马尔可夫链专题讲义 高三数学一轮复习

马尔科夫链专题讲义马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关系求的概率.一、马尔科夫链的性质马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列Xm已知第n小时的状态Xn.如果X⋯,Xn−1的取值都没有关系,那么称随机变量序列二、马尔科夫链基本原理虽然贝叶斯公式不做要求,但是全概率公式已经是新高考考查内容,利用全概率公式,我们既可以构造某些递推关系求解概率,还可以推导经典的一维随机游走模型,即设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻t=0时,位于点X=ii∈N∗一个时刻,它将以概率α或者P另一方面,由于PX代入上式可得Pi进一步,我们假设在x=0与x=进一步,若点在某个位置后有三种情况:向左平移一个单位,其概率为a,原地不动,其概率为b,向右平移一个单位,其概率为c,那么根据全概率公式可得Pi三、应用举例1.药物试验问题例1（2019全国1卷21）为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,脱停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈半分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列:(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0p其中a=PX(i)证明:pi(iii)求pc,并根据p解:(1)由超意知,X的所有可能取值为-1.0,1.PX∴XX−01P1αβα(i)由(1)知,ac∴∴∴又p1−p(ii)由(i)可得pi∴====∵∴===p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=注：虽然当时学生未学过全概率公式,但命题人直接把pi2.投篮问题例2(2023年新高考I卷21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第一次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且PXi=1=1−PXi【分析】(1)第2次投篮的人是乙有两种可能:①第1次甲投,但甲未中;②第1次乙投,且乙投中;(2)第i次投篮的人是甲有两种可能:①第i−1次甲投,且甲投中;②第i−1次乙投,且乙未中;(3)随机变量Xi服从两点分布可以理解为第i次投球的人,Xi=1表示甲投,Xi=0解:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i篮的人是乙”为事件BiPP∴第2次投篮的人是乙的概率为0.6.(2)设PAi=当i≥2即p设pi+λ∴−35λ∴p又p1∴pi−13即pi∴p∴第i次投篮的人是甲的概率为pi=1(3)由(2)知,pi∴当n∈N∴3.传球问题例3(2019人教版高中数学选择性必修三第91页第10题)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.【分析】若第n+（1）第n次传球后球在甲手中,第n+（2）第n次传球后球在乙或丙手中,第n+根据全概率公式列出概率递推关系式,构造等比数列即可解决问题.解:设n次传球后球在甲手中的概率为pn,记An=AnP∴pn+设pn+∴32λ=1∴数列pn−13是首项为∴∴n次传球后球在甲手中的概率为1 注：由全概率公式构造概率递推关系式,其本质上就是由第n−1次的各种试验结果,结合全概率公式去计算第n例4校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率记为Pn,即P(1)求P3(2)证明:数列Pn解:(1)由题意得,第二次触球者为乙、丙、丁中的一个,第二次触球者传给包括甲的三人中的一人,故传给甲的概率为13,即P(2)第n次触球者是甲的概率记为Pn,则当n≥2时,第n−1次触球者是甲的概率为P由全概率公式得Pn∴∴数列Pn−14是首项为∴∴∴P例5唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”,也称传彩球.游戏规则为:击鼓时,众人开始依次传花,至鼓停为止,此时花在谁手中,谁就上台表演节目.甲、乙、丙三人玩击鼓传花,鼓响时,第一次由甲将花传出,每次传花时,传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人,经过6次传花后,花又在甲手中的概率为___.【答案】11【解析】设n次传花后花在甲手中的概率为PnP1=0,且设Pn+1令−32k=12,解得所以Pn−13是以则Pn−1故经过6次传花后,花又在甲手中的概率为P64.摸球问题例6(2023届广东茂名二模)马尔科夫链是因俄国数学家安德烈.马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第n−1,n−2,n(1)求X1(2)求数列an(3)求Xn解:(1)由题意知,X1的可能取值为0,PPP∴XX012P252由全概率公式得P++=即an∴a易得an又a1∴数列an−35是首项为∴an−（3）由全概率公式得P=+=0=即bn+1∴b∴又∴∴∴∴E例7(2023届佛山二模T16)有n个编号分别为1,2,⋯∴【答案】59【解析】设Pn为从第n个盒子中取到白球的概率,则此时P2当n≥2易得Pn故数列Pn−12是以的等比数列,所以P例8(深圳中学2024届高三年级高考适应性测试14)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中装有一个黑球和2个白球,乙口袋中装有2个黑球和1个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行nn∈N∗次这样的操作,记口袋甲中黑球的个数为Xn,恰有1个黑球的概率为an,则a【答案】49【解析】第一问,考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的,即从甲、乙两口袋中各取一个黑球交换,或各取一个白球交换.