人教B版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何综合拔高练含答案

综合拔高练五年高考练考点1用空间向量解决立体几何中的证明、求值问题1.(2023北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.(1)求证:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PC-B的大小.2.(2023天津,17)三棱台ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N为线段AB的中点,M为线段BC的中点.(1)求证:A1N∥平面C1MA;(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;(3)求点C到平面C1MA的距离.3.(2023新课标Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA;(2)点F满足EF=4.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.5.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=(1)证明:EF∥平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.考点2用空间向量解决立体几何中的最值问题6.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.(1)证明:BF⊥DE;(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?7.(2020新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.考点3已知空间角解决立体几何问题8.(2023新课标Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.9.(2021北京,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,B1C1与平面CDE交于点F.(1)求证:F为B1C1的中点;(2)若M为棱A1B1上一点,且二面角M-FC-E的余弦值为53,求A10.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.考点4用空间向量解决探索性问题11.(2019北京,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且PFPC(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB三年模拟练应用实践1.(2023北京广渠门中学月考)在四面体A-BCD中,P在平面ABC内,Q在平面BCD内,且满足AP=xAB+yA.AQ与DP所在直线是异面直线B.AQ与DP所在直线平行C.线段AQ与DP必相交D.线段AQ与DP延长后相交2.(2024广东广州华南师范大学附属中学期中)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD、侧面A1ADD1都是正方形,且二面角A1-AD-B的大小为120°,AB=2,若P是C1D与CD1的交点,则AP=()A.3B.3.(2024全国模拟预测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱A1D1,CC1的中点,点G是底面ABCD内任意一点(包括边界),则三棱锥G-B1EF的体积的取值范围是()A.43C.24.(多选题)(2024浙江名校联盟模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,点E,F满足AF=A.直线BE与D1F一定为异面直线B.直线AE与平面ACB1所成角的正弦值为15C.四面体A-DEF的体积恒为2D.当λ=μ时,AF+A1F的最小值为12+45.(2024江西五校联考)如图,四棱锥P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD∥BC,AD⊥AB,AC与BD交于点O,过点O作平行于平面PAB的平面α.(1)若平面α分别交PC,BC于点E,F,求△OEF的周长;(2)当PD=22时,求平面α与平面PCD夹角的正弦值.6.(2024浙江台州教学质量评估)如图1,四边形ABCD为平行四边形,E为CD的中点,AB=4,AD=AE=2,将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置,如图2.(1)若平面APE⊥平面ABCE,求证:AP⊥BE;(2)若点A到直线PC的距离为3337.(2024山东潍坊北约联盟期中)已知边长为4的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,四边形EFCD是半圆弧CD的内接梯形,且CD∥EF.(1)证明:平面ADE⊥平面BCE;(2)设EF=2,且二面角E-AD-C与二面角D-BC-F的大小都是60°,当点P在棱AD(包含端点)上运动时,求直线PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范围.答案与分层梯度式解析综合拔高练五年高考练1.解析(1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB.所以PB=PA又因为BC=1,PC=3,所以PB2+BC2=PC2,所以PB⊥BC.因为PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.（2）以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以APBC=(1,0,0).设平面PAC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m·AP=z1设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则n·PC=x2所以cos<m,n>=m·由图知,二面角A-PC-B为锐二面角,所以二面角A-PC-B的大小为π32.解析(1)证明:连接MN.因为M,N分别为线段BC,AB的中点,所以MN是△ABC的中位线,所以MN∥AC,MN=12又因为A1C1∥AC,A1C1=12AC,所以MNA1C1所以四边形MC1A1N是平行四边形,所以MC1∥A1N.因为MC1⊂平面C1MA,A1N⊄平面C1MA,所以A1N∥平面C1MA.(2)因为A1A⊥平面ABC,AB,AC⊂平面ABC,所以A1A⊥AB,A1A⊥AC,又AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),C1(0,1,2),M(1,1,0),C(0,2,0),B(2,0,0),所以AM=(1,1,0),设平面C1MA的一个法向量为n=(x,y,z),则n令x=2,则y=-2,z=1,所以n=(2,-2,1).易知平面ACC1A1的一个法向量为AB=(2,0,0).设平面C1MA与平面ACC1A1所成的角为θ,则cosθ=|cos<n,AB>所以平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为23(3)由(2)知,平面C1MA的一个法向量为n=(2,-2,1),AC=(0,2,0).所以点C到平面C1MA的距离为|n3.解析(1)证明:连接AE,DE.∵DB=DC,E为BC的中点,∴DE⊥BC.∵DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,∴△ADB≌△ADC,∴AB=AC,∴AE⊥BC.又AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE,∴BC⊥平面ADE,又DA⊂平面ADE,∴BC⊥DA.(2)设DA=DB=DC=2,则AB=AC=2,BC=22,DE=∴AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.又AE⊥BC,DE∩BC=E,BC,DE⊂平面BCD,∴AE⊥平面BCD.如图,以E为坐标原点,直线ED,EB,EA分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0,0,2),D(2,0,0),B(0,由EF=DA,得F(-2,0,设平面DAB的一个法向量为n=(x,y,z),则n·DB=设平面ABF的一个法向量为m=(x',y',z'),则m令y'=1,得m=(0,1,1).设二面角D-AB-F的平面角为θ,θ∈[0,π],则|cosθ|=|m∴sinθ=33,故二面角D-AB-F的正弦值为34.解析(1)证明:∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又AC∩A1C=C,AC,A1C⊂平面AA1C1C,∴BC⊥平面AA1C1C.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面BCC1B1⊥平面AA1C1C.过A1作A1H⊥CC1,垂足为H,又平面BCC1B1⊥平面AA1C1C,平面BCC1B1∩平面AA1C1C=CC1,A1H⊂平面AA1C1C,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H=1.易知∠CA1C1=90°,在Rt△A1CC1中,CC1=2=2A1H,∴H为CC1的中点,∴△A1CC1为等腰直角三角形,∴A1C=A1C1.易知ACA1C1,∴A1C=AC.(2)以C为坐标原点,CA,CB,CA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.在平面BCC1B1内,过H作HQ∥BC,交BB1于点Q,连接A1Q,如图.易知CC1⊥A1H,CC1⊥HQ,CC1BB1,又A1H∩HQ=H,A1H,HQ⊂平面A1HQ,∴CC1⊥平面A1HQ,BB1⊥平面A1HQ,又A1Q⊂平面A1HQ,∴BB1⊥A1Q,∴A1Q=2,∴在Rt△A1HQ中,HQ=3.易知A1C=AC=2,则A(2B(0,0,2设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z),则n·CB=设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,则sinθ=|cos<AB1,n>|=|A∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为13135.解析以点B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴,垂直于平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),O(0,2,0),C(0,2(1)证明:设AF=λAC,0<λ<1,则F(2-2λ,2∴BF=(2−2λ,22λ,0),又∴BF·AO=0,即-2(2-2λ)+4λ=0,解得λ=又D,E,O分别为PB,PA,BC的中点,∴DO∥PC,EF∥PC,∴DO∥EF.又EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,∴EF∥平面ADO.(2)证明:∵D,O分别是PB,BC的中点,且PC=6,∴DO=12PC=6由cos∠ABD=AB2+B设P(x,y,z),z>0,则由PB=PC=6,PA=14故P(-1,2,∵D,E分别是PB,PA的中点,∴D-1∴BE=12∴AO·∴AO⊥又AO⊥BF,BE∩BF=B,BE,BF⊂平面BEF,∴AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO,∴平面ADO⊥平面BEF.(3)易知平面AOC的一个法向量为m1=(0,0,1).由(2)知OD=设平面AOD的一个法向量为m2=(x1,y1,z1),则m取x1=1,则y1=2,z1=3,所以m设二面角D-AO-C的平面角的大小为θ,则|cosθ|=|cos<m1,m2>|=|m∴sinθ=22,即二面角D-AO-C的正弦值为26.解析(1)证明:∵BF⊥A1B1,B1B⊥A1B1,BF∩B1B=B,∴A1B1⊥平面B1C1CB.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面B1C1CB.又∵BC⊂平面B1C1CB,∴AB⊥BC.以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),∴BF=(0,2,1).设B1D=a(0≤a≤2),则D(a,0,2),则DE=(1-a,1,-2).∵BF·(2)由(1)知EF=(−1,1,1),设平面DFE的一个法向量为n=(x,y,z),则EF·n=-x+y易知m=(1,0,0)是平面BB1C1C的一个法向量.设平面BB1C1C与平面DFE所成的锐二面角的大小为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=|m·n故当a=12,即B1D=12时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小,为7.解析(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),所以DC=(0,1,0),由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则n·DQ=ax+z=0所以cos<n,PB>设PB与平面QCD所成的角为θ,则sinθ=33因为33所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为638.解析(1)证明:证法一:以C为坐标原点,CD,CB,CC1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,连接A2B2,则A2(2,2,1),B∴A2易知点A2,B2,C2,D2不在同一直线上,∴B2C2∥A2D2.证法二:分别取DD2,CC1的中点N,M,连接B2M,MN,A2N,A2B2.在正四棱柱中,BB2=2,BB1=AA1=4,∴B2为BB1的中点.易知AA2=1,DN=1,几何体ABB2A2-DCMN为四棱柱,∴四边形A2B2MN为平行四边形,∴MNA2B2.∵D2N=1,MC2=1,且D2N∥C2M,∴四边形MND2C2为平行四边形,∴D2C2MN,∴A2B2D2C2,∴四边形A2B2C2D2为平行四边形,∴B2C2∥A2D2.(2)同(1)中证法一建系,设BP=t(0≤t≤4),则P(0,2,t).∵A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),∴PA(-2,0,1).设平面PA2C2的一个法向量为u1=(x1,y1,z1),则P令z1=1,则x1=t-12,y1=设平面A2C2D2的一个法向量为u2=(x2,y2,z2),则D2A2·u2=2∴u2=(1,1,2).设二面角P-A2C2-D2的平面角为θ,则θ=150°.∴cosθ=cos150°=-|u当t=1时,BP=1,∴B2P=BB2-BP=1;当t=3时,BP=3,∴B2P=BP-BB2=1.综上,B2P=1.9.解析(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为CD∥C1D1,且CD⊄平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CD∥平面A1B1C1D1.因为平面CDE∩平面A1B1C1D1=EF,所以CD∥EF.所以C1D1∥EF.因为E为A1D1的中点,所以F为B1C1的中点.(2)不妨设正方体的棱长为2.如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,2,0),F(1,2,2),所以DC=(0,2,0),设平面CDE的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m令z1=1,则x1=-2,y1=0,于是m=(-2,0,1).设A1所以FM=(1,2λ-2,0).设平面MFC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则n令x2=2,则z2=-1,y2=11-λ,于是n由题意得|cos<m,n>|=|m·n||10.解析(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴OA⊥CD.(2)由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C为坐标原点,CD,CB,设AO=a,则E23设平面EBC的一个法向量为n=(x,y,z),则n令x=a,则z=-1,∴n=(a,0,-1).易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).由题可知|cos<m,n>|=m·∴V三棱锥A-BCD=13S△BCD·AO=111.解析(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),所以PF=设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,则y=-1,x=-1,所以n=(-1,-1,1).易知平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0).所以cos<n,p>=n·由图知,二面角F-AE-P为锐二面角,所以其余弦值为33(3)直线AG在平面AEF内.理由如下:因为点G在PB上,且PGPB所以PG=由(2)知,平面AEF的一个法向量为n=(-1,-1,1).因为AG·n=-43所以直线AG在平面AEF内.三年模拟练1.C2.B3.C4.ABD1.C若x=s=0,则AP=yAC,AQ=tAC+uAD,所以AQ=2.B因为四边形DD1C1C是平行四边形,P是C1D,CD1的交点,所以P是C1D的中点,所以AP=因为底面ABCD、侧面A1ADD1都是正方形,所以AA1=AD=AB=2,AB⊥AD,AA1⊥AD,所以∠A1AB即为二面角A1-AD-B的平面角,即∠A1AB=120°,所以AB·所以AP+AD·AA13.C以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(2,2,2),E(1,0,2),F(0,2,1),所以EF=(−1,2,−1),取EF的中点M,连接B1M,则M12,1因为B1E=B1F,M为EF的中点,所以B1M⊥EF,所以S△B1EF=设平面B1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则n取x=2,得y=-1,z=-4,所以n=(2,-1,-4).设G(m,n,0)(0≤m≤2,0≤n≤2),则GB1=(2-m,2-n,2),所以点G到平面B1EF的距离为所以V三棱锥易得-2≤2m-n≤4,所以23即23≤V4.ABD以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(0,0,1),所以AB=(0,2,0),由AF=AB+λ由于0<λ<1,0<μ<1,所以0<2-2μ<2,0<2λ<2,所以点F在平面BCC1B1内(不包括边界),连接BD,B1D1,又D1在平面BB1D1D内,所以D1F和平面BB1D1D相交,又BE⊂平面BB1D1D,D1∉直线BE,所以直线BE与D1F一定为异面直线,A正确.易得AC=(−2,2,0),设平面ACB1的一个法向量为m=(x,y,z),则m·AC=所以cos<AE,m>=AE·设直线AE与平面ACB1所成的角为θ,θ∈0,则sinθ=|cos<AE,m>|=155,B因为点F在平面BCC1B1内(不包括边界),所以点F到平面ADE的距离为2,所以V四面体A-DEF=V四面体F-ADE=13当λ=μ时,F(2-2λ,2,2λ),连接BC1,则点F在BC1上(不含端点).连接A1B,A1C1,将平面A1BC1绕BC1翻折到与平面ABC1D1在同一平面内,如图,连接AA1,此时AA1与BC1的交点即为满足题意的点F.由题意可知AB=2,A1B=22,∠ABA1=5π6∴AA12=AB2+A1B2-2AB·A1Bcos∠ABA1=22+(2cos5π6∴AF+A1F的最小值为12+46,D故选ABD.5.解析(1)由AD∥BC,可得△AOD∽△COB,∴ADBC由题意得,平面OEF∥平面PAB,又平面OEF∩平面PBC=EF,平面PBC∩平面PAB=PB,∴EF∥PB.同理可得,OE∥PA,OF∥AB,∴△PAB∽△EOF,∴ABOF易得△PAB的周长为6,∴△OEF的周长为4.(2)∵平面α∥平面PAB,∴平面α与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等.∵AD=2,PA=2,PD=22,∴PD2=AD2+PA2,∴AD⊥PA.又AD⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,∴AD⊥平面PAB.又AD⊂平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.取AB的中点G,连接PG,则PG⊥AB.又平面PAB∩平面ABCD=AB,PG⊂平面PAB,∴PG⊥平面ABCD.以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,过点A且与PG平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,2,0),P(1,0,3),C(2,4,0),∴设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则DC·n=2x+2易知AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量