝑧=

0෍

𝑀𝑥

𝐹 =

0

，

෍

𝑀y𝐹=

0

，

෍

𝑀𝑧

𝐹 =

0空间力系的平衡方程～空间特殊力系2.空间汇交力系的平衡方程෍

𝐹𝑥

=

0，

෍

𝐹y

=

0，

෍𝐹𝑧=

0空间力系的平衡方程～空间特殊力系3.空间平行力系的平衡方程

0

Fz

M

x

(F)

0

M

y(F)

0空间力系的平衡方程～空间特殊力系4.空间力偶系的平衡方程∑Mx(F)＝0, ∑My(F)＝0, ∑Mz(F)＝0工程力学基

础单元3

空间力系重心及其计算重心及其计算1.物体重心位置的坐标公式𝑐σ

𝑊𝑖𝑥𝑖𝑥 =𝑊𝑐𝑦 =σ

𝑊𝑦𝑖 𝑖𝑊𝑐σ

𝑊𝑖𝑧𝑖𝑧 =𝑊重心及其计算1.物体重心位置的坐标公式均质物体𝑐σ

𝑉𝑖𝑥𝑖𝑥 =𝑉𝑐𝑦 =σ

𝑉𝑦𝑖 𝑖𝑉𝑐σ

𝑉𝑖𝑧𝑖𝑧 =𝑉𝑐σ

𝑆𝑖𝑥𝑖𝑥 =𝑆𝑐𝑦 =σ

𝑆𝑦𝑖 𝑖𝑆𝑐σ

𝑆𝑖𝑧𝑖𝑧 =𝑆均质板重心及其计算2.组合法计算物体的重心试求Z

形截面重心的位置，其尺寸如图所示。重心及其计算2.组合法计算物体的重心解:①将

Z

形截面分成三个简单矩形截面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ②取坐标轴并求出每个矩形截面的面积和重心位置重心及其计算2.组合法计算物体的重心Ⅰ:S1＝300mm2Ⅱ:S2＝400mm2Ⅲ:

S3＝300mm2x1＝15mmx2＝35mmx3＝45mmy1＝45mmy2＝30mmy3＝5mm求得该截面重心的坐标xc

、yc为:cc300

400

300

300

45

400

30

300

5

27

(mm)300

400

300

300

15

400

35

300

45

32

(mm)SS

yy

SS

xx

i i

i i重心及其计算3.实验法测量物体的重心悬挂法称重法工程力学基

础单元4

摩擦滑动摩擦及其特点滑动摩擦及其特点～摩擦的定义摩擦:当两物体沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在接触面之间有阻碍它们相对运动现象或特性。滑动摩擦及其特点～摩擦的分类1.摩擦的分类滑动摩擦滚动摩擦2.滑动摩擦的特点---摩擦力的大小与方向平衡加上主动力F临界状态 运动WFNWFNFFsWFNFFsmaxWFNFFd滑动摩擦力的方向:与刚体的相对运动或相对运动趋势相反滑动摩擦及其特点～摩擦的特点2.滑动摩擦的特点---摩擦力与主动力的关系FsF45

Fs

max临界点FWWWWFFFFNNNNFFFsFmFdasx

静摩擦力

动摩擦力滑动摩擦及其特点～摩擦的特点2.滑动摩擦的特点---摩擦力与主动力的关系⑴静止平衡时的静摩擦力FsF45

Fs

max临界点

静摩擦力 动摩擦力WFNFFsFs

F滑动摩擦及其特点～摩擦的特点2.滑动摩擦的特点---摩擦力与主动力的关系⑵临界状态时的静摩擦力---最大静滑动摩擦力FsF45

Fs

max临界点

静摩擦力

动摩擦力FNFFs

maxW滑动摩擦及其特点～摩擦的特点2.滑动摩擦的特点---摩擦力与主动力的关系⑵临界状态时的静摩擦力---库仑定律Fs

max

fs

FNFNFFs

maxffs

:静滑动摩擦因数W静滑动摩擦因数的大小需由实验测定，它与接触物体的材料及表面情况有关（如粗糙度、温度和湿度等），而与接触面的面积无关。滑动摩擦及其特点～摩擦的特点2.滑动摩擦的特点---摩擦力与主动力的关系⑶动滑动摩擦力Fs45

