第19讲 图形的轴对称、平移与旋转（原卷）初中数学

第十九讲一一图形的轴对称、平移与旋转

考向一轴对称

典例引领

1.（2020•山东德州市•中考真题）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A.

2.（2020•山西中考真题）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识.下

面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A0®C②,②

打喷嚏捂口鼻喷嚏后慎揉眼勤洗手勤通风戴口宣讲卫生

变式拓展

1.（2020•四川绵阳市•中考真题）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形

的对称轴有（）

A.2条B.4条C.6条D.8条

1

2.（2020•青海中考真题）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿

图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（）

A.B.<q^z>c.<cOz>D.<^>

考向二利用轴对称求最值

典例引领

1.（2020•江苏南京市•）如图①，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧的A、B两个城镇分别发

铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

•B

（1）如图②，作出点A关于/的对称点A,线A8与直线/的交点C的位置即为所求，即在点C处建气

站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在/直线上另外任取一点C,连接AC,

BC',证明AC+CB<AC'+C'3,请完成这个证明.

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形

2

的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

2.（2020•河南中考真题）如图，在扇形中，/80。=6（）。,8平分/80。交狐5。于点£）.点E为

半径OB上一动点若OB=2,则阴影部分周长的最小值为,

OEB

变式拓展

1.（2020•湖南永州市•中考真题）4OB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且NAO3=6（）°，在NAOB

内有一点尸（4,3）,M,N分别是。4,。8边上的动点，连接PM,PN,MN,则APMN周长的最小值是

2.（2020•天津中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点AC均落在格点上,

3

点B在网格线上，且=3（I）线段AC的长等于；（II）以3c为直径的半圆与边4C相

交于点。，若P,Q分别为边ACBC上的动点，当6P+PQ取得最小值时，请用不刻度的直尺，在如图所

示的网格中，画出点P,Q，并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明）.

考向三平移

典例引领

1.（2020•内蒙古赤峰市•中考真题）如图，放中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,把RfZXABC沿直

线BC向右平移3个单位长度得到△AbC,则四边形ABCA，的面积是（）

C.20D.22

2.（2020•辽宁阜新市•中考真题）如图，把沿A8边平移到5316的位置，图中所示的三角形的

面积，与四边形的面积邑之比为4：5,若AB=4,则此三角形移动的距离A4是.

4

变式拓展

1.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，在中，BC=3,将AABC平移5个单位长度得到△人山iG,点

尸、。分别是A&AiG的中点，PQ的最小值等于.

2.（2020•广东广州市•中考真题）如图，点A的坐标为（1,3）,点6在％轴上，把AOAB沿X轴向右平移到

A£C£>,若四边形A8OC的面积为9,则点。的坐标为.

考向四旋转

典例引领

1.（2020•贵州黔西南布依族苗族自治州•中考真题）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的

角度a（0。<仁180。）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度a称为这个图

形的一个旋转角.例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90。或180。后，能与自身重合（如图1）,所

以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角.根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是;

A.矩形B.正五边形C.菱形D.正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；

5

⑴(3)(4)(O

(3)下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图

形，其中真命题的个数有()个；

A.0B.1C.2D.3

(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45。，90°,135°,180°,将图形补充完

6

2.（2020•辽宁大连市•中考真题）如图，AABC中，NAC8=9O°,NA8C=4O".将AABC绕点B逆时针

旋转得到△ABC',使点C的对应点C'恰好落在边A8上，则NCAA'的度数是（）

A.50°B.70°C.110°D.120°

变式拓展

1.（2020•四川中考真题）如图，Rt"BC中，NA=30。，ZABC=90°.将Rt"BC绕点8逆时针方向旋转

得到△ABC.此时恰好点C在A'C上，A3交AC于点E,贝SABE与AABC的面积之比为（）

2.（2020•内蒙古赤峰市•中考真题）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小

的是（）

A.等边三角形B.平行四边形

7

考向五中心对称

典例引领

1.（2020•山东青岛市•中考真题）下列四个图形中，中心对称图形是（）

A.。©企。❷

2.（2020•浙江绍兴市♦中考真题）将如图的七巧板的其中几块,拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）

变式拓展

1.（2020•四川遂宁市•中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

2.（2020•四川内江市•中考真题）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图

形的是（）

8

@c©

考向六图形设计及网格作图

典例引领

1.（2020•浙江宁波市•中考真题）图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有

3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.（请将两个小题依次作答在图1,图2中，均只需

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2.(2020•广西中考真题)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A(1,3),B(4,4),

C(2,1).(1)把AABC向左平移4个单位后得到对应的AAIBC”请画出平移后的AAIBICI；

(2)把△ABC绕原点。旋转180°后得到对应的A/UB2c2,请画出旋转后的A/hB2c2；

(3)观察图形可知，AA/IG与AA282c2关于点()中心对称.

■»

X

变式拓展

1.(2019•浙江宁波市•中考真题)图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有

5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影:

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心

对称图形。(请将两个小题依次作答在图1,图2中，均只需画出符合条件的一种情形)

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2.(2020•宁夏中考真题)在平面直角坐标系中，AA8c的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).

(1)画出AABC关于x轴成轴对称的△A4G；

(2)画出AABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△4名C2.

、声点冲关充

1.(2020•湖南永州市•中考真题)永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警

告标志入手开展安全教育.下列安全图标不是轴对称的是()

AC0

注意安全水深危险必须戴安全帽注意通风

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2.（2020•广东广州市•中考真题）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）

正面

A.该圆锥的主视图是轴对称图形

B.该圆锥的主视图是中心对称图形

C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

3.（2020•广东深圳市•中考真题）下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）

4.（2020•新疆中考真题）在四张背面完全相同的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形、圆的图案，

现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率

为（）

1113

A.-B.-C.—D.一

4324

5.（2020•辽宁阜新市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形0A6CDE绕点。顺

时针旋转i个45°,得到正六边形OABjCREj,则正六边形0曲£*卜=2020）的顶点6的坐标是（）

A.(1,-73)B.(1,73)C.(1,-2)D.(2,1)

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6.（2020•山东枣庄市•中考真题）在下图的四个三角形中，不能由AABC经过旋转或平移得到的是（

7.（2020•山东青岛市•中考真题）如图，将AABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90。,

得到△A'6'C',则点A的对应点4的坐标是（）

A.(0,4)B.(2,-2)C.(3,-2)D.(-1,4)

9.（2020•浙江绍兴市♦中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，ZABC=9Q°,BA^BC,将BC绕点2

顺时针旋转9（0°<0<90°）,得到BP,连结CP,过点A作AHLCP交CP的延长线于点H,连结AP,

则的度数（）

A.随着0的增大而增大B.随着0的增大而减小C.不变D.随着0的增大，先增大后减小

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10.（2020•浙江嘉兴市•中考真题）如图，正三角形ABC的边长为3,将AABC绕它的外心。逆时针旋转60。

得到△48C,则它们重叠部分的面积是（）

A.2x/3B.—3^3C.—3V5D.

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11.（2020•青海中考真题）如图，将周长为8的AABC沿BC边向右平移2个单位，得到△£＞所，则四边

形ABFD的周长为.

12.（2020•甘肃金昌市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOAB的顶点A，6的坐标分别为（3,0）,

（4,0）,把钻沿x轴向右平移得到ACOE,如果点。的坐标为（6,G）,则点E的坐标为

13.（2020•辽宁葫芦岛市•中考真题）一张菱形纸片ABC。的边长为6cm,高AE等于边长的一半，将菱形

纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线交直线CO于点F,则。尸的长为cm.

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15.(2020•上海中考真题)如图，在△ABC中，AB=4,BC=7,NB=60°,点。在边BC上，8=3,联结

AD.如果将△4C。沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线B。的距离为.

15.(2020•山东泰安市•中考真题)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的

边长均为1,点A,B,C的坐标分别为4(0,3),5(-1,1),C(3,l).V4*C是△ABC关于x轴的对称图

形，将VAB'C'绕点3'逆时针旋转180°,点A'的对应点为M,则点M的坐标为.

16.(2020•山东聊城市•中考真题)如图，在直角坐标系中，点A(l/)，B(3,3)是第一象限角平分线上的两

点，点。的纵坐标为1,且C4=C5,在y轴上取一点。，连接AC,BC,AO,8D，使得四边形AC8D

的周长最小，这个最小周长的值为

15

17.（2020•辽宁朝阳市♦中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为

A（-3,2）,5（-l,3）,C（-l,l）,请按如下要求画图：（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转

90°,得到△AEC，请画出△A4G；（2）以坐标原点。为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似

18.（2020•黑龙江鹤岗市•中考真题）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平

面直角坐标系中，AA3c的三个顶点4（5,2）、3（5,5）、C（l,l）均在格点上

（1）将AA6C向左平移5个单位得到AAqG，并写出点4的坐标：

（2）画出A44G绕点G顺时针旋转90°后得到的△A&G，并写出点&的坐标;

（3）在（2）的条件下，求M与a在旋转过程中扫过的面积（结果保留万）.

