专题04 式与方程（重点突围）-备战2023年小升初数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（解析板）

专题04式与方程【小升初考向导航】【目录】【考向一字母表示数】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1【考向二等式与方程】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5【考向三解方程】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10【直击小升初】【考向一字母表示数】【例题1】（2023•巴州区）小青的妈妈今年x岁，小青今年（x﹣25）岁，再过20年，她们相差（）岁。A．20 B．5 C．25 D．x﹣25【分析】因为不管经过多长时间，小红与妈妈的年龄差是不变的，也就是说今年她们相差25岁，那么过10年后她们仍相差25岁，据此即可解答。【解答】解：x﹣（x﹣25）＝25（岁）答：再过20年，她们相差25岁。故选：C。【点评】解答此题应抓住年龄差不变来求解，因为不管经过多少年，二人增长的年龄是一样的，故差不变。【例题2】（2022•仁化县）甲、乙两个工程队同修一条公路，他们从两端同时施工。（1）甲队每天修a米，乙队每天修b米，12天修完。这条公路长多少米？请用含有字母的式子表示出结果。（2）如果这条公路长4500米，甲队每天修80米，乙队每天修70米，修完这条公路需要多少天？【分析】（1）根据工作效率和×工作时间＝工作量，据此列式即可。（2）根据工作量÷工作效率和＝合作完成用的时间，据此列式解答。【解答】解：（1）12（a+b）米答：这条公路长12（a+b）米。（2）4500÷（80+70）＝4500÷150＝30（天）答：修完这条公路需要30天。【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再由已知条件回到问题即可解决。【变式训练】1．（2022•电白区）一个一位小数，十位上的数字是8，个位上的数是字a，十分位上的数字是b，表示这个数的式子是（）A．8+a+b B．8ab C．80+a+b D．以上答案都不对【分析】十位上是几表示有几个10，个位上是几表示有几个一，十分位上是几表示有几个0.1，据此解答即可。【解答】解：8×10+a+0.1b答：这个数的式子是80+a+0.1b。故选：D。【点评】解题关键是明确每个数位上数字的意义，注意基础知识的积累。2．（2022•通州区）一个两位数，个位上的数是a，十位上的数是b（a＞b），交换两数的位置，这个两位数就增加12。列出方程是（）A．ba﹣ab＝12 B．10a+b＝10b+a+12 C．ab﹣ba＝12 D．10a+b+12＝10b+a【分析】这个两位数原本是10b+a，增加12后是10a+b，据此列方程。【解答】解：列出方程是10a+b＝10b+a+12。故选：B。【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母所表示的意义，再进一步解答。3．（2022•青州市）一堆水果有x千克，卖出y千克后，剩余的分装在3个箱子里，平均每个箱子装（x﹣y）÷3千克。【分析】要求剩下的平均每箱装水果多少千克，就要用剩下水果的千克数÷箱数；剩下水果的千克数是（x﹣y）千克，箱数是3个，据此可列式解答。【解答】解：平均每个箱子装（x﹣y）÷3千克。故答案为：（x﹣y）÷3。【点评】本题考查了用字母表示数，关键是明白：平均每箱装水果的质量＝剩下的千克数÷箱数。4．（2022•惠城区）每支钢笔a元，用50元买2支钢笔，剩余的钱表示为（50﹣2a）元。【分析】根据总价＝单价×数量，求出2支钢笔的价钱，再用减法计算即可。【解答】解：50﹣2×a＝50﹣2a（元）答：剩余的钱表示为（50﹣2a）元。故答案为：（50﹣2a）【点评】解答此题的关键是掌握求价格的相关公式。5．（2022•薛城区）有三个连续自然数，最小的一个数是a，那么最大的一个数是（a+2）。【分析】根据自然数的特征，相邻自然数相差1，最小的一个自然数是a，另外两个分别是（a+1）、（a+2），其中（a+2）最大。【解答】解：三个连续的自然数，最小的一个数是a，则最大的一个数是（a+2）。故答案为：（a+2）。【点评】解答此题的关键是自然数的性质，相邻自然数相差1。6．