Fs

max临界点

静滑动摩擦

动滑动摩擦 FWFNFFs

maxFd

f

FNf

:动滑动摩擦因数通常：f

fs滑动摩擦及其特点～摩擦的特点常用材料间的滑动摩擦因数材料名称静摩擦因数动摩擦因数无润滑有润滑无润滑有润滑钢—钢0.150.1～0.120.090.05～0.1钢—铸铁0.30.180.05～0.15钢—青铜0.150.1～0.150.150.1～0.15铸铁—铸铁0.180.150.07～0.12皮革—铸钢0.3～0.50.150.30.15橡皮—铸铁0.80.5木材—木材0.4～0.60.10.2～0.50.07～0.15滑动摩擦及其特点～摩擦的特点工程力学基

础单元4

摩擦摩擦角与自锁摩擦角与自锁～摩擦角1.摩擦角WFNFsFRAFRA:

全约束力FRA

FN

Fs

将全约束力的作用线和接触面法线的夹角用

标记1.摩擦角WFFNFs

maxFRA

mA当 Fs

F

:摩擦角mtan

Ns

maxF

NFF

fs

FNs

f由此表明:静滑动摩擦因数等于摩擦角的正切值摩擦角与自锁～摩擦角2.自锁WFRFA

FRAFR:

全主动力摩擦角与自锁～自锁2.自锁FR

mFRAFRyFRxFNFsFs

maxm⑴

Fs

FRx

FR

sin

Fs

max

fs

F

F

FRcos

tan

m

FRcos

tan

Fsmax

Fs

FRx此时:无论全主动力FR有多大，只要该力的作用线位于摩擦角内，它沿接触面方向的分量FRX始终小于最大静滑动摩擦力FSmax

，因此物体仍然保持静止平衡而不会发生滑动，这种现象称为自锁。摩擦角与自锁～自锁2.自锁

FR

mFRxFRyFN"Fs

max"⑵

mFRx

FR

sin

Fs

max

FN

f

F

F

cos

tan

Fcos

tan

R m RFsmax

FRx此时:无论全主动力FR有多小，只要该力的作用线位于摩擦角范围之外，它沿接触面方向的分量FRX始终大于最大静滑动摩擦力FSmax

，因此物体必然不能保持静止平衡状态而发生滑动。摩擦角与自锁～自锁自锁的工程应用---活动扳手F1FF摩擦角与自锁～自锁的工程应用自锁的工程应用---千斤顶FRW摩擦角与自锁～自锁的工程应用mtan

NF

NFFs

max

fs

FN

☆摩擦角与自锁条件的解读摩擦角---全约束力与接触面法线间夹角的最大值。自锁条件---如果作用于物体的全主动力FR的作用线在摩擦角φ之内，则无论该合力多大，总有全约束力FRA与其平衡，物体始终保持静止。WFFRA

FRA

m☆摩擦角与自锁条件的解读工程力学基

础单元4

摩擦考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题1.研究方法及特点:⑴受力分析时，必须考虑摩擦力。⑵需判断物体所处的状态---平衡状态

or临界状态？⑶由于0

≤Fs

≤Fsmax

=

fs

•

FN，一般先假设物体处于临界状态。⑷一般情况下，滑动摩擦力的方向是不能任意假定的，必须根据物体的运动趋势，正确判断其方向。平衡状态→Fs由平衡条件确定，并满足：0

≤

Fs

≤Fsmax临界状态→Fs为一定值，并满足：

Fs=Fsmax=fsFN例1:

图示物块与斜面间的静滑动摩擦因数

fs

=

0.10，动滑动摩擦因数

f

=0.08，物块重W

=

2000

N

，水平力F1=1000N。问是否平衡，并求滑动摩擦力。WF1 20

考虑摩擦时的平衡问题解:WF1 物体若平衡，需求静摩擦力；若不平衡，需求动摩擦力。可先按平衡求需多大的静摩擦力，并与最大静摩擦力进行校核。WFNF1 Fsxy

xF

0F1cos20

Fs

Wsin20

0F

=

-255.7

N

Fys

0 FN

F1sin20

W

cos20

0FN=2221

N考虑摩擦时的平衡问题解:WF1 WFNF1 FsxysF

=

-255.7

N(实际F=2221

NNFsmax

= f•F=

2因此，物体不平衡，向上滑动。此时，动滑动摩擦力沿斜面向下:Fd

= f•FN=0.08×2考虑摩擦时的平衡问题2.其他临界状态---翻倒(tip

over)FFFPP

PFssFNNNFF PFsWWWWWFP

FsFFNN考虑摩擦时的平衡问题例2:图示均质箱体的宽度

b=1m

，高

h=2

m，重

W=20

kN

，放在倾角

=

20°的斜面上。箱体与斜面之间的静滑动摩擦因数

f

s=

0.20

。今在箱体的点

C

处系一软绳，作用一个与斜面成

=

30°的拉力F。已知BC

=

a

=

1.8m，问拉力为F多大时，才能保证箱体处于平衡。

ABCbha

F考虑摩擦时的平衡问题Cbh

FC

FWFNFs

AB

x解:

⑴设箱体处于向下滑动的临界平衡状态yx

F

0

F

cos

F

WyN

F

0

F

W

cos

F

sin

0cosFs

fs

FNF

sin

fs

cos

4.02

kN即:当拉力F

=

4.02

kN时，箱体处于向下滑动的临界平衡状态考虑摩擦时的平衡问题Cbh

FC

FWB

x解:

⑵设箱体处于向上滑动的临界平衡状态yFs

Ax∑F=

0F

cos

F

Wy

F

0NF

W

cos

F

sin

0Fs

fs

FNF

sin

fscos

11.0

kNcos即:当拉力F

=11.0kN时，箱体处于向上滑动的临界平衡状态FN考虑摩擦时的平衡问题Cbh

FAC

FWFNFsB

x解:

⑶设箱体处于绕左下角A向下翻的临界平衡状态y

MA

02 2b

F

sin

a

F

cos

h

W

sin

b

W

cos

0F

bcos

hsin

W

2.41

kNb

sin

a

cos

2负号:表示

F

为推力时才可能使箱体向下翻倒，因软绳只能传递拉力，故箱体不可能向下翻倒。考虑摩擦时的平衡问题Cbh

FC

FWFNAFsB

x解:

⑷设箱体处于绕右下角B向上翻的临界平衡状态yB

M

0a

F

cos

h

W

sin

b

W

cos

02 22a

cos

F

b

cos

h

sin

W

10.4

kN综合上述4种状态可知，要保证箱体处于平衡状态，拉力F

必须满足:4.02

kN

F

10.4

kN考虑摩擦时的平衡问题例3:

图示为攀登电线杆用的脚套钩，已知套钩的尺寸

l，电线杆直径

D，静滑动摩擦因数 fs

，求套钩不致下滑时脚踏力

F

的作用线与电线杆中心线的距离

d。

d

l A考虑摩擦时的平衡问题

d

D lABFFNAFsAFNBFsB

Fx

0

Fy

0FNB

FFsA

FsB

F

0

AM (F

)

0FNB

l

FsB

D

假设A、B两处达到最大静摩擦力,有:

fs

FsB

fs

FsAFsA

FsAmaxFsB

FsB

maxd

l

/(2

fs

)联立求解，得到:经判断:

d

l

/(2

fs

)考虑摩擦时的平衡问题解法1（解析法）---

绘制套钩在临界状态的受力分析图解法2（几何法）---

利用摩擦角，画出临界状态的全约束力

D lB

f

fA

FAFBF

d

d

D

l C1

AC2BF

FNA FsAFNBFsB考虑摩擦时的平衡问题

D lAB

f

f

FAFBF

d C1C2D2(d

D

)

tan

(df2d

tan

ls2

fld

若

d

≥

l/(2fs)，FA和FB

必然位于摩擦角的范围之内。因此:

d

l

/(2

fs

)考虑摩擦时的平衡问题解法2（几何法）---

利用摩擦角，画出临界状态的全约束力C1

C2

l工

程

力

学

基

础单元5

材料力学概述在工程上的应用在工程上的应用中国古代建筑的特点:高度低、跨度小,承载能力弱,材料多为砖石和木材。在工程上的应用中国现代建筑的特点:高度高、跨度大,承载能力强,材料多为钢筋混凝土和钢材。工

