山东省滨州市渤海综合高中2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

渤海综合高中高一期末考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A.1B.-1C.D.-【答案】A【解析】【分析】直接利用，化简，再得到其虚部．【详解】因为，的虚部为1．故选：．2.已知向量，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.3.袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意给小球编号，列举出所有基本情况及满足要求的基本情况，由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，给2个红球编号为1、2，给3个黄球编号为3、4、5，则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种；取到红球的基本情况有：，，，，，，，，，，，，，，共14种.故所求概率.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.4.下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱柱的各条棱都相等C.所有几何体的表面都能展成平面图形D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱【答案】D【解析】【分析】从棱柱的定义出发判断ABD的正误，找出反例否定C，即可推出结果．详解】棱柱的侧面都是四边形，A不正确；棱柱的各条侧棱相等，所以B不正确；球不能展开为平面图形，C不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，D正确；故选：D．5.已知是虚数单位，若，则的共轭复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，求出其共轭复数，得到结果.【详解】∵，∴，即的共轭复数的虚部为故选：C．6.已知球的体积为，则它的半径为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据球的体积公式直接计算求解即可.【详解】解：设球的半径为，则，解得.故选：A7.在中，已知则等于（）A.4B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理即可求出．【详解】由余弦定理可得，，所以．故选：C．8.若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据正方体的体对角线长为其外接球的直径，再根据球的体积公式即可求出．【详解】因为正方体的体对角线长为其外接球的直径，所以球的直径为，即半径，故其体积为．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的选项.9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的为（

）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的关系即可根据选项逐一求解.【详解】对于A,可能平行或者异面，故A错误，对于B，若，则，故B正确，对于C，或，故C错误，对于D，一个平面内的一条直线要垂直于另一个平面内的两条相交直线，才可以得到两个平面垂直，故D错误，故选：ACD10.下列命题中正确的有（）A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数与众数的定义判断A；求出分位数可判断B；求出乙组数据的方差可判断C；根据平均数的求法可判断D.【详解】解：对于A，1，2，3，3，4，5的中位数为3，众数也为3，故A错误；对于B，将数据由小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，因为，所以数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5，故B正确；对于C，乙的平均数为，方差为，所以这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为分钟，故D正确.故选：BCD.11.在中，若，则（）A.60°B.150°C.120°D.30°【答案】AC【解析】【分析】由大边对大角可知，从而得，由正弦定理可得，根据特殊三角函数值即可得答案.【详解】解：因为，所以(大边对大角)，由正弦定理可知，∴，又因为，∴或．故选:．12.如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（）A.当E与重合时，异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为定值C.在平面内的射影长为D.当E向运动时，二面角的平面角保持不变【答案】BCD【解析】【分析】A：当E与重合，BD中点为O并连接，可得，即为异面直线与所成角的平面角，应用余弦定理求余弦值，即可确定大小；B：由及A到面、B到直线的距离为定值即可判断；C：在平面内的射影在上，即可求射影长；D：由二面角为二面角即可判断.【详解】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；B：，易知点A到平面的距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校选修轮滑课程的学生中，一年级有人，二年级有人，三年级有人.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了人，则这个样本中共有___________人.【答案】【解析】【分析】设这个样本中共有个人，根据分层抽样列等式可求得的值.【详解】设这个样本中共有个人，则，解得.故答案：.14.中，分别为的对边，，则_____【答案】【解析】【分析】由已知及余弦定理可求的值，再由正弦定理计算可得．【详解】解：由余弦定理可得：，可得：，由正弦定理可得：，故答案为：．15.已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求得的值．【详解】单位向量的夹角为，，与垂直，则实数，故答案为：16.如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．【答案】【解析】【分析】连、、，利用平行四边形可得，可得是异面直线与所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果.【详解】在正方体中，连、、，，依次是和的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，，是异面直线与所成角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，．异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.已如i为虚数单位，复数．（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求出；（2）根据复数的运算以及复数模的计算公式即可求出．【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，所以．（2）当时，，则，．18.若，求下列的值.（1）（2）（3）（4）（5）（6），其中为的夹角【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】【分析】（1）根据向量加法的坐标运算即可求解，（2）根据向量减法的坐标运算即可求解，（3）根据数量积的坐标运算即可求解，（4）（5）根据模长的坐标运算即可求解，（6）由夹角公式即可代入求解.【小问1详解】由，得【小问2详解】由，得【小问3详解】由，得【小问4详解】由得，【小问5详解】由得【小问6详解】19.本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过40分钟．（1）求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率：（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解；（2）题意可得，三人的租车费用组合为3，4，4，运用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件的加法公式进行求解．【小问1详解】由题意可得，甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为，三人都为不超过20分钟还车的概率，三人都20分钟以上且不超过30分钟还车的概率，三人都30分钟以上且不超过40分钟还车的概率甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为．【小问2详解】由题意可得，甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，则三人的租车费用组合为3，4，4，甲租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率乙租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率丙租车费用为3元，其余租车费用为4元的概率即甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为．20.已知△中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）△的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】若选择①，（1）由余弦定理可得或．（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算;若选择②，（1）由余弦定理求得．（2）先求得的值,再利用三角形面积公式计算．【详解】解：若选择①，（1）由，得，由，，得，解得或．（2），，则当时，，△面积，当时，，△的面积若选择②，（1）由，得，由，，得，解得．（2），，则所以△的面积．21.三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面；（2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积【详解】(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；(2)证明：∵，为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面；(3)解：在等腰直角三角形中，，∴，，∴等边三角形的面积，又∵平面，∴三棱锥的体积，∴.22.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（1）求证：平面；（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见