（2022•电白区）当n表示自然数时，则2n+1一定是奇数。√（判断对错）【分析】根据奇数的含义：不能被2整除的数是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1或2k﹣1表示，这里k是整数；解答即可。【解答】解：因为n为非0自然数时，所以2n为偶数，则2n+1表示奇数，原说法正确；故答案为：√。【点评】解答此题应根据奇数和偶数的意义进行解答即可。7．（2022•吉首市）学校买来9个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元，一共用了多少钱？用式子表示应是9a+58。×（判断对错）【分析】根据单价×数量＝总价，解答此题即可。【解答】解：学校买来9个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元，一共用了多少钱？用式子表示应是9a+58b。所以题干说法是错误的。故答案为：×。【点评】熟练掌握单价、数量、总价的关系，是解答此题的关键。8．（2022•鹿邑县）小丽今年x岁，妈妈今年y岁，5年后妈妈比小丽大（y﹣x+5）岁。×（判断对错）【分析】因为年龄差不变，所以两人今年的年龄差就是5年后的年龄差，用妈妈现在的年龄减去小丽现在的年龄即可求解。【解答】解：小丽今年x岁，妈妈今年y岁，5年后妈妈比小丽大（y﹣x）岁，本题说法错误。故答案为：×。【点评】解决本题的关键是明确年龄差始终不变，今年的年龄差就是5年后的年龄差。9．（2022•杭州）已知▲+△＝42，▲+＝59，△+＝87，求▲和△的值。（请写出主要过程）【分析】由▲+△＝42，▲+＝59，可得▲+△+▲+＝101，再减△+，即可得2▲的值，可求得▲的值，再求△的值即可。【解答】解：由▲+△＝42，▲+＝59，可得▲+△+▲+＝101，▲+△+▲+﹣（△+）＝101﹣87所以2▲＝14可得▲＝7△＝42﹣7＝35答：▲的值是7，△的值是35。【点评】本题主要考查了含字母式子求值，关键是得出2▲＝14。10．（2022•唐县）一个服装店的所有服装都打同样的折扣。（1）李阿姨买了一件上衣，原价250元，现价150元。李阿姨还想买一条裤子，原件180元，现价多少钱？（2）如果用x表示原价，y表示现价，用式子表示y和x的数量关系：y＝60%x。【分析】（1）根据“现价÷原价×100%＝折扣率”算出折扣率，然后用裤子的原价×折扣率算出现价；（2）根据“现价＝原价×折扣率”表示出y和x的数量关系。【解答】解：（1）150÷250×100%＝0.6×100%＝60%180×60%＝108（元）答：现价108元钱。（2）因为现价＝原价×折扣率，折扣率为60%；所以y＝60%x。故答案为：y＝60%x。【点评】此题需要学生熟练掌握用字母表示数并灵活运用“现价÷原价×100%＝折扣率”这个公式。11．（2022秋•太原期末）实验小学准备购买笔袋和笔记本各x个，作为进步同学的奖品。已知笔袋的单价是11.5元/个，笔记本的单价是4.2元/本。（1）用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价。（2）当x＝60时，购买笔袋和笔记本一共花了多少钱？【分析】（1）根据总价＝单价×数量，代入数值分别表示出笔袋和笔记本的总价，再相加。表示购买笔袋和笔记本的总价。（2）代入数值进行计算即可。【解答】解：（1）11.5×x+4.2×x＝11.5x+4.2x＝15.7x（元）答：用含有字母的式子表示购买笔袋和笔记本的总价为15.7x元。（2）15.7×60＝942（元）答：购买笔袋和笔记本一共花了942元钱。【点评】本题是考查在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量。【考向二等式与方程】【例题1】（2022春•沭阳县月考）像3+x＝500，5x＝80这样含有未知数的等式是方程。【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。【解答】解：像3+x＝500，5x＝80这样含有未知数的等式是方程。故答案为：未知数，方程。【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。【例题2】（2022春•福鼎市期中）按要求写出等量关系，并列方程。（不用解答）（1）一堆煤26吨，每天用0.5吨，用去若干天后，还剩下12吨。