由全概率公式可得a1由题意知,Xn−1设PXn−PPPP∴===由题意知,X1PPP∴=∴∴E∴数列EXn−32∴∴5.赌徒输光问题例9(2023届杭州高三下期质量检测T21)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是⋯,Xt−2,PXt+1∣⋯,Xt−2当赌徒手中有n元0≤n≤(1)请直接写出P0与P(2)证明{Pn}(3)当A=100时,分别计算PA的数值,并结合实际解释当B→∞时,解:(1)当n=0时,赌徒已经输光了,因此当n=B时,赌徒到了终止赌博的条件,不再赌了,因此输光的概率(2)记M:赌徒有n元最后输光的事件,N:赌徒有n元上一场赢的事件,则P即Pn即Pn则{Pn}P累加得P故PB−P(3)由题知A=100,由PA−当B=200时,当B=1000时,当B→∞时,P即便是一个这样看似公平的游戏,只要赌徒一直玩下去就会100% 注：此题很新颖,题目的背景设置的虽然较为陌生复杂,但解答并不困难,该题将概率和数列知识综合到了一起,解答的关键是要弄明白题目的含义,即审清楚题意,明确Pn6.游戏问题例10(山东省济南市2023届高三下学期开学考)甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定:先掷出点数6的获胜,游戏结束.(1)记两人抛掷骰子的总次数为X,若每次最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,X的分布列和期望;（2）已知甲先掷,求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率.解:(1)依题意得,抛掷骰子一次获胜的概率为16,XPPPP∴X的分布列为X1234P1525125期望EX(2)设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为a依题意得,a1=56因此,数列an是首项为56,公比为则an当n≥2时,甲恰好抛掷P显然当n=1时,P所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为16例11（2024年5月“桐·浦·富·兴”教研联盟高二调研测试18)有一款闯关游戏,其规则如下:一颗棋子位于数轴原点O处,若掷出的骰子大于或者等于3,则棋子向右移动一个单位(从0移动到1),若掷出的骰子小于或者等于2,则棋子向右两个单位(从0移动到2),若棋子移动到99处,则“闯关失败”,若棋子移动到100处,则“闯关成功”,无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏,记棋子在坐标i处的概率为Pi(1)求P1(2)求证:Pi−Pi−(3)若有5人同时参加此游戏,记随机变量X为“闯关成功”的人数,求EX解:(1)由题意得,棋子向右移动一个单位的概率为23,棋子向右移动二个单位的概率为1∴P(2)由题意得,棋子在坐标i处有两种情况:①棋子在坐标i−1处向右移动一个位;②棋子在坐标∴∴P又P2∴数列Pi−Pi−1是首项为∴∴累加得Pi−∴Pi=(3)由题意得,“闯关成功”,即棋子在坐标100处,只能是棋子在坐标98处向右移动二个单位到达,则P=1又7.学生就餐问题例12(江苏省盐城市2024届高三考前指导卷16)某学校有A,B两个餐厅,经统计发现,学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后,如果某同学某天去A餐厅,那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4;如果某同学某天去B餐厅,那么该同学下一天去(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X,求随机变量X的分布列和期望;(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大?并说明理由.解:(1)一位同学第2天选择A餐厅的概率为0.5×由题意得,X∼PPPPX故X的分布列为X0123P8365427∴E(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn,则P当n≥2∴Pn−∴数列Pn−47是首项为数列,∴当n为奇数时,Pn当n为偶数时,Pn=P∴甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.8.布朗运动问题例13(2024届武汉市二调14)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为【答案】10【解析】方法一:设该粒子在第nn率分别为an,∴an又a0∴a试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为2====方法二:记从ii概率为Pi,则解得P1故试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为1013例14（河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期期中考试19)“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓,且粒子经过n次随机选择后到达2号仓的概率为Pn(1)证明数列Pn−1(2)粒子经过4次随机选择后,记粒子在1号仓出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.解:(1)设粒子经过n次随机选择后分别到达1号仓,3号仓的概率为AnP∴∴P又P0∴Pn−14∴∴(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2.PP×P∴Xx012P