2024年四川省泸州市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．下列各数中，无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．π2．第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21﹣24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）A．2.6×107 B．2.6×108 C．2.6×109 D．2.6×10103．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）A．B． C．D．4．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝（）A．10° B．15° C．20° D．30°5．下列运算正确的是（）A．3a+2a3＝5a4 B．3a2•2a3＝6a6 C．（﹣2a3）2＝4a6 D．4a6÷a2＝4a36．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD7．分式方程﹣3＝的解是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝ D．x＝38．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（）A．56° B．60° C．68° D．70°10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（）A． B． C． D．11．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.13．函数y＝的自变量x的取值范围是．14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为．15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是．16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。17．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1．18．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．19．（6分）化简：（+x﹣2y）÷．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．甲781011111213131414141415161618乙7101311181213131013131415161117将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．苗高分组甲种小麦的频数7≤x＜10a10≤x＜13b13≤x＜16716≤x＜193小麦种类统计量甲乙平均数12.87512.875众数14d中位数c13方差8.657.85根据所给出的信息，解决下列问题：（1）a＝，b＝，并补全乙种小麦的频数分布直方图；（2）c＝，d＝；（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数．21．（7分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。22．（8分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于点F．（1）求证：∠CAE＝∠D；（2）过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值；（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

2024年四川省泸州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．下列各数中，无理数是（）A． B．3.14 C．0 D．π【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：﹣是分数，3.14是有限小数，0是整数，它们都不是无理数；π是无限不循环小数，它是无理数；故选：D．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21﹣24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）A．2.6×107 B．2.6×108 C．2.6×109 D．2.6×1010【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：260000000＝2.6×108．故选：B．【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）A． B． C． D．【分析】找到从正面和左面看所得到的图形，得出主视图和左视图均是三角形的即可．【解答】解：A．主视图和左视图都为三角形，所以A选项不符合题意；B．主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项不符合题意；C．主视图为矩形，左视图也是矩形，所以C选项符合题意；D．主视图是矩形，左视图是三角形，所以D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．4．把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝（）A．10° B．15° C．20° D．30°【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠1＝45°，∵∠2+∠DAE＝∠BAD，∠DAE＝30°，∴∠2＝15°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．5．下列运算正确的是（）A．3a+2a3＝5a4 B．3a2•2a3＝6a6 C．（﹣2a3）2＝4a6 D．4a6÷a2＝4a3【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则分别计算即可．【解答】解：A、3a与2a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、3a2•2a3＝6a5，故此选项不符合题意；C、（﹣2a3）2＝4a6，故此选项符合题意；D、4a6÷a2＝4a4，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了整式的除法，熟练单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD【分析】根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项A进行判断；根据平行四边形性质得AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，再根据∠B＝∠C得∠B＝∠C＝90°，然后根据有一个角等于90°的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；根据对角线相等的平行四边形是矩形可对选项C进行判断；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，∴选项A可以判定▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形，故选项B可以判定▱ABCD为矩形，故选项B不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，∴选项C可以判定▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，∴选项D不能判定▱ABCD为矩形，故选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．7．分式方程﹣3＝的解是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣1 C．x＝ D．x＝3【分析】解分式方程得结论．【解答】解：﹣3＝，去分母，得1﹣3（x﹣2）＝﹣2，整理，得﹣3x＝﹣9，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的解．所以原方程的解为：x＝3．故选：D．【点评】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．8．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据判别式求出k＜0，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣k＝0无实数根，∴Δ＝4﹣4（1﹣k）＜0，解得k＜0，则函数y＝kx图象经过第二、四象限，函数y＝的图象分布在第一、三象限，两个函数没有交点．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两个函数的图象是解答本题的关键．9．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（）A．56° B．60° C．68° D．70°【分析】连接AD，则∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BAE+∠BCD＝236°，所以∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，求得∠EAD＝56°，由切线长定理得EA＝ED，则∠EDA＝∠EAD＝56°，所以∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝68°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接AD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BAE+∠BCD＝236°，∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，∴∠EAD＝56°，∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°，∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，故选：C．【点评】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（）A． B． C． D．【分析】设AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，再根据翻折的性质及等角对等边得出EC＝EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE即可．【解答】解：由题知，令AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，由翻折可知，∠EAC＝∠BAC．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC．令DE＝x，则AE＝EC＝2a﹣x，在Rt△ADE中，[（）a]2+x2＝（2a﹣x）2，解得x＝，∴DE＝，AE＝2a﹣＝．在Rt△DAE中，sin∠DAE＝．故选：A．【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．11．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限，∴Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0且a﹣1≥0，a＞0，解得1≤a＜，∴a的取值范围为1≤a＜．故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，进一步能确定a的取值范围是解题的关键．12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OM+FG的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．