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19.（2020•山东枣庄市•中考真题）在AABC中，ZACB=9O°,CD是中线，AC=BC,一个以点。为

顶点的45°角绕点。旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点乐F,DF与AE交

于点M,DE与BC交于点N.

（1）如图1,若CE=CF,求证：DE=DF；⑵如图2,在NED/绕点。旋转的过程中，试证明

C£>2=CE.C/7恒成立；（3）若C£）=2,CF=6,求ON的长.

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20.（2020•四川达州市•中考真题）（1）（阅读与证明）

如图1,在正AA3c的外角NC4”内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在NC4”内），连

接BE,BE、CE分别交AM于点F、G.

①完成证明：•.•点E是点C关于AM的对称点，.•.NAGE=90°，AE=AC,Z1=Z2.

•.•正AABC中，ABAC=60°.AB=AC,:,AE^AB，得N3=N4.

在AABE中，Zl+Z2+60°+Z3+Z4=180\.-.Zl+Z3=

在△A£G中，ZFEG+Z3+Zl=90\.".ZFEG=

②求证：BF=AF+2FG.

（2）（类比与探究）把（1）中的“正△ABC”改为“正方形A8DC”，其余条件不变，如图2.类比探

究，可得：①NEEG=°；②线段8尸、AF，EG之间存在数量关系.

（3）（归纳与拓展）如图3,点A在射线8〃上，AB=AC,N84C=a（0"在NC4”内

引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在NC4”内），连接BE,BE、C£分别交AM于点F、

G.则线段BR、AF.GF之间的数量关系为.

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1.（2020•湖北宜昌市•中考真题）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片，从对称美的角度看，拍得最成

2.（2020•山东济南市•中考真题）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票

中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C.

3.（2020•上海中考真题）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后

能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合图形是（）

A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆

4.（2020•山东蒲泽市•中考真题）在平面直角坐标系中，将点P（-3,2）向右平移3个单位得到点P',则点P'

关于X轴的对称点的坐标为（）

A.（0,-2）B.（0,2）C.（-6,2）D.（-6,-2）

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5.（2020•贵州黔南布依族苗族自治州•中考真题）观察下列图形，是中心对称图形的是（）

6.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点都在格点上，如果将AABC先

沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到V49C、那么点B的对应点片的坐标为（）

7.（2020•黑龙江牡丹江市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形A3CD对角线BD的中点，

A£>//x轴且AD=4,NA=6（）。，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应

点的坐标是（）

C.（2>/3,0）D.（0,2百）或（0,-2月）

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8.（2020•福建中考真题）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对

称图形的是（）

9.（2020•甘肃兰州市•中考真题）如图，将aABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F,

若/ABD=481/CFD=4O，则”为（）

C.122°D.92°

10.（2020•江苏苏州市•中考真题）如图，在AA3C中，ZR4C=1O8°,将AABC绕点A按逆时针方向旋

转得至U^AB'C'.若点B'恰好落在3c边上，且AB'=CB'，则Z.C的度数为（）

C.24°D.28°

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11.（2020•河南中考真题）如图，在AABC中，ZACB=90°.边BC在x轴上，顶点A,5的坐标分别为

（—2,6）和（7,0）.将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点。的坐标为（）

A.（I；］B.（2,2）C.ID.（4,2）

12.（2020•江苏镇江市•中考真题）点。是正五边形A8CDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作

半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）.这个图案绕点。至少旋转°后能与原来的图案互相重合.

13.（2020•湖南张家界市•中考真题）如图，正方形A3CD的边长为1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一

定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CE上，则阴影部分的面积是.

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14.(202()•四川宜宾市•中考真题)如图，四边形ABCD中，D4_LAB,C8，A3,45=3,AB=5,=2,P

是AB上一动点，则PC+PD的最小值是

15.(2020•安徽中考真题)如图1,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格

线的交点)为端点的线段AB，线段在网格线上，

(1)画出线段关于线段所在直线对称的线段(点4与分别为A5的对应点);

(2)将线段绕点风,顺时针旋转90。得到线段画出线段.

16.(2020•吉林中考真题)如图①、图②、图③都是3*3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.A，

B,。均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图:

(1)在图①中，画一条不与A8重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称，且M,N为格点.

BB

图①图②图③

(2)在图②中，画一条不与4c重合的线段PQ,使PQ与4。