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文档简介
第二章函数
2.4.2指数函数(针对练习)
针对练习
针对练习一指数与指数幕的运算
i.用分数指数幕的形式表示下列各式m>o,">o).
⑴a2G;
⑵府Q;
⑶(方>•病;
(4)X.
【答案】(|疗;
13
(2)病;
⑶〃物;
(4)/
【解析】
【分析】
由根式与有理数指数幕的关系,结合指数幕的运算性质化简求值即可.
(1)
原式=/.一=a''2=a2
(2)
原式=//=/!=/.
(3)
I12132I373
原式=(然)2.("3)5=7层层=凉与序=>丽.
(4)
原式-a~-a石=a*=a''■
2.计算或化简下列各式:
(1)(a2)-(-4o,)+(12a4)(«>0);
⑵(-3J+0.002《-10(6-2尸+("5。.
【答案】(1)一;。;(2)一用.
【解析】
【分析】
直接根据指数幕的运算性质计算即可.
【详解】
⑴原式=-4hT2+(]2a7)=_;#+34=-+
(1fio
⑵原式=n;
+[丽J~45-2+
21
3+5002-10(逐+2)+1
=1+1()6—10>/5—20+1=-.
3.计算:
三~C-------(a>0/>0)
⑵/21Y_11
凉凉a3凉
【答案]⑴-16
⑵,(〃>0力>0)
【解析】
【分析】
(1)根据分数指数幕的运算规则化简计算即可;
(2)根据分数指数累的运算规则化简得出结果.
⑴
-10x(2+>/3)+l0>/3+2
=2-20+2^-16
⑵
54
原式=>0,6>0)
ab2a3加
4.计算:
⑴(£|14x(_2『+1)1一;
2__9__
(2)(指尸、(50)5+府一
19
【答案】(1)一
0
(2)500710
【解析】
【分析】
(1)利用指数球的运算性质即可求解.
(2)利用根式与分数指数幕的互化以及指数幕的运算性质即可求解.
(D
原式=2-4x(一』)+1—<口=2+—+1——=—.
8V9236
(2)
\__2495,515
原式=[(8户户X(101A+103=(23)-^10%10i=-xl0上
2
」loL叵幽叵=500帅
222
5.(1)8,(一令。+欢35)4+[(-2岸;
]_1J(4ab~lY
⑵(-)2'———'―(。>0,6>0).
(O.l)-'(aV3)2
8
【答案】⑴)+8;⑵g.
【解析】
【分析】
(1)(2)均根据指数塞的运算性质即可计算;
【详解】
2\
3
(1)原式二(23)3—1+13-%|+Q6)5=4-1+兀-3+2=7t+8.
(2)原式=2弋”].
10旌户5
针对练习二指数函数的概念
6.在①y=4";②y=x、③y=-4,;④y=(-4)、;⑤y=(2a-l)[“>H1)中,y
是关于x的指数函数的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据指数函数的定义依次判断即可.
【详解】
根据指数函数的定义,知①⑤中的函数是指数函数,
②中底数不是常数,指数不是自变量,所以不是指数函数;
③中V的系数是-1,所以不是指数函数;
④中底数-4<0,所以不是指数函数.
故选:B.
7.下列函数是指数函数的是()
A.y=(y)AB.y=(—9)x
C.y=2x~/D.y=2x5x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数定义判断.
【详解】
B中底数-9<0,C中指数是x-1,不是x,D中5,前面系数不是1,根据指数函数定
义,只有A中函数是指数函数,
故选:A.
8.下列函数中为指数函数的是()
A.y=2-3xB.y=-3*C.>=D.y=\x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的定义,逐项判定,即可求解.
【详解】
根据指数函数的定义知,y=“'(">O,aHl),
可得函数y=23不是指数函数;函数),=-3、不是指数函数;函数y=3-*是指数函数;
函数y=F不是指数函数.
故选:C.
9.函数y=(/-4a+4),是指数函数,则有()
A.。=1或。=3B.a=\C.a=3D.a>0且存1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件列不等式,由此求得正确选项.
【详解】
,J-4。+4=1a?-4。+3=0
由已知得《4>0,即<“>0,解得a=3.
“W1[“Hl
故选:C
10.若函数f(x)="(a>0,且分1)的图象经过(2,g),则/(-1)=()
A.1B.2C.V3D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数所过的点求解析式,进而求f(-l)的值.