10【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时，有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，又∵AE＝BF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，∵点M是DF的中点，∴，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，∵FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，∴△FBG≌△FBH（SAS），∴FH＝FG，∴，∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，∵AG＝2GB，AB＝6，∴BH＝BG＝2，∴AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得．∴的最小值为5，故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，通过作辅助线可帮助解题．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）.13．函数y＝的自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．【解答】解：由题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2，所以函数y＝的自变量x的取值范围是x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为3个．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到得＝，然后解方程即可．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得x＝3，经检验：x＝3是原分式方程的解，∴黄球的个数为3个．故答案为：3个．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是14．【分析】先利用跟与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5．∴（x1﹣x2）2+3x1x2＝+x1x2+＝（x1+x2）2﹣x1x2＝32﹣（﹣5）＝9+5＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握跟与系数的关系及完全平方公式的变形是解决本题的关键．16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为（）．【分析】根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题．【解答】解：由题知，将点B（）向上平移2个单位所得点M的坐标为（）．如图所示，过点M作x轴的垂线，垂足为F，则OF＝，MF＝1．在Rt△MOF中，tan∠MOF＝，OM＝，所以∠MOF＝30°．由旋转可知，B′O＝MO＝2，∠MON＝105°，所以∠B′OF＝135°．过点B′作y轴的垂线，垂足为E，则∠B′OE＝135°﹣90°＝45°，所以△B′OE是等腰直角三角形．又因为B′O＝2，所以B′E＝OE＝，所以点B′的坐标为（）．故答案为：（）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及坐标与图形变化﹣旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形平移和旋转的性质是解题的关键．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分。17．（6分）计算：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1．【分析】先算乘方，再化简绝对值、代入特殊角的函数值算乘法，最后加减．【解答】解：|﹣|+（π﹣2024）0﹣2sin60°+（）﹣1＝+1﹣2×+2＝+1﹣+2＝3．【点评】本题考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数幂及负整数指数幂的意义、绝对值的意义等知识点是解决本题的关键．18．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．【分析】要证∠1＝∠2，可以利用三角形全等，证△ADE≌△CBF即可，【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题主要考查平行四边的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，属于中考中常见的基础证明题型．19．（6分）化简：（+x﹣2y）÷．【分析】先算括号里面，再算除法．【解答】解：原式＝÷＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分。20．（7分）某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如表．甲781011111213131414141415161618乙7101311181213131013131415161117将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．苗高分组甲种小麦的频数7≤x＜10a10≤x＜13b13≤x＜16716≤x＜193小麦种类统计量甲乙平均数12.87512.875众数14d中位数c13方差8.657.85根据所给出的信息，解决下列问题：（1）a＝2，b＝4，并补全乙种小麦的频数分布直方图；（2）c＝13.5，d＝13；（3）甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数．【分析】（1）由表格可直接得出a，b的值；求出乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数，补全乙种小麦的频数分布直方图即可．（2）根据中位数、众数的定义可得答案．（3）根据方差的意义可知，甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙；根据用样本估计总体，用1200乘以样本中乙种小麦苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）由表格可知，a＝2，b＝4．故答案为：2；4．由题意知，乙种小麦苗高在13≤x＜16的频数为7，补全乙种小麦的频数分布直方图如图所示．（2）将甲种16株小麦的苗高按照从小到大的顺序排列，排在第8和第9的苗高为13，14，∴c＝（13+14）÷2＝13.5．由表格可知，d＝13．故答案为：13.5；13．（3）∵甲种小麦的方差大于乙种小麦的方差，∴甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙．故答案为：乙．1200×＝375（株）．∴估计苗高在10≤x＜13（单位：cm）的株数约375株．【点评】本题考频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、用样本估计总体、中位数、众数、方差，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．21．（7分）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？【分析】（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据“购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，根据“购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍，且销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据题意得：，解得：．答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；（2）设购进m件A商品，则购进（60﹣m）件B商品，根据题意得：，解得：19≤m≤20，∴m的最大值为20．答：购进A商品的件数最多为20件．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．五、本大题共2小题，每小题8分，共16分。22．（8分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【分析】过C作CH⊥AB于H，根据三角函数的定义得到BC＝＝＝10（nmile），过D作DG⊥AB于G，求得∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，得到∠CDB＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过C作CH⊥AB于H，∵∠CAB＝45°，AC＝30nmile，∴AH＝CH＝15nmile，∵∠CBH＝60°，∴BC＝＝＝10（nmile），过D作DG⊥AB于G，∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°，∴CD＝＝＝20（nmile），答：C，D间的距离为20nmile．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与x轴相交于点A（﹣2，0），与反比例函数y＝的图象相交于点B（2，3）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直线x＝m（m＞2）与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象分别交于点C，D，且S△OBC＝2S△OCD，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）先求出△OCD的面积，进而得出△OBC的面积，再用点C的坐标表示出△OBC的面积即可解决问题．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得，，解得，所以一次函数的解析式为y＝．将点B坐标代入反比例函数解析式得，a＝2×3＝6，所以反比例函数的解析式为y＝．（2）将x＝m分别代入y＝和y＝﹣得，点C的坐标为（m，），点D的坐标为（m，），所以．又因为S△OBC＝2S△OCD，所以S△OBC＝8．令直线CD与x轴的交点为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N，因为S△BON+S梯形BNMC＝S△BOC+S△COM，且S△BON＝S△COM，所以S梯形BNMC＝S△BOC＝8，所以，解得．因为m＞2，所以m＝6，则点C的坐标为（6，1）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分。24．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC＝CE，CE交AB于点F．（1）求证：∠CAE＝∠D；（2）过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3，求FG的长．【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到∠BCD＝90°，则∠D+∠CBD＝90°，由切线的性质推出∠ABC+∠CBD＝90°，则∠ABC＝∠D，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到∠E＝∠ABC，∠CAE＝∠E，据此即可证明∠CAE＝∠D；（2）过点C作CH⊥AE于H，由勾股定理得，利用等面积法求出，则，同理可得，AG＝4，进而得到BG＝2；由AE＝2AH，证明△ACB∽△CHA，求出，，设FG＝x，则AF＝4+x，证明△AEF∽△CBF，推出，故，解方程即可得到答案．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠D+∠CBD＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠ABC+