人教B版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何复习提升练含答案

本章复习提升易混易错练易错点1弄不清直线的斜率与倾斜角之间的关系致错1.(2022山东济宁曲阜一中月考)已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为.

易错点2忽略隐含条件或公式应用的前提条件致错2.(2023福建厦门集美中学月考)两条直线3x-2y-1=0与6x-4y+1=0间的距离是()A.133.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为()A.1B.-1C.-1或1D.04.(2024河北保定唐县第一中学期中)已知直线l1:2x-ay+1=0和l2:(a-1)x-y+a=0平行,则实数a=()A.2或-1B.1C.-1D.25.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x25+易错点3考虑不全面致错6.(2024上海曹杨第二中学月考)半径不等的两定圆O1,O2无公共点,动圆O与定圆O1,O2都内切,则圆心O的轨迹是()A.双曲线的一支B.椭圆C.双曲线的一支或椭圆D.抛物线或椭圆7.(2024天津河西期中)已知椭圆x2m+8.(2024上海大学附中诊断)已知直线kx-y+2+k=0在两坐标轴上的截距相等,则k=.

9.已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程为.

10.已知直线l经过点M(2,4)且与圆(x-1)2+(y-3)2=10交于A,B两点,若|AB|=6,则直线l的方程为.

11.(2023河北沧州期中)已知圆E经过点A(0,0),B(2,2),且.

从下列3个条件中任选一个,补充在上面的横线处,并解答.①与y轴相切;②圆E恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分;③过直线x+4y-4=0与直线x-2y-4=0的交点C.(1)求圆E的方程;(2)求过点P(4,3)的圆E的切线方程.12.(2023江苏南通海安高级中学期中)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程;(2)若S,T是椭圆C上两点(异于顶点),且△OST的面积为22,直线OS,OT的斜率分别为k1,k2,求k1k2(3)设直线l与椭圆交于M,N两点(直线l不过顶点),且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点.易错点4对圆锥曲线的定义理解不清致错13.(2024广东广州第一一三中学期中)已知A(-1,0),B(1,0),动点P满足|PA|+|PB|=2,则点P的轨迹方程是()A.x2+y2=1B.y=0C.x214.(2024江西赣州全南中学期中)已知动圆C与圆C1:(x-3)2+y2=4外切,与圆C2:(x+3)2+y2=4内切,则动圆圆心C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支易错点5对直线与双曲线、抛物线的位置关系理解不清致错15.若直线l经过点(2,0)且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是()A.0B.1C.2D.316.(2023四川仁寿一中月考)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=4x的焦点为F.(1)若直线l:y=kx+1与C只有一个公共点,求实数k的值;(2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于A,B两点,求△AOB的面积.易错点6求轨迹方程时忽视变量的范围致错17.已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),若BC边上的中线的长为定值2,则顶点C的轨迹方程为.

18.设椭圆E的方程为x22+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A,B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆,则圆心C的轨迹方程为思想方法练一、分类讨论思想在平面解析几何中的应用1.(2023上海交通大学附属中学期中)若曲线|y|=x+2与曲线C:x2A.(1,+∞)B.(-∞,1]C.(-∞,-1]∪(1,+∞)D.[-1,0)∪(1,+∞)2.(2024江西宜春铜鼓中学测试)已知两个圆x2+y2=9,x2+(y-6)2=r2,若两圆相切,则半径r为.

3.过点P(-1,6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是.