程

力

学

基

础单元5

材料力学概述研究对象及内容研究对象及内容1.工程构件:组成结构物体和机械的最基本的部件,泛指结构元件、机器的零件和部件等。板壳块杆研究对象及内容2.失效:工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象在工程力学范畴内的失效通常可分为:强度失效、刚度失效和稳定失效强度失效:构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂研究对象及内容《材料力学》研究对象及内容2.失效:工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象刚度失效:构件在外力作用下产生过量的弹性变形荷载未作用时荷载去除后荷载作用下F研究对象及内容04研究对象及内容2.失效:工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象稳定失效:构件在某种外力(如轴向压力)作用下,其平衡形式发生突然转变研究对象及内容研究对象及内容结论:构件在荷载作用下正常工作应满足的要求构件必须具有足够的强度所谓强度是指构件受力后未发生断裂或产生不可恢复的变形的能力构件必须具有足够的刚度所谓刚度是指构件受力后未发生超过工程允许的弹性变形的能力构件必须具有足够稳定性所谓稳定性是指构件在压缩载荷的作用下,保持平衡形式而未发生突然转变的能力工程力学基

础单元5

材料力学概述杆件受力及变形的基本形式杆件受力及变形的基本形式～轴向拉伸与压缩当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力作用时，杆件将产生轴向伸长或压缩的变形。工程上将承受轴向拉伸的杆件统称为拉杆或杆；将承受轴向压缩的杆件统称为压杆或柱。杆件受力及变形的基本形式～剪切当杆件横截面上承受两个大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的力作用时，杆件将在横截面处沿外力作用方向上产生相对错动的剪切变形。杆件受力及变形的基本形式～扭转当杆件两侧端截面内分别承受一对大小相等、方向相反的力偶作用时，杆件将产生扭转变形，即杆件的横截面绕其轴线发生相对转动，工程上将承受扭转变形的杆件统称为轴。杆件受力及变形的基本形式～弯曲当杆件某个纵向平面内承受力偶或垂直于轴线方向的外力作用时，杆件将产生弯曲变形，其轴线由直线变成曲线工程上将承受弯曲变形的杆件统称为梁。工程力学基

础单元5

材料力学概述材料力学的基本假设材料力学的基本假设～连续均匀性假设实际的工程材料，其内部各组成部分的力学性能往往存在不同的差异，但当变形体的几何尺度足够大，所研究的变形体上各点均为宏观尺度上的点时，则可假定变形体的材料在变形前后均毫无空隙地充满所占空间，且材料各部分的力学性能也是均匀的。材料力学的基本假设～各向同性假设在微观上，大多数工程材料在不同的方向上具有不同的力学性能，例如在金属的内部，各晶粒的力学性能并不完全相同，且晶界物质与晶粒本身的力学性能也各不相同。但当多晶聚集时，晶粒数目极其巨大，且排列杂乱，因此在宏观上可视作各向同性。材料力学的基本假设～小变形假设实际的工程构件，在受力后的变形量与其原始尺寸相比都是极其微小的。对于由满足胡克定律的材料制成的工程构件，小变形的力学问题大多是线性。因此，作为研究工程设计的材料力学，均假设变形体在外力的作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是忽略不计的。工程力学基

础单元5

材料力学概述内力及其研究方法内力及其研究方法～内力及其研究方法1.内力:由外力引起的构件内部的相互作用力(力和力偶)。2.内力的研究方法:截面法用一个假想的平面把杆件分成两个部分，以显示内力并应用力的平衡条件，求出截面上的力和力偶的方法。内力及其研究方法～截面法的分析步骤3.截面法的分析步骤:截～用假想截面将构件分为两部分。留～保留其中任一部分作为研究对象。代～将另一部分对保留部分的作用力用截面上的内力代替。平～对保留部分建立平衡方程式，确定截面上的内力。工程力学基

