数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册41直线的方向向量与平面的法向量

4.1直线的方向向量与平面的法向量

最新课标能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面法向量.

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［教材要点］

要点一直线的方向向量与直线的向量表示

1.直线的方向向量

设点A,8是直线上不重合的任意两点，称通为直线/的方向向量.

2.直线的向量表示

已知点M是直线/上的一点，非零向量a是直线/的一个方向向量.那么对于直线/上

的任意一点尸，一定存在实数3使得，这个式子称为直线/的向量表示.

状元随笔1.在空间中，一个向量成为直线1的方向向量，必须具备以下两个条件：（1）

是非零向量；（2）向量所在的直线与直线1平行或重合.

2.与直线1平行的任意非零向量3都是直线的方向向量，且直线1的方向向量有无数

个.

3.给定空间中任意一点A和非零向量公，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量二

的直线.

4.表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽

然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反.

要点二平面的法向量及其应用

1.平面的法向量：如果一条直线/与一个平面a垂直，那么就把直线/的方向向量”叫

做平面a的法向量，则n±a.

2.平面a的方程：

在空间直角坐标系中，若"=（A,B,。，点/的坐标为（须，y0,zo）,则对于平面a内

任意一点尸（x,y,z）,则称A（X—尤0）+8。一yo）+C（z—zo）=o为平面a的方程.

^7-AB=O,

状元随笔利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组_有无数组解，

、n-AC=O

因此法向量有无数个.求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“，错误的画“X”)

(1)直线上任意两个不同的点A,B表示的向量Q都可作为该直线的方向向量.()

(2)若向量"1，"2为平面a的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定

平行.()

(3)直线的方向向量是唯一的.()

(4)若赢，CD都是直线/的方向向量，则前//CD,所以AB〃CD()

2.若A(—1,0,1),B(l,4,7)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)

C.(2,1,3)D.(3,2,1)

3.已知。=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线小L的方向向量.若h〃h，贝1()

15

A.x=6,y=15B.%=3,y=~2

15

C.x=3,y=15D.x=6,y=~2

4.经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为.

题型一求直线的方向向量

例1

如图，在三棱台中，AB=2AiBi,BiD=2DCi,CE=ECi,T&4B=a,AC=

b,AAi=c,以｛a,b,c｝为空间的一个基，求直线AE,的一个方向向量.

方法核他

求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的

向量，其难点是向量的运算.

跟踪训练1在四棱锥P48CD中，A3C。是平行四边形，E在PC上，且CE=3EP,

设赢=a,AD=b,AP=c,以｛a,b,c｝为空间的一个基，求直线AE的一个方向向量.

题型二求平面的法向量

例2如图，己知A8C。是直角梯形，NABC=90。，&4_L平面ABC£),SA=AB=BC^1,

AD=\,试建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量;

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量.

状元随笔求平面法向量的三个注意点

(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量.

(2)取特值：在求n的坐标时，可令x,y,z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面

的一个法向量.

(3)注意0：提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐

标不为0.

方法收的

利用待定系数法求平面法向量的步骤

1.设向量：设平面的法向量为n=(x,y,z).

2.选向量：在平面内选取两个不共线向量赢，AC.

n-AB=O,

3.列方程组：由j列出方程组.

n-AB=O,

4.解方程组：＜

ji-AC^O.

5.赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).

6.得结论：得到平面的一个法向量.

跟踪训练2如图，在四棱锥P-ABC。中，底面48a)为矩形，平面ABC。，E为

PD的中点，AB=AP=1,AD=y[3,试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法

向量.

题型三确定空间中点的位置

例3己知。是坐标原点，A,B,C三点的坐标分别为4(3,4,0),2(2,5,5),C(0,

3,5)

-A1-A-A_

(1)若OP=2(AB—AC),求P点的坐标；

(2)若尸是线段AB上的一点，且4尸：尸8=1：2,求尸点坐标.

方法核的

此类问题常转化为向量的共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关

于要求点坐标的方程或方程组求解即可.

跟踪训练3已知。为坐标原点，四面体04BC中，4(0,3,5),B(l,2,0),C(0,5,

0),直线AO〃8C,并且交坐标平面xOz于点。，求点。的坐标.