二、数形结合思想在平面解析几何中的应用4.(2022安徽安庆二中期中)已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.6C.2D.15.(2022安徽淮北二模)已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:(x-23)2+yA.[-3,1]C.[-1,0]∪[1,3]D.[1,6.(2022山东潍坊期末)已知F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,过FA.1B.2C.4D.5三、函数与方程思想在平面解析几何中的应用7.(2024河南太康第一高级中学期中)过点A(-1,-1),B(2,2),C(-1,1)三点的圆的方程为()A.x2+(y-1)2=9B.x2+(y-1)2=4C.(x+1)2+y2=5D.(x-1)2+y2=58.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.四、转化与化归思想在平面解析几何中的应用9.(2023福建厦门外国语学校期中)已知点A是抛物线y=x2上的动点,焦点为F,点B(1,2),则|AB|+|AF|的最小值为()A.710.(2023辽宁沈阳郊联体期中)若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为52,则k的取值范围是11.(2024浙江9+1高中联盟期中)若直线l:x+y+m=0与曲线C:y=9-x212.(2022重庆西南大学附属中学期中)若P是直线l:3x+4y+1=0上一动点,过P作圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为.

答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练2.B3.B4.D6.C13.D14.D15.C1.答案0解析如图所示.设直线l过A点时斜率为k1,过B点时斜率为k2,则k1=1-所以直线l的倾斜角的取值范围为0,易错警示求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,将斜率的范围分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线是否符合题意.2.B因为3×(-4)-(-2)×6=0,所以直线3x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0平行.3x-2y-1=0可化为6x-4y-2=0,故两直线间的距离是|-2-1易错警示求两平行线之间的距离时,将一次项系数化为相等才能运用公式.3.B圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.依题意得-1=-k易错警示解关于圆的一般方程问题时,易忽视D2+E2-4F>0导致错误,如本题忽视k4-4k+1>0.4.D易得2×(-1)=-a×(a-1),解得a=-1或a=2.当a=-1时,l1:2x+y+1=0,l2:-2x-y-1=0,即2x+y+1=0,直线l1和直线l2重合,不符合题意.当a=2时,l1:2x-2y+1=0,l2:x-y+2=0,直线l1和直线l2平行,符合题意.故选D.易错警示解决两直线的位置关系问题时,一要注意斜率不存在的情况,二要注意重合的情况.5.答案(1,5)∪(5,+∞)解析由y=kx+1,x∵直线与椭圆恒有两个公共点,∴Δ=100k2-4(m+5k2)·(5-5m)>0,化简得m(m-1+5k2)>0.由椭圆的定义可知m>0且m≠5,∴m>1-∴m的取值范围为(1,5)∪(5,+∞).6.C因为两定圆O1,O2无公共点,所以两圆外离或内含.设圆O1,O2的半径分别为r1,r2(r1>r2),圆O的半径为R.当两定圆外离时,由圆O与圆O1,O2都内切,得两定圆O1,O2在动圆O里面,则|OO1|=R-r1,|OO2|=R-r2,所以|OO2|-|OO1|=r1-r2,所以圆心O的轨迹是双曲线的一支.当两定圆内含时,由圆O与圆O1,O2都内切,得动圆O在圆O1里面,圆O2在动圆O里面,则|OO1|=r1-R,|OO2|=R-r2,所以|OO1|+|OO2|=r1-r2>|O1O2|,所以圆心O的轨迹是椭圆.综上,圆心O的轨迹是双曲线的一支或椭圆.故选C.易错警示动圆与定圆具体位置与两定圆的位置关系有关,解题时防止遗漏导致错误.7.答案25或4解析当椭圆的焦点在x轴上时,m-4=12,即m=5,所以长轴长为2m=2当椭圆的焦点在y轴上时,长轴长为2×2=4.易错警示研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分情况讨论,解题时防止未对焦点的位置进行判断导致错误.8.答案-2或-1解析若直线过原点,显然符合题意,易得k=-2.若直线不过原点,k=0时,直线方程为y=2,不符合题意,即k≠0且k≠-2.令x=0,得y=2+k,令y=0,得x=-2+k所以2+k=-2+k综上,k=-2或k=-1.易错警示在利用直线的方程解决与截距相关的问题时,注意分析直线的截距为0是否符合题意,防止遗漏导致错误.9.答案x+3y-5=0或x=-1解析解方程组3即交点坐标为(-1,2).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意得|2k-所以直线l的方程为y-2=-13②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.