指数函数(针对练习)

第二章函数

2.4.2指数函数(针对练习)

针对练习

针对练习一指数与指数幕的运算

i.用分数指数幕的形式表示下列各式m>o,">o).

⑴a2G；

⑵府Q；

⑶(方>•病；

(4)X.

【答案】(|疗；

13

(2)病；

⑶〃物;

(4)/

【解析】

【分析】

由根式与有理数指数幕的关系，结合指数幕的运算性质化简求值即可.

(1)

原式=/.一=a''2=a2

(2)

原式=//=/!=/.

(3)

I12132I373

原式=(然)2.("3)5=7层层=凉与序=>丽.

(4)

原式-a~-a石=a*=a''■

2.计算或化简下列各式：

(1)(a2)-(-4o，)+(12a4)(«>0)；

⑵(-3J+0.002《-10(6-2尸+("5。.

【答案】(1)一;。；(2)一用.

【解析】

【分析】

直接根据指数幕的运算性质计算即可.

【详解】

⑴原式=-4hT2+(]2a7)=_；#+34=-+

(1fio

⑵原式=n;

+[丽J~45-2+

21

3+5002-10(逐+2)+1

=1+1()6—10>/5—20+1=-.

3.计算：

三~C-------(a>0/>0)

⑵/21Y_11

凉凉a3凉

【答案］⑴-16

⑵，(〃>0力>0)

【解析】

【分析】

(1)根据分数指数幕的运算规则化简计算即可;

(2)根据分数指数累的运算规则化简得出结果.

⑴

-10x（2+>/3）+l0>/3+2

=2-20+2^-16

⑵

54

原式=>0,6>0)

ab2a3加

4.计算：

⑴(£|14x(_2『+1)1一；

2__9__

(2)(指尸、(50)5+府一

19

【答案】(1)一

0

(2)500710

【解析】

【分析】

(1)利用指数球的运算性质即可求解.

(2)利用根式与分数指数幕的互化以及指数幕的运算性质即可求解.

(D

原式=2-4x(一』)+1—<口=2+—+1——=—.

8V9236

(2)

\__2495,515

原式=[(8户户X(101A+103=(23)-^10%10i=-xl0上

2

」loL叵幽叵=500帅

222

5.(1)8，(一令。+欢35)4+[(-2岸;

]_1J(4ab~lY

⑵(-)2'———'―(。>0,6>0).

(O.l)-'(aV3)2

8

【答案】⑴)+8；⑵g.

【解析】

【分析】

(1)(2)均根据指数塞的运算性质即可计算；

【详解】

2\

3

(1)原式二(23)3—1+13-%|+Q6)5=4-1+兀-3+2=7t+8.

(2)原式=2弋”].

10旌户5

针对练习二指数函数的概念

6.在①y=4"；②y=x、③y=-4，；④y=(-4)、；⑤y=(2a-l)[“>H1)中，y

是关于x的指数函数的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据指数函数的定义依次判断即可.

【详解】

根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，

②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；

③中V的系数是-1，所以不是指数函数；

④中底数-4<0,所以不是指数函数.

故选：B.

7.下列函数是指数函数的是()

A.y=(y)AB.y=(—9)x

C.y=2x~/D.y=2x5x

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数定义判断.

【详解】

B中底数-9<0,C中指数是x-1,不是x,D中5,前面系数不是1,根据指数函数定

义，只有A中函数是指数函数，

故选：A.

8.下列函数中为指数函数的是()

A.y=2-3xB.y=-3*C.>=D.y=\x

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】

根据指数函数的定义知，y=“'(">O,aHl),

可得函数y=23不是指数函数；函数)，=-3、不是指数函数；函数y=3-*是指数函数;

函数y=F不是指数函数.

故选：C.

9.函数y=(/-4a+4)，是指数函数，则有()

A.。=1或。=3B.a=\C.a=3D.a>0且存1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件列不等式，由此求得正确选项.

【详解】

,J-4。+4=1a?-4。+3=0

由已知得《4>0,即<“>0,解得a=3.

“W1[“Hl

故选：C

10.若函数f(x)="(a>0,且分1)的图象经过(2,g),则/(-1)=()

A.1B.2C.V3D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由指数函数所过的点求解析式，进而求f(-l)的值.