础单元5

材料力学概述应力与应变应力与应变～应力的基本概念1.应力:内力在截面上分布的密集程度(简称内力的集度)。4FF3F43Fp

C

F

∆𝑆C∆𝐹平均应力

𝑃𝑚

=

∆𝑆∆𝑆→0

∆𝑆一点应力

𝑃

= lim =𝑅∆𝐹 𝑑𝐹𝑑𝑆通常将应力总量分解成：与截面垂直的法向分量称为正应力，用

R

表示。与截面相切的切向分量称为切应力，用

表示。应力与应变～应力的基本概念2.应力的单位:“帕”，Pa， 1Pa=1N/m2“兆帕”MPa，1MPa=106Pa=1N/mm2“吉帕”

Gpa，1GPa=109Pa=1kN/mm2应力与应变～应变的基本概念3.应变的概念:对于受正应力作用下的微元体，沿着正应力方向和垂直于正应力方向将分别产生伸长和缩短，这种变形称为线应变。衡量变形体在各点处变形程度的量称为正应变（或线应变），用e表示。根据微元体变形前、后沿x方向长度dx的相对改变量，有:𝑒=

𝑑𝑢𝑑𝑥对于正应力R和正应变e的正负，一般约定为：拉应变为正，压应变为负；产生拉应变的应力为正，产生压应变的应力为负。应力与应变～应变的基本概念3.应变的概念:对于受切应力作用的变形体，其微元体将发生剪切变形，其变形程度可用微元体直角的改变量来衡量，称为切应变（或角应变），用γ表示。应力与应变～应力与应变之间的关系4.应力与应变之间的关系:当变形体在弹性范围内进行加载时，对于只承受单向正应力或切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力和切应变之间存在线性的关系：𝑅=E

∙

𝑒 𝜏=G∙

𝛾上述两式是描述线弹性材料物理性能关系的方程，统称为胡克定律，式中的E和G是与材料有关的弹性常数，E称为杨氏模量，G称为切变模量，其单位均为GPa。工

程

力

学

基

础单元6

轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念～受力和变形特点轴向拉伸或压缩时的力学简图受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合。变形特点：杆件变形是沿轴线方向伸长或缩短。拉伸压缩工

程

力

学

基

础单元6

轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩时的内力分析轴向拉伸与压缩时的内力分析～轴向力1、轴向力：外力的作用线与杆的轴线重合。1）轴向拉力（拉力）：使杆件伸长的轴向力。2）轴向压力（压力）：使杆件缩短的轴向力。FFFF拉杆压杆2、轴向内力（轴力）

：拉压杆横截面上的内力。求解内力的方法——截面法1）用假想的垂直于轴线的截面沿所求内力处切开，将构件分为两部分。2）取两部分中的任意部分为脱离体，用相应的内力代替另一部分对脱离体的作用。3）对脱离体建立静力平衡方程，求未知内力的大小。FBA CFRFN

FN'CCFA甲BFRC'C'乙轴向拉伸与压缩时的内力分析～轴力为了形象地表明各截面上的轴力随截面位置不同而变化的情况，常采用轴力图表示。轴力图的横坐标轴x平行于杆件的轴线，表示相应的横截面位置；纵坐标y表示相应截面的轴力值，如内力为轴向拉力，则画在x轴上方，反之，轴向压力画在x轴下方。轴向拉伸与压缩时的内力分析～轴力图3kN3kNIIIIII2kN3kN4kN2kNFN1N3k2kNFN2FN3N4k3kN2kNFN3´1k3kNFNN+-2-kN例1

一杆件所受外力经简化后，其计算简图如图所示，试求各段截面上的轴力。解：在第I段杆内，取左段为脱离体2kN

FN1

0

Fx

0,在第III段杆内，若取右段为脱离体得 FN1

2kN(压力）在第II段杆内，取左段为脱离体

Fx

0,

2kN

3kN

FN

2

0得 FN

2

1kN(拉力）在第III段杆内，取左段为脱离体N

3F

3kN(压力）N

3

Fx

0,

2kN

3kN

4kN

FN

3

0F

3kN(压力）工

程

力

学

基

础单元6

轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩时的应力分析一、任务引入FFFFFFN图思考：如果我们逐渐增大力F的大小，会发生怎样的情况呢?轴向拉伸与压缩时的应力分析～基本概念一、任务引入FFFFFFN图说明:杆的抵抗破坏能力不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的