等量关系式：若干天用去的煤的吨数+剩下的吨数＝这堆煤的吨数。如果设用去x天，列方程是0.5x+12＝26。（2）兴趣小组共有36人，其中女生人数是男生的3倍。等量关系式：男生人数+女生人数＝总共人数。如果设男生x人，列方程是x+3x＝36。【分析】根据题意写出等量关系，并根据等量关系列方程即可。【解答】解：（1）若干天用去的煤的吨数+剩下的吨数＝这堆煤的吨数如果设用去x天，列方程是0.5x+12＝26。（2）等量关系式：男生人数+女生人数＝总共人数如果设男生x人，列方程是x+3x＝36。故答案为：若干天用去的煤的吨数+剩下的吨数，0.5x+12＝26；男生人数+女生人数，x+3x＝36。【点评】明确题中的等量关系以及能根据等量关系列方程是解题的关键。【变式训练】1．（2022春•沭阳县月考）在25＝12x这个等式中，如果左边除以5，要便等式成立，右边应该除以5。【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。【解答】解：在25＝12x这个等式中，如果左边除以5，要便等式成立，右边应该除以5。故答案为：除以5。【点评】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。2．（2022春•汝州市期中）在①49a÷7②3x+10＝37③1+1＝2④8b﹣9＝7⑤x+9＞6⑥2m+n＝5中，②④⑥是方程，②③④⑥是等式。（填序号）【分析】表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫做方程，据此解答。【解答】解：在①49a÷7②3x+10＝37③1+1＝2④8b﹣9＝7⑤x+9＞6⑥2m+n＝5中，②④⑥是方程，②③④⑥是等式。故答案为：②④⑥；②③④⑥。【点评】熟练掌握方程与等式的意义是解题的关键。3．（2022•江都区）在小学阶段，我们学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（）。A． B． C． D．【分析】a既是a的因数又是a的倍数；等式包括方程；相交包括垂直；三角形的分类之间是并列关系。【解答】解：不能正确表示它们之间关系的是。故选：D。【点评】此题主要考查了韦恩图的运用，要熟练掌握。4．（2022•璧山区）下面的式子中，（）是方程。A．8n﹣9＝27 B．1.65a+2.7 C．98﹣x＜156 D．2+4＝6|【分析】根据方程的意义进行解答即可。【解答】解：A．8n﹣9＝27，既含有字母又是等式，所以是方程。B．1.65a+2.7，含有字母但不是等式，所以不是方程。C．98﹣x＜156，含有字母但不是等式，所以不是方程。D．2+4＝6，是等式但没有字母，所以不是方程。故选：A。【点评】根据方程的意义进行解答，理解方程需要满足的两个条件是解决本题的关键。5．（2022•青川县）“小星的体重比小丽的体重的2倍多3千克”，这句话中包含的数量关系是（）A．小星的体重﹣小丽的体重＝3千克 B．小星的体重﹣小丽体重的2倍＝3千克 C．小丽的体重﹣小星的体重＝3千克 D．小丽体重的2倍﹣小星的体重＝3千克【分析】小星的体重比小丽的体重的2倍多3千克，即小星的体重﹣小丽的体重的2倍＝3千克。【解答】解：这句话中包含的数量关系是：小星的体重﹣小丽体重的2倍＝3千克。故选：B。【点评】此题主要考查了寻找等量关系，要熟练掌握。6．（2022•临城县）若x＝y，则x﹣1.6＝y﹣16。×（判断对错）【分析】根据等式的性质判断即可。【解答】解：若x＝y，则x＝y，式子x﹣1.6与式子y﹣16减去的数不相等，所以结果不相等。原题说法错误。故答案为：×。【点评】等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以同一个数不为0的数，等式仍然成立。7．（2022•丰南区）天平的左侧盘中放一个2.5千克的菠萝，如果在右侧盘中放50个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。√（判断对错）【分析】左右两边重量相等，则天平平衡，据此解答即可。【解答】解：50×50＝2500（g）2500g＝2.5kg如果在右侧盘中放50个鸡蛋（每个鸡蛋50克），天平就能够保持平衡。故原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题主要考查了天平的特性，要熟练掌握。