【详解】

由题意，〃2）=。2=；,又。＞0,则〃=孝,

=（*）*，故，（-1）=（等尸=#-

故选：C

针对练习三指数函数的图像

【解析】

【分析】

根据函数的解析式可得函数y=2-、是以3为底数的指数函数，再根据指数函数的图

像即可得出答案.

【详解】

解：由y=2T=（gJ,得函数y=2-*是以g为底数的指数函数，

且函数为减函数，故D选项符合题意.

故选：D.

12.函数①y=〃"；②y=";③y=c"；④尸"、的图象如图所示，a,b,c,d分别

是下列四个数：：，上,《，:中的一个，则4,b,C,"的值分别是（）

432

【答案】C

【解析】

【分析】

由直线X=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b即可求解.

【详解】

解:直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为

所以a,b,c,d的值分别是途,

234

故选：C.

13.若〃>0且"1,则函数〃x)=a'T+l的图象一定过点()

A.(0,2)B.(0,-1)C.(1,2)D.(1,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】

令x-l=0求出定点的横坐标，即得解.

【详解】

解：令x—l=0,「.x=l.

当x=l时，/(l)=a'-|+l=2,

所以函数f(x)的图象过点(1,2).

故选：C.

14.已知函数f(x)=6+1的图象恒过定点P,则P点的坐标为()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(31)

【答案】B

【解析】

【分析】

由指数函数过定点的性质进行求解.

【详解】

/(力=优的图象恒过定点(0,1),所以“X)=优+1的图象恒过定点(0,2)

故选：B

15.对任意实数0<”1,函数"力=。1+1的图象必过定点()

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数的知识确定正确选项.

【详解】

当x-l=0,即x=l时，"1)=2,

所以“X)过定点。2).

故选：B

针对练习四指数函数的定义域

16.函数),=物-9的定义域为()

A.(一8,3]B.[3,+oo)C.(-8,2]D.|2,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的定义域定义求解即可.

【详解】

要使得函数y=行万有意义，

则3-9N0,3*29,3'>32,解得x22.

故函数卜=行行的定义域为⑵口).

故选：D.

17.函数〃x)=g7Z+三的定义域为()

X—2

A.[0,2)B.(2,+8)

C.(9,2)U(2,+OO)D.[0,2)o(2,+»)

【答案】D

【解析】

求出使函数式有意义的自变量的范围即得、

【详解】

[2A-l>0fx>0

由彳得《c，即xe1O,2)52,«»).

[x-2#0

故选：D.

18.设函数f(x)则函数f(")的定义域为()

r/1

z4

1c(f-

A.(-8,4]B.—00,—\D.4

4\L

【答案】A

【解析】

【分析】

求得/(；)=^tI房，由根式内部的代数式大于等于0,结合指数函数的性质求解即

可.

【详解】

因为〃x)=，4-4",

所以/

XX

因为4-尔>0,4^<4,-<l,x<4,

4

所以/停)的定义域为口，4],故选A.

【点睛】

本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题.定义域的三

种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知

函数，(x)的定义域为[。力]，则函数〃g(x))的定义域由不等式a«g(x)<6求出.

19.已知函数y=/(x)的定义域为(0,1),则函数/(*)=川2，-4的定义域为()

A.(fl)B.(f0)。(0，1)C.(0,+巧D.[0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应

法则下，取值范围一致.

【详解】

..f-i<2x-l<l

•••y=f(x)的定义域为(0,1),即2、；，

(X<]

・•・｛八，解得：XV1且xwO,

[xw0

.•.尸(句=川2、-1|)的定义域为(9,0)50,1).

故选：B.

20.函数y=Ja'—i的定义域是(一8,0],则a的取值范围为()

A.B.a<l

C.0<a<1D.a/1

【答案】c

【解析】

【分析】

由题意可得屋-1N0,对“讨论，分。>1，0<“<1,运用指数函数的单调性，列不等式

即可得到。的范围.

【详解】

要使函数卜=石匚T(a>0且a")有意义，

则"-1N0,

即ax>l=a°,

当。>1时，x>0；

当Ovavl时，x<0,

因为y=^/7^的定义域为

所以可得0<〃<1符合题意，

的取值范围为0<。<1，故选C.