【详解】
由题意,〃2)=。2=;,又。>0,则〃=孝,
=(*)*,故,(-1)=(等尸=#-
故选:C
针对练习三指数函数的图像
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可得函数y=2-、是以3为底数的指数函数,再根据指数函数的图
像即可得出答案.
【详解】
解:由y=2T=(gJ,得函数y=2-*是以g为底数的指数函数,
且函数为减函数,故D选项符合题意.
故选:D.
12.函数①y=〃";②y=";③y=c";④尸"、的图象如图所示,a,b,c,d分别
是下列四个数::,上,《,:中的一个,则4,b,C,"的值分别是()
432
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线X=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b即可求解.
【详解】
解:直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为
所以a,b,c,d的值分别是途,
234
故选:C.
13.若〃>0且"1,则函数〃x)=a'T+l的图象一定过点()
A.(0,2)B.(0,-1)C.(1,2)D.(1,-1)
【答案】C
【解析】
【分析】
令x-l=0求出定点的横坐标,即得解.
【详解】
解:令x—l=0,「.x=l.
当x=l时,/(l)=a'-|+l=2,
所以函数f(x)的图象过点(1,2).
故选:C.
14.已知函数f(x)=6+1的图象恒过定点P,则P点的坐标为()
A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(31)
【答案】B
【解析】
【分析】
由指数函数过定点的性质进行求解.
【详解】
/(力=优的图象恒过定点(0,1),所以“X)=优+1的图象恒过定点(0,2)
故选:B
15.对任意实数0<”1,函数"力=。1+1的图象必过定点()
A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,1)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当x-l=0,即x=l时,"1)=2,
所以“X)过定点。2).
故选:B
针对练习四指数函数的定义域
16.函数),=物-9的定义域为()
A.(一8,3]B.[3,+oo)C.(-8,2]D.|2,+oo)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域定义求解即可.
【详解】
要使得函数y=行万有意义,
则3-9N0,3*29,3'>32,解得x22.
故函数卜=行行的定义域为⑵口).
故选:D.
17.函数〃x)=g7Z+三的定义域为()
X—2
A.[0,2)B.(2,+8)
C.(9,2)U(2,+OO)D.[0,2)o(2,+»)
【答案】D
【解析】
求出使函数式有意义的自变量的范围即得、
【详解】
[2A-l>0fx>0
由彳得《c,即xe1O,2)52,«»).
[x-2#0
故选:D.
18.设函数f(x)则函数f(")的定义域为()
r/1
z4
1c(f-
A.(-8,4]B.—00,—\D.4
4\L
【答案】A
【解析】
【分析】
求得/(;)=^tI房,由根式内部的代数式大于等于0,结合指数函数的性质求解即
可.
【详解】
因为〃x)=,4-4",
所以/
XX
因为4-尔>0,4^<4,-<l,x<4,
4
所以/停)的定义域为口,4],故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用,是基础题.定义域的三
种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;
(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知
函数,(x)的定义域为[。力],则函数〃g(x))的定义域由不等式a«g(x)<6求出.
19.已知函数y=/(x)的定义域为(0,1),则函数/(*)=川2,-4的定义域为()
A.(fl)B.(f0)。(0,1)C.(0,+巧D.[0,1)
【答案】B
【解析】
【分析】
抽象函数的定义域求解,要注意两点,一是定义域是x的取值范围;二是同一对应
法则下,取值范围一致.
【详解】
..f-i<2x-l<l
•••y=f(x)的定义域为(0,1),即2、;,
(X<]
・•・{八,解得:XV1且xwO,
[xw0
.•.尸(句=川2、-1|)的定义域为(9,0)50,1).
故选:B.
20.函数y=Ja'—i的定义域是(一8,0],则a的取值范围为()
A.B.a<l
C.0<a<1D.a/1
【答案】c
【解析】
【分析】
由题意可得屋-1N0,对“讨论,分。>1,0<“<1,运用指数函数的单调性,列不等式
即可得到。的范围.
【详解】
要使函数卜=石匚T(a>0且a")有意义,
则"-1N0,
即ax>l=a°,
当。>1时,x>0;
当Ovavl时,x<0,
因为y=^/7^的定义域为
所以可得0<〃<1符合题意,
的取值范围为0<。<1,故选C.
【点睛】
本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性,注意运用偶次根式被开方式非负,
意在考查分类讨论思想与运算能力,属于中档题.
针对练习五指数函数的值域
21.函数y=的值域为()
A.g'+°°)B.(-。0,;C.(O,gD.(0,2]
【答案】D
【解析】
【分析】
令,=X2_2X,则>=(;)’,转求二次函数与指数函数的值域即可.
【详解】
令一2x,则>=(;),
Vf=x2-2x=(x-l)2-l>-],
,,y=(g)e(0,2],
二函数2、的值域为(°a,
故选:D
22.若213,则函数f(x)=4-2刈+1的最小值为()
A.4B.0C.5D.9
【答案】A
【解析】
【分析】
设”213,则/⑺=/_〃+1利用函数/(f)单调性可得答案.
【详解】
设”2”..3,则/⑺=/-2f+l=(f-l)2(f..3),
对称轴为,=1,所以/(0在[3,+8)上单调递增,
所以JWmin=/(3)=32-2x3+l=4.
故选:A.
23.函数y=U的值域是()
2+1
A.(fo,T)U(T,+°°)B.(-oo,-l)
C.(-U)D.(F/)U(1,同
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数化为2'=个,利用2'>0列出关于y的不等式,解出不等式即可.
【详解】
设y=U,由原式得2*=户,
2V+1i-y
v2x>0,
l+y
..---->0A,
i-y
工-1vyv1f
即函数/(x)的值域为(-U).
故选:c
24.已知函数的值域为R,则实数。的取值范围是()
A.。,;)B.[8,;)C.(-oo,0)D.[0,2)
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出y=2*T在[1,用)上的取值范围,再利用分段函数的值域进行求解.
【详解】
因为y=2、T在[1,+«>)上单调递增,
所以当xNl时,y=2x-l>2°=l,
若函数f(x)的值域为R,
,[l-2a>0
[l-2a+3(z>r
解得04(?<g.
故选:A.
25.函数),=优-2(a>0且y1,的值域是-g,l,则实数”()
A.3B.1
C.3或1D.1或口
【答案】c
【解析】
当“>0且awl时,函数为指数型函数,需要分情况进行讨论解决.当。>1时,函数
),=优-2是增函数;当0<〃<1时,函数丫=屋-2是减函数,由此结合条件建立关于。
的方程组,解之即可求得答案.
【详解】
a-2=\
当。>1时,y=a*-2在[-1』上为增函数,1.5,解得。=3;
--2=—
3
当Ovavl时,),=优-2在[-15上为减函数,L解得。工.
--2=13
a
综上可知:a=3或
故选:C
【点睛】
关键点点睛:本题主要考查了指数函数的单调性和值域,解题的关键是利用函数的
单调性求解函数值域,但含有参数时往往需要讨论.
针对练习六指数函数的单调性
26.函数y=5"+"T的单调递减区间是()
A.[2,+oo)B.y,2]C.y,l]D.[1,+°0)
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性“同增异减''来解题.
【详解】
设幺=-/+4.*-3,在(y,2]单调递增,在2+8)单调递减,y=5"在(F,+8)单调递
增,根据“同增异减”可得,函数y=5一-443的单调递减区间是[2,+8).
故选:A.
z[、2--3x+l
27.函数y=g的单调递减区间为()
A.(!,+<»)B.,C.D.B,+s)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性法则“同增异减''求解即可.
【详解】
解:因为函数y=2》2_3x+l在区间,哈胃上单调递减,在上单调递增,
函数y=在定义域内是单调递减函数,
z]x2X2-3X+1
所以,根据复合函数单调性法则“同增异减''得y=的单调递减区间为
故选:D
28.若函数在口,2]单调递减,则a的取值范围()
A.aW—4B.aW-2C.a2-2D.a2—4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复合函数单调性来求得。的取值范围.
【详解】
依题意函数f(力=(。…在口,2]单调递减,
y在R上递减,
5
>=丁+"的开口向上,对称轴为x=__|,
根据复合函数单调性同增异减可知,41na2-2.
故选:C
29.若函数〃*)=八,、5,在R上单调递减,则实数a的取值范围是()
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质,以及函数“X)在R上单调递减,结合指数函数的性质,可知
0<a<1
-1-3«<0,求解不等式,即可得到结果.
,c5
1-3a+—>a
3
【详解】
0<a<\
12
:函数/(X)在R上单调递减,.J1-3〃<0,解得:实数〃的取值范围是
5'~
i-3a+—>a
3
12
3,3
故选:A.
30.已知函数〃x)=[(4-2〃):,*41是氏上的单调函数,那么实数。的取值范围为
a,x>\
()
A.(0,1)B.(1,3)C.(2)D.1,|
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的单调性列不等式组,由此求得。的取值范围.
【详解】
函数〃x)=〔(:一2〃):E,
[a\x>l
若外力在R上为单调递增函数,
4一2。〉0
4
则,4>1,解得力<。<2;
(4-2〃)xl《"'
若/(X)在R上为单调递减函数,
4-2a<0
则0<〃<1,无解.
(4-2a)xl><a'
综上所述,实数。的取值范围为$2).
故选:C
针对练习七比较大小与解不等式
31.已知a=,8=4;,c=2;,则0b,c的大小关系是()
A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<a<c
【答案】c
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系.
【详解】
由题设,4/=24,b=1,c=2?,又y=2,在定义域上递增,
a<c<b.
故选:c.
32.已知q=2*力=35,c=4,,则。,b,c的大小关系为()
A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a
【答案】B
【解析】
【分析】
结合指数函数、累函数的单调性确定正确选项.
【详解】
»=4,在尺上递增,丫=%;在(。,一)上递增.
I23111
c=43=2§<24=a=84<9i=3^=b-
故选:B
33.若(;1+’>];,",则实数a的取值范围是()
A.(-8,1)B.(l,+°o)C.(3,+8)D.S3)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性,将函数不等式转化为自变量的不等式,解得即可;
【详解】
解:因为y=(;J在定义域上单调递减,所以等价于次+1<4_。,解
得。<1,即原不等式的解集为(-8,1)
故选:A
34.若x满足不等式3八:仁
则函数y=2,的值域是()
1
B.C.—00—D.[2,+oo)
8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性得到自变量的范围,进而得到指数函数的值域.
【详解】
由3*"”可得3*",,=3如">,
因为),=3,在R上单调递增,
所以f+L,-2x+4即x2+2x-3<0,
解得:-3<x<l,
所以于釉=2*2、
即函数尸2、的值域是也,21,
O
故选:A
35.若,]则下列正确的是(
)
A.o'<b3B.aobccjD.b-c<a-c
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题干条件和函数y=g)的单调性得到a>b,A选项可以利用函数的单调性进
行判断,BC选项可以举出反例,D选项用不等式的基本性质进行判断.
【详解】
因为T9
在/?上单调递减,若则a>b,
对于选项A:若〃因为/(x)=d单调递增,所以故A错误;
对于选项B:当时,若。=0,则ac=bc,故B错误;
对于选项C:由。>b,不妨令a=l,b=-2,则此时上>],故c错误;
对于选项D:由不等式性质,可知D正确.
故选:D.
针对练习八指数函数的应用
36.专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时
间『(单位:天)与病情爆发系数/(,)之间,满足函数模型:/⑺、焉…,当
/(f)=0.1时,标志着疫情将要局部爆发,则此时/约为(参考数据:/=3)()
A.10B.20C.30D.40
【答案】A
【解析】
【分析】
根据列式,并根据给出参考数据,结合指数函数的性质解相应的指数方程,
即可得答案.
【详解】
解:因为f")=0/,/0)=]+e,…,
所以0」=舟而而,即l+e<22也孙=10,
所以e《22(3,e=9,由于e"-3,故(3/丫=e2-2«9,
所以ewoiowe%所以-0.22(3・40卜2.2,解得f=10.
故选:A.
37.基本再生数以与世代间隔T是流行病学基本参数,基本再生数是指一个感染者
传染的平均人数,世代间隔指两代间传染所需的平均时间,在a型病毒疫情初始阶
段,可以用指数函数模型/0)=』描述累计感染病例数/⑺随时间,(单位:天)的
变化规律,指数增长率/与%、T近似满足%=1+”,有学者基于已有数据估计出
&=3.22,T=10.据此,在a型病毒疫情初始阶段,累计感染病例数增加至”0)的4
倍,至少需要()(参考数据:In2a0.69)
A.6天B.7天C.8天D.9天
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果
【详解】
因为4=3.22,T=10,&=l+rT,所以可以得到=竽=哥1=0.222
In421n22x0.69
/(0)=e°-222xO=1,由题意可知/血>4,>-----=------««6.2
0.2220.2220.222
所以至少需要7天,累计感染病例数增加至/(0)的4倍
故选:B
38.某灭活疫苗的有效保存时间7(单位:小时〃)与储藏的温度,(单位:℃)满
足的函数关系为T=e"i(Z,匕为常数,其中e=2.71828…,是一个和乃类似的无理
数,
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