2024届上海杨浦区高三一模数学试卷和答案

高中PAGE1高中上海杨浦区2023-2024学年第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2023.12.考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．已知全集为,集合，则的补集可用区间表示为__________．2．若复数满足（其中为虚数单位），则__________．3．若，则_________．4.函数的最小值为_________．5.等差数列中，若，，则的前10项和为__________．6.若椭圆长轴长为4，则其离心率为__________．7．已知向量，，则在方向上的投影为__________．8.甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为和，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为__________．9.已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为__________．10.函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对__________．11.已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程为__________．12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是__________．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知实数满足，则下列不等式恒成立的是 （）A．； B．； C．； D．.14．在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为、、…、；乙运动员的成绩为、、…、，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是 （）A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定； B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定；C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定； D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定.15．等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（）A．； B．； C．； D．.16．函数满足：对于任意都有，（常数，）．给出以下两个命题：①无论取何值，函数不是上的严格增函数；②当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（）A．①②都正确；B．①正确②不正确；C．①不正确②正确；D．①②都不正确.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形．（1）求证：平面⊥平面；（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数．（1）求方程的实数解；（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）．（1）挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；（2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值．图图120．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知双曲线，是双曲线上一点．（1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；（2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；（3）当直线（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设函数（其中常数，），无穷数列满足：首项，．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；（3）当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．2．3．4.25.6.7．（or）8.9.3010.或11.12.24二、选择题（大题共4题，满分18分）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分13.B14.B15.C16．A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）∵平面，是平面上的直线，∴，2分∵是正方形，∴对角线．∵、是平面上的两条相交直线∴⊥平面2分∵平面经过直线，∴平面⊥平面．2分（2）∵∴．设点到平面的距离为，在三棱锥中，．2分由是正方形可知，；由勾股定理有；从而是正三角形，∴．2分∵，2分∴，即．2分综上所述，点到平面的距离为．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1），代入得，即，2分解得或（舍去），2分由解得．2分（2）对一切都成立，即对一切都成立．2分设，2分当且仅当．当时，，函数在上是严格减函数；当时，，函数在上是严格增函数．2分因此函数的最小值为，从而不等式恒成立时，实数的取值范围是．2分19.（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）若选择①，结合，得是直角三角形，米，挡雨板材料的面积为平方米．2分若选择②，则是一个圆心角为的扇形，弧长为，2分挡雨板材料的面积为平方米，约为平方米．2分（2）在直角中，由；在中，由正弦定理，，2分即2分，其中．2分当，即时，取得最大值．2分综上所述，有效遮挡区域高的最大值为米．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）设椭圆的标准方程为，由题意焦点为，即；长轴长为，即，，从而．2分因此，所求椭圆的标准方程为．2分（2）由双曲线经过第一象限的渐近线为，设；设，由可知，解得即．再由点在双曲线上，得，解得，从而点，，，2分直线的方程为，原点到直线的距离为，2分因此的面积．2分（3）设、，联立直线与双曲线的方程，消去得，2分由韦达定理得，．2分2分．综上所述，，从而是定值．2分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解（1）任取，都有，2分因此函数是奇函数．2分（2）反证法：假设数列是等差数列，公差为，2分由数列是严格增数列可知．因为，所以，即非零常数因为，所以（其中是正整数）．2分因为，，所以．方程无解，矛盾．假设不成立，即当时，数列不是等差数列．2分（3）若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为由得，即．考虑方程，均为该方程（记为①）的解．2分由函数的值域为可知，即，所以．若，则当充分大时（时），，这与矛盾，从而不合