易错警示在解决与直线有关的位置关系问题时,常要设出直线的方程,并且需要对直线的斜率存不存在进行讨论,解题时要防止不讨论导致错误.10.答案x=2或y=4解析若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,此时可得A(2,0),B(2,6)或A(2,6),B(2,0),满足|AB|=6;若直线l的斜率存在,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,依题意有|k故符合要求的直线l的方程为x=2或y=4.11.解析(1)若选①,设圆E的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得|所以圆E的方程为(x-2)2+y2=4.若选②,因为圆E恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分,所以mx-y-2m=0恒过圆E的圆心.易知直线mx-y-2m=0恒过点(2,0),所以圆E的圆心为(2,0).设圆的标准方程为(x-2)2+y2=r2,由圆E经过点A(0,0),得r2=4,所以圆E的方程为(x-2)2+y2=4.若选③,由x+4设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意得F所以圆E的方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.(2)因为(4-2)2+32=13>4,所以点P在圆E外.若切线的斜率存在,设其为k,则切线方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,所以|2k-所以切线方程为5x-12y+16=0.若切线的斜率不存在,则切线方程为x=4,满足题意.综上,过点P(4,3)的圆E的切线方程为x=4或5x-12y+16=0.12.解析(1)由题意得c所以a=2,b=c=1,所以椭圆C的标准方程为x22+y(2)设S(x1,y1),T(x2,y2).由题意知直线OS:y=k1x,直线OT:y=k2x.由y1=k点T到直线OS的距离d=|k1x所以S△OST=12·|OS|·d=|k1-k2|(1+2(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).易得A(2,0).(i)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,由y=kx+m,x2所以x3+x4=-4km由题意得AM·AN=0,所以(x3-2)·(x4-2)+y3y所以(1+k2)x3x4+(km-2)(x3+x4)+m2+2=0,把x3+x4=-4km1+2k2,x3x(m+2k)(3m+2k)=0,所以m=-2k或m=-当m=-2k时,l:y=kx-2k=k(x−2),过定点(当m=-23k时,l:y=kx-23k=k(ii)当直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,|t|<2,由x=t,所以AM=由题意得AM·AN=0,所以3t2-4即(3t-2)(t−2)=0,所以t=23所以直线l过点23综上,直线l过定点2313.D因为|PA|+|PB|=2=|AB|,所以点P的轨迹是线段AB,即y=0,x∈[-1,1].故选D.易错警示平面内到两个定点距离的和为定值,当该定值大于两个定点距离时,点的轨迹是椭圆,当该定值等于两个定点距离时,点的轨迹是线段.14.D设动圆C的圆心为C(x,y),半径为r.易知圆C1:(x-3)2+y2=4的圆心为C1(3,0),半径为2;圆C2:(x+3)2+y2=4的圆心为C2(-3,0),半径为2.由题意得|CC1|=r+2,|CC又因为|C1C2|=6,所以|CC1|-|CC2|=4.所以根据双曲线的定义知点C的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的一支.故选D.易错警示在双曲线的定义中注意“绝对值”这三个字,若去掉绝对值,则动点的轨迹是双曲线的一支.15.C依题意,直线l的斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).由y=k(x-2),x2当1-k2=0,即k=±1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点.当1-k2≠0时,Δ=(4k2)2所以符合要求的直线只有2条.16.解析(1)由y=kx+1①当k=0时,-4y+4=0,解得y=1,满足题意;②当k≠0时,由Δ=(-4)2-4×4k=0,解得k=1.综上,当k=1或k=0时,直线与抛物线只有一个交点.(2)易得F(1,0),所以直线AB的方程为y=2(x-1)=2x-2.由y=2x-设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,y1y2=-4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1易错警示直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与它们并不一定相切.当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行(或重合)时,直线与双曲线、抛物线也只有一个公共点,此时直线与双曲线、抛物线相交.17.