8．（2022•隆尧县）4x+6×2.8＝25.8是等式也是方程。√（判断对错）【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。【解答】解：4x+6×2.8＝25.8是等式也是方程。故原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。9．（2022秋•城阳区期中）方程与等式存在怎样的关系？请你选择正确的关系图表示出来。【分析】含有未知数的等式叫做方程，方程一定是等式，但等式不一定是方程，据此选择。【解答】解：【点评】熟练掌握方程与等式的关系是解题的关键。10．（2022春•鹿邑县月考）根据等式的性质在〇里填运算符号，在□里填数。（1）x+31＝57x+31﹣31＝57〇□（2）x÷4＝1.9x÷4×4＝1.9〇□【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。【解答】解：（1）x+31＝57x+31﹣31＝57﹣31（2）x÷4＝1.9x÷4×4＝1.9×4【点评】此题考查了等式的性质，要熟练掌握。11．（2022春•埇桥区期末）请你画图或举例说说下面这句话的意思：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立．【分析】等式的性质是指在等式的两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式，然后举例说明即可．【解答】解：5+10＝15，（5+10）×2＝30，15×2＝30，（5+10）÷5＝3，15÷5＝3，所以等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立．【点评】此题考查学生对等式的基本性质的理解，要注意：同时乘或除以同一个数时，必须是0除外．【考向三解方程】【例题1】（2022•忻州）方程2x+3x＝20与方程2x+3a＝23求得的x的值相等。则x＝4，a＝5。【分析】根据等式的基本性质，先把方程2x+3x＝20的左边化简为5x，两边再同时除以5，求出x的值；再把x的值代入方程2x+3a＝23，根据等式的基本性质求出a的值。【解答】解：2x+3x＝205x＝205x÷5＝20÷5x＝4把x＝4代入方程2x+3a＝23，得：2×4+3a＝238+3a﹣8＝23﹣83a＝153a÷3＝15÷3a＝5故答案为：4；5。【点评】熟练掌握等式的基本性质和代入求值法是解题的关键。【例题2】（2021秋•如东县期末）公园里有松树120棵，比杨树的棵数少20%，公园里有杨树多少棵？（列方程解答）【分析】根据题意，这道题的等量关系是：杨树的棵数×（1﹣20%）＝松树的棵数，根据这个等量关系，列方程解答。【解答】解：设公园里有杨树x棵。（1﹣20%）x＝1200.8x＝1200.8x÷0.8＝120÷0.8x＝150答：公园里有杨树150棵。【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：杨树的棵数×（1﹣20%）＝松树的棵数，列方程解答。【变式训练】1．（2022•福鼎市）下面不能用方程“x+x＝100”来表示的是（）A． B． C． D．【分析】根据各选项中的图的等量关系列式，即可判断。【解答】解：A.图中的3条小线段表示x，则下面的一小段表示x，则上面线段与下面线段的和等于100，可以用x+x＝100来表示；B.图中的线段被平均分成了4段，4段的和是100，前三段是x，则最后一段是x，求两段的和，列式为x+x＝100；C.根据等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，可知圆锥的体积是xcm3，圆柱加上圆锥的体积和是100cm3，据此列式为x+x＝100；D.根据题中的等量关系：同时部分的面积加上空白部分的面积是100平方米，涂色部分的面积是x平方米，空白部分的面积是x平方米，列式为：x+x＝100。故选：D。【点评】明确各选项中的等量关系是解题的关键。2．（2022•勃利县）x＝6是方程（）的解。A．3x+2＝14 B．x÷5＝3 C．8x﹣4×12＝0【分析】使方程的左右两边相等的未知数的值，是这个方程的解，把x＝6代入各个选项的方程中，看左右两边是否相等即可选择。