【点睛】

本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负,

意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.

针对练习五指数函数的值域

21.函数y=的值域为()

A.g'+°°)B.(-。0,；C.(O,gD.(0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

令，=X2_2X,则>=(；)’，转求二次函数与指数函数的值域即可.

【详解】

令一2x,则>=(；)，

Vf=x2-2x=(x-l)2-l>-],

,,y=(g)e(0,2]，

二函数2、的值域为(°a，

故选：D

22.若213,则函数f(x)=4-2刈+1的最小值为()

A.4B.0C.5D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

设”213,则/⑺=/_〃+1利用函数/(f)单调性可得答案.

【详解】

设”2”..3,则/⑺=/-2f+l=(f-l)2(f..3),

对称轴为，=1，所以/(0在[3,+8)上单调递增，

所以JWmin=/(3)=32-2x3+l=4.

故选：A.

23.函数y=U的值域是()

2+1

A.(fo,T)U(T,+°°)B.(-oo,-l)

C.(-U)D.(F/)U(1，同

【答案】C

【解析】

【分析】

将函数化为2'=个，利用2'>0列出关于y的不等式，解出不等式即可.

【详解】

设y=U，由原式得2*=户，

2V+1i-y

v2x>0,

l+y

..---->0A,

i-y

工-1vyv1f

即函数/(x)的值域为(-U).

故选：c

24.已知函数的值域为R,则实数。的取值范围是()

A.。，；)B.[8,；)C.(-oo,0)D.[0,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出y=2*T在[1,用)上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解.

【详解】

因为y=2、T在［1,+«>)上单调递增，

所以当xNl时,y=2x-l>2°=l,

若函数f(x)的值域为R,

,［l-2a>0

［l-2a+3(z>r

解得04(?<g.

故选：A.

25.函数)，=优-2(a>0且y1,的值域是-g,l,则实数”()

A.3B.1

C.3或1D.1或口

【答案】c

【解析】

当“>0且awl时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决.当。>1时，函数

)，=优-2是增函数；当0<〃<1时，函数丫=屋-2是减函数，由此结合条件建立关于。

的方程组，解之即可求得答案.

【详解】

a-2=\

当。>1时，y=a*-2在［-1』上为增函数，1.5,解得。=3；

--2=—

3

当Ovavl时，)，=优-2在［-15上为减函数，L解得。工.

--2=13

a

综上可知：a=3或

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的

单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.

针对练习六指数函数的单调性

26.函数y=5"+"T的单调递减区间是（）

A.[2,+oo）B.y,2]C.y,l]D.[1,+°0）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复合函数的单调性“同增异减''来解题.

【详解】

设幺=-/+4.*-3,在（y,2]单调递增，在2+8）单调递减，y=5"在（F,+8）单调递

增，根据“同增异减”可得，函数y=5一-443的单调递减区间是[2,+8）.

故选：A.

z[、2--3x+l

27.函数y=g的单调递减区间为（）

A.（!,+<»）B.,C.D.B,+s）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复合函数单调性法则“同增异减''求解即可.

【详解】

解：因为函数y=2》2_3x+l在区间,哈胃上单调递减，在上单调递增，

函数y=在定义域内是单调递减函数，

z]x2X2-3X+1

所以，根据复合函数单调性法则“同增异减''得y=的单调递减区间为

故选：D

28.若函数在口，2]单调递减，则a的取值范围（）

A.aW—4B.aW-2C.a2-2D.a2—4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复合函数单调性来求得。的取值范围.

【详解】

依题意函数f（力=（。…在口，2］单调递减,

y在R上递减，

5

>=丁+"的开口向上，对称轴为x=__|,

根据复合函数单调性同增异减可知，41na2-2.

故选：C

29.若函数〃*）=八，、5，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据分段函数的性质，以及函数“X）在R上单调递减，结合指数函数的性质，可知

0<a<1

-1-3«<0,求解不等式，即可得到结果.

,c5

1-3a+—>a

3

【详解】

0<a<\

12

:函数/（X）在R上单调递减,.J1-3〃<0,解得:实数〃的取值范围是

5'~

i-3a+—>a

3

12

3,3

故选：A.