［课堂十分钟］

1.已知矗=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()

「122、「122、

A-L一万~3)B.3-

「122、122

C.(一亨3-3)口.(*§，§)

2.设平面a内两向量〃=(1,2,1),ft=(—LL2),则下列向量中是平面。的法向量

的是()

A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)

3.若。=(1,2,3)是平面y的一个法向量,则下列向量中能作为平面y的法向量的是()

A.(0,1,2)B.(3,6,9)

C.(-1,-2,3)D.(3,6,8)

4.若直线/〃a,且/的方向向量为(2,m,1),平面a的法向量为(1,2),则相等

于()

A.-4B.-6

C.-8D.8

5.己知点A(l,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),求平面43c的一个法向量.

4.1直线的方向向量与平面的法向量

新知初探•课前预习

要点一

2.KP=ta

［基础自测］

1.(1)V(2)V(3)X(4)x

2.解析：AB=(2,4,6)=2(1,2,3).故选A.

答案：A

3.解析：由人〃/2得，|=^=1,解得x=6,y=£.

故选D.

答案：D

4.解析：与z轴垂直的平面的法向量”=(0,0,1)所以与z轴垂直的平面的方程为：z

-1=0

答案：z—1=0

题型探究•课堂解透

>，

例1解析：AD=AA^+A7D=^+A^+C^D=AA^+AZcr+jcZB^=^Xl+|AC+1

(iAB-iAC)=iAB+lAC+AA7=-a+-fe+c.

2263163

所以直线AD的一个方向向量是)+1+c.

63

AE=AC+CE=AC+icCi=AC+-(CA+^4A7+-AC)=-AC+-AA7=-6+-C,

221242142

所以直线AE的一个方向向量为》+：c.

42

跟踪训练1解析：

如图所示，AE=AC+CE=AB+AD+-(AP-AC)=AB+AD+-(AP-AB-AD)=1AB+

444

iAD+-AP=ia+^+-c

44444

故直线AE的一个方向向量是工a+4+三c.

444

例2解析：以点A为原点，AD.AB.AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),8(0,1,0),C(l,1,0),£)(|,0,0),5(0,0,

(1)：SA_L平面ABCD,

.\AS=(0,0,1)是平面A8CO的一个法向量.

(2y.'AD±AB,AD±SA,ABCtSA^A,

.•.4)_L平面SAB,

.\AD=(|,0,0)是平面SAB的一个法向量.

(3)在平面SCO中，DC=(|,1,0),SC=(1,1,-1).

设平面SCZ)的法向量是〃=(x,y,z),

则"_L玩，"_L攵，所以

(n-SC=0

|x+y=0,.(x=_2y,

得方程组

x+y—z=0,lz=~y,

令y=-1,得x=2,z=l,・•・平面SC。的一个法向量为〃=(2,—1,1).

跟踪训练2解析：

因为平面ABC。，底面ABC。为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),

0(0,V3,0),E(0,y,|),2(1,0,0),C(l,V3,0),于是靠=(0,苧，|),AC=(1,遍，0),

设〃=(x,y,z)为平面ACE的法向量，则上题=。即谓+?一°所以卜=-噂y

tn-AE=0(yy+|z=0[z=-V3y

令》=-1,则x=z=W,所以平面ACE的一个法向量为"=C，—1,V3).

例3解析：⑴AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5),OP=|(AB-AC)=j(2,2,

0)=(1,1,0),.点的坐标为(I,1,0)

(2)由尸是线段A2上的一点.且AP：PB=1：2,^PAP=|PB

设点P的坐标为(x,y,z),

则品=(x-3,y-4,z),而=(2-x,5-y,5—z)

故(%—3,y—4,z)=5(2—x,5~y,5—z)

%—3=|(2—%)f%=1

gp.y-4=1(5-y)解得卜=当

、z=|(5-z)[z=j

因此尸点的坐标为吗，y,|).

跟踪训练3解析：平面xOz,；.设。(x,0,z)

则说=(x,-3,z-5),BC=(-1,3,0)

VAD^BC,.".AD=ABC,：.(x,-3,z-5)="-l,3,0)

(x=-A(A=­l

*,*<—3=3A即1x=l

(z—5=0(z=5

・・・。点的坐标为(1,0,5).

［课堂十分钟］

1.解析：设平面A3C的法向量为忆=(%,y,z),

则有］取1=1,则y=—2,z=2.

(4x+5y+3z=0,

所以〃=(1,