【解答】解：A、把x＝6代入方程：左边＝3×6+2＝20，右边＝14；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解；B、把x＝6代入方程：左边＝6÷5＝1.2，右边＝3；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解；C、把x＝6代入方程：左边＝8×6﹣4×12＝48﹣48＝0，右边＝0；左边＝右边，所以x＝6是这个方程的解。故选：C。【点评】将x的值代入方程中进行检验，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。3．（2022•白云区）x＝1.5是方程（）的解。A．15÷x＝1 B．2（x+1）＝6 C．3x﹣0.5＝2 D．4x＝6【分析】把x＝1.5代入每个方程，看看哪个等式左边等于右边即可。【解答】解：A：当x＝1.5时，左边＝15÷1.5＝10，右边＝1，因为10≠1，左边≠右边，所以x＝1.5不是方程15÷x＝1的解。B：当x＝1.5时，左边＝2×（1.5+1）＝5，右边＝6，因为5≠6，左边≠右边，所以x＝1.5不是方程2（x+1）＝6的解。C：当x＝1.5时，左边＝3×1.5﹣0.5＝4，右边＝2，因为4≠2，左边≠右边，所以x＝1.5不是方程3x﹣0.5＝2的解。D：当x＝1.5时，左边＝4×1.5＝6，右边＝6，因为6＝6，左边＝右边，所以x＝1.5是方程4x＝6的解。故选：D。【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。4．（2022•礼县）已知3x+4＝16，则2.5x+＝10．【分析】等式的两边同时减去4，然后等式的两边同时除以3，求出方程3x+4＝16的解，然后再代入到2.5x+即可．【解答】解：3x+4＝163x+4﹣4＝16﹣43x＝12x÷3＝12÷3x＝4；把x＝4代入2.5x+可得：2.5x+＝2.5×4+＝10+＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查解方程，根据等式的性质进行解答即可．5．（2022•苍溪县模拟）18分成两个数，使它们的和是差的3倍，这两个数分别是6和12。【分析】假设其中较小的一个数是x，则另一个数是（18﹣x），这两个数的和还是18，这两个数的差是（18﹣x﹣x），根据它们的和是差的3倍，列出方程进行解答。【解答】解：设其中较小的一个数是x，则另一个数是（18﹣x），根据题意可得：（18﹣x﹣x）×3＝18（18﹣x﹣x）×3÷3＝18÷318﹣2x＝618﹣2x+2x＝6+2x6+2x＝186+2x﹣6＝18﹣62x＝122x÷2＝12÷2x＝618﹣6＝12答：这两个数分别是6和12。【点评】此题的解题关键是弄清题意，把其中一个数设为未知数x，找出题目中的等量关系系，列出方程进行解答即可。6．（2022•平舆县）4x+7＝7解得x＝0，所以该方程没有解。×（判断对错）【分析】将x＝0代入原方程，看左右两边是否相等即可。【解答】解：将x＝0代入原方程。左边＝4×0+7＝7右边＝7左边＝右边x＝0是原方程的解。原题说法错误。故答案为：×。【点评】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。7．（2022•台儿庄区）x＝5是方程4x+20＝40的解。√（判断对错）【分析】将x＝5带入原方程，看方程的左右两边是否相等。【解答】解：将x＝5带入方程4x+20＝40，则：左边＝4×5+20＝40右边＝40左边＝右边所以x＝5是方程4x+20＝40的解。原题说法正确。故答案为：√。【点评】本题考查了方程的解的意义。要理解：使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解。8．（2022•阜平县模拟）3.51是方程7x÷3＝8.19的解．×（判断对错）【分析】使方程两边左右相等的未知数的值叫做方程的解，而3.51是一个数，而不是x的值，因此说法错误．【解答】解：3.51是一个数，而不是x的值；所以，3.51是方程7x÷3＝8.19的解是错误的．故答案为：×．【点评】考查了对方程的解的理解程度，是个经常出错的知识点．9．（2022•惠东县）求未知数x。60%x＝7.2x+【分析】（1）根据等式的性质，两边同时除以0.6即可；（2）根据等式的性质，两边同时减去即可；（3）首先根据比例的基本性质化简