四川省雅安市2022-2023学年高二下学期期末检测数学（理）试题（教师版）

雅安市2022～2023学年下期期末检测高中二年级（理科）数学试题（本试卷满分150分，答题时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知，则复数z在复平面内对应的点位于（）.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先解出复数，由复数的几何意义判定.【详解】因为，则，复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A.2.已知向量，，若，则（）A.2 B.18 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可．【详解】因，则存在实数使得，即，解得，所以，故选：B．3.已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．【详解】令，则，所以p为真命题；若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，所以只有为真命题.故选：B．4.下列说法中正确的是（）A.“”是“”成立的充分不必要条件B.命题，，则，C.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1D.已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为【答案】D【解析】【分析】对于A，利用特殊值进行排除；对于B，根据命题的否定定义进行判断；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1；对于D，求出剔除两个样本点和得到新的样本的平均数，再进行求解.【详解】对于A，满足，但，所以“”不是“”成立的充分条件，故A错误；对于B，命题，，则，，故B错误；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1，当负相关时，相关系数r越接近于，相关关系越强，故C错误；对于D，已知回归直线方程，且，则，剔除两个样本点和，得到新的回归直线的斜率为3，新样本平均数，，则新的回归方程为.故D正确.故选：D.5.已知，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【详解】由题设，，则，所以.故选：C6.当时，函数取得最小值1，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，，即可求出a，b的值，进而得到.【详解】由题意可得，，，因为，所以，解得，则，所以，故选：A.7.经过点作曲线的切线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标，写出切线方程把代入，研究方程根的情况即可.【详解】因为，设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.将代入，得即：或，所以，此时，切点为；或因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.故选：C.8.小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长X（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为（）（参考数据：，，）A.0.8414 B.0.1587 C.0.9773 D.0.0228【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性求概率即可.【详解】由题意知，故.故选：B．9.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案；方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率.【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种），至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种），所以至少有1名男医生参加的概率为.方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，则至少有1名男医生参加的概率为.故选：C．10.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，点到平面的距离为.故选：A.11.，当时，都有，则实数的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依题意对，当时恒成立，，，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得的取值范围，即可得解.【详解】因为，当时，都有，即，即，令，，则恒成立，即在上单调递增，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即实数的最大值为.故选：B12.已知，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意转化为，令，求得，得到单调递增，得到，即，得到，令，求得，结合函数的单调性和最大值，即可求解.【详解】由，可得，令，可得，所以单调递增，因为，可得，即，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，可得，所以的最大值为.故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式的展开式的常数项等于_____________．【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，求得，所以展开式的常数项为.故答案为：14.若，则等于___________.【答案】【解析】【分析】首先求出函数的导函数，令求出，再令代入计算可得；【详解】解：由，所以，

令得，所以，故，

故答案为：.15.已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为，则，令，可得；令，可得或.所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，所以，，令，即，即，解得，如下图所示：由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.16.如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是__________．①棱上一定存在点，使得；②三棱锥的外接球的表面积为；③过点作正方体的截面，则截面面积为；④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为．【答案】②③④【解析】【分析】①建立空间直角坐标系，设坐标，通过空间向量垂直的坐标表示求点进行判断；②使用补形法，将三棱锥补形为长方体求解即可；③画出正方体过点的截面，为正六边形，求面积即可；④设坐标，用线面平行得出坐标满足的条件，再由空间向量求线线角余弦值的最大值即可.【详解】对于①，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，，，设棱上一点，则，，若，则，整理得，即，无实数解，∴棱上不存在点，使得，故①错误；对于②，如图，分别取棱，，，的中点，，，，由已知，，易知棱柱为长方体，其外接球的直径为，外接球表面积，∵三棱锥的顶点均在长方体的外接球上，故该球也是三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的表面积为，故②正确；对于③，如图所示，过点作正方体的截面是边长为的正六边形，其可分成六个全等的，边长为的等边三角形，面积，故③正确；对于④，由①中所建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，∴，设平面内一点，则，∵平面，∴，即，又∵，∴与所成角的余弦值为，其中，，∴，即当且仅当时，与所成角的余弦值的最大值为，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】解决立体几何中动点问题的有效方法之一，是建立空间直角坐标系，设动点坐标，借助空间向量将几何关系转化为代数运算，通过运算进行求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在的展开式中，含项的系数是.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2（2）0【解析】【分析】（1）利用的展开式与的展开式即可求得的值；（2）利用赋值法分别求得，的值，进而求得的值.【小问1详解】由，可得在的展开式中含的项是由的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的，则【小问2详解】由（1）得，，令，则令，则则，则.18.某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）能（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）先计算，再根据独立性检验思想即可判断；（2）根据超几何分布即可求解分布列，再根据期望公式即可求解期望.【小问1详解】零假设：产品的质量与设备改造无关，根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.【小问2详解】依题意，的可能值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123数学期望.19.已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.【小问1详解】当为真命题时，在上有解，所以，当时取，有最大值3，所以，所以实数m的取值范围为；【小问2详解】当为真命题时，当时，，定义域为，满足题意；当时，要使的定义域为R，则，解得，综上可知：的取值范围是.因为为真命题且为假命题，所以一真一假，当真假时，，解得，当假真时，，此时，综上，的取值范围是.20.在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证，由线线垂直证线面垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.小问1详解】证明：在等腰梯形中，，，，过点C作于E，则，可知，由余弦定理知，则，所以.又，，，平面，所以平面又平面，所以平面平面.【小问2详解】解：因为平面，，所以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，则，即.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角正弦值为.21.2023年5月17日，318·川藏线零公里自驾游大本营旅游推介暨“5·17我要骑”雅安站活动在雨城区拉开帷幕，318·川藏线零公里自驾游大本营再次成为关注焦点.318·川藏线零公里自驾游大本营项目以“此生必驾318，首站打卡在雅安”，“世界第三极，雅安零公里”的交旅IP为文化指引，利用雅安交通区位和品牌资源优势，创新打造吸引力体验项目，提高雅安川藏游的话语权和影响力.某骑行爱好者在近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：身体综合指标评分12345用时（小时）9.58.67.876.1（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程.参考数据和参考公式：相关系数，，，【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式求出相关系数，根据相关系数的绝对值越