答案(x+9)2+y2=16(y≠0)解析设C(x,y),BC边的中点为D,则Dx+32,y2.因为|AD|=2,所以-3-x+318.答案y=-1解析设动直线l的方程为y=x+t,由x22+y2则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-3<设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4t所以y1+y2=2t3,所以C所以C的轨迹方程为y=-12易错警示求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.如果方程整理和化简过程破坏了同解性,那么就需要剔除不属于轨迹的点或找回属于轨迹而遗漏的点.思想方法练1.C4.C5.D6.A7.D9.C1.C|y|=x+2表示两条端点为(-2,0)且斜率分别为1和-1的射线.根据曲线C的类型进行讨论.当曲线C:x24λ当曲线C:x24λ+y24所以实数λ的取值范围是(-∞,-1]∪(1,+∞),故选C.2.答案3或9解析设圆x2+y2=9的圆心为C1,半径为r1,圆x2+(y-6)2=r2的圆心为C2,半径为r2,则C1(0,0),C2(0,6),r1=3,r2=r>0.两个圆相切要分内切和外切两种情况进行讨论.当两圆外切时,|C1C2|=6=3+r,解得r=3;当两圆内切时,|C1C2|=6=|3-r|,解得r=9(负值舍去).综上,r=3或r=9.3.答案3x-4y+27=0或x=-1解析不确定直线l的斜率是否存在,需要分类讨论.当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-6=k(x+1),即kx-y+k+6=0,则圆心(-3,2)到直线的距离d=|-3k-综上,所求直线的方程为3x-4y+27=0或x=-1.思想方法本章涉及分类讨论思想的有:①对与直线有关的位置关系问题中直线的斜率是否存在进行讨论;②对圆与圆的位置关系中两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置进行讨论;③对圆锥曲线标准方程的形式进行讨论.4.C由圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4,可得圆心C1(4,1),半径r1=2.由圆C2:x2+(y-4)2=1,可得圆心C2(0,4),半径r2=1.所以两圆圆心距|C1C2|=(4所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2,当且仅当M,N,C1,C2,P共线时,取得最小值2,数形结合分析最值与动点、定点之间的关系.故|PM|+|PN|的最小值为2.故选C.5.D由题意可知,过(0,-2)的直线l位于与两个圆分别相切的直线之间的部分(包括这两条直线)时满足题意,借助几何图形找到满足条件的位置,进而求解.设直线l的方程为y=kx-2,由21+k2=2,得k=1或k=-1(舍去),由|6.A由题意直接画出图形,将几何关系在图形中呈现出来.如图所示,设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M,则|PM|=|PF1|,∴|MF2|=|PM|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=10.连接OQ,易知OQ是△F1F2M的中位线,∴|OQ|=5,∴点Q的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,∴当点Q在y轴上时,点Q与靠近点Q的短轴端点间的距离最小,为5-4=1.故选A.思想方法数形结合思想主要是通过直角坐标系与几何图形相结合,使得几何图形上的每个点与直角坐标系里的坐标(有序实数对)一一对应,实现数和形的互化.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等利用数形结合思想比较简便.7.D依题意设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,利用待定系数法通过解方程组求解圆的方程.则2-D-E+F=0,8+2D+28.解析(1)由题意得椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆方程为x2由x2a2+y2b2=1,y=x-3,消去y,得(a2+b因为直线y=x-3与椭圆相切,所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.利用方程知识得到a,b的关系式,再解方程(组)得到椭圆的方程.又两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为x22+y（2）若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|22若直线PQ的斜率存在且不为0,设斜率为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k设P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=所以x1+x2=-4所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=同理,|MN|=22×选择参数k为自变量,建立S四边形所以S四边形PMQN=|=4×k4+2k因为4k2+4k2+10≥24k2·4k综上所述,四边形PMQN的面