30.已知函数〃x）=[（4-2〃）：，*41是氏上的单调函数，那么实数。的取值范围为

a,x>\

（）

A.（0,1）B.（1,3）C.（2）D.1，|

【答案】C

【解析】

【分析】

根据的单调性列不等式组，由此求得。的取值范围.

【详解】

函数〃x）=〔（：一2〃）：E,

[a\x>l

若外力在R上为单调递增函数，

4一2。〉0

4

则，4>1,解得力<。<2；

（4-2〃）xl《"'

若/（X）在R上为单调递减函数，

4-2a<0

则0<〃<1,无解.

（4-2a）xl><a'

综上所述，实数。的取值范围为$2）.

故选：C

针对练习七比较大小与解不等式

31.已知a=,8=4；，c=2；，则0b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】c

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.

【详解】

由题设，4/=24,b=1,c=2?，又y=2,在定义域上递增,

a<c<b.

故选：c.

32.已知q=2*力=35,c=4,，则。，b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】

结合指数函数、累函数的单调性确定正确选项.

【详解】

»=4,在尺上递增，丫=%；在(。,一)上递增.

I23111

c=43=2§<24=a=84<9i=3^=b-

故选：B

33.若(；1+’>］；,"，则实数a的取值范围是()

A.(-8,1)B.(l,+°o)C.(3,+8)D.S3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可;

【详解】

解：因为y=(；J在定义域上单调递减，所以等价于次+1<4_。，解

得。<1,即原不等式的解集为(-8,1)

故选：A

34.若x满足不等式3八：仁

则函数y=2,的值域是()

1

B.C.—00—D.[2,+oo)

8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域.

【详解】

由3*"”可得3*",，=3如">,

因为），=3,在R上单调递增，

所以f+L,-2x+4即x2+2x-3<0,

解得：-3<x<l,

所以于釉=2*2、

即函数尸2、的值域是也,21，

O

故选:A

35.若,]则下列正确的是（

)

A.o'<b3B.aobccjD.b-c<a-c

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据题干条件和函数y=g）的单调性得到a>b,A选项可以利用函数的单调性进

行判断，BC选项可以举出反例，D选项用不等式的基本性质进行判断.

【详解】

因为T9

在/?上单调递减，若则a>b,

对于选项A：若〃因为/（x）=d单调递增，所以故A错误;

对于选项B：当时，若。=0,则ac=bc,故B错误；

对于选项C:由。>b,不妨令a=l,b=-2,则此时上>],故c错误；

对于选项D：由不等式性质，可知D正确.

故选：D.

针对练习八指数函数的应用

36.专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时

间『（单位：天）与病情爆发系数/（，）之间，满足函数模型：/⑺、焉…，当

/（f）=0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时/约为（参考数据：/=3）（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】A

【解析】

【分析】

根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程,

即可得答案.

【详解】

解：因为f"）=0/，/0）=]+e，…,

所以0」=舟而而，即l+e<22也孙=10,

所以e《22（3，e=9,由于e"-3,故（3/丫=e2-2«9,

所以ewoiowe%所以-0.22（3・40卜2.2,解得f=10.

故选：A.

37.基本再生数以与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在a型病毒疫情初始阶

段，可以用指数函数模型/0）=』描述累计感染病例数/⑺随时间，（单位：天）的

变化规律，指数增长率/与%、T近似满足％=1+”,有学者基于已有数据估计出

&=3.22,T=10.据此，在a型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至”0）的4

倍，至少需要（）（参考数据：In2a0.69）

A.6天B.7天C.8天D.9天

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果

【详解】

因为4=3.22,T=10,&=l+rT,所以可以得到­=竽=哥1=0.222

In421n22x0.69

/(0)=e°-222xO=1,由题意可知/血>4,>-----=------««6.2

0.2220.2220.222

所以至少需要7天，累计感染病例数增加至/（0）的4倍

故选：B

38.某灭活疫苗的有效保存时间7（单位：小时〃）与储藏的温度，（单位：℃）满

足的函数关系为T=e"i（Z,匕为常数，其中e=2.71828…，是一个和乃类似的无理

数，