高考数学一轮总复习：第八章 立体几何

高考数学一轮总复习：第八章立体几何目录第1课时空间几何体的结构、三视图、直观图第2课时空间几何体的表面积、体积专题研究球与几何体的切接问题第3课时空间点、线、面的位置关系第4课时直线、平面平行的判定及性质第5课时直线、平面垂直的判定及性质第1课时空间几何体的结构、三视图、直观图1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．正方体的三视图是三个全等的正方形B．球的三视图是三个全等的圆C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案B解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．2．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是()答案B解析侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.3．如图为一个几何体的三视图，则该几何体是()A．四棱柱 B．三棱柱C．长方体 D．三棱锥答案B解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，即为一个平放的三棱柱．4.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是()A．定 B．有C．收 D．获答案B解析这是一个正方体的平面展开图，其直观图如图：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．5．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()A．圆柱和圆锥 B．正方体和圆锥C．四棱柱和圆锥 D．正方体和球答案C解析本题是三视图确定直观图．6.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()答案B解析D项为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.7．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥ B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤答案B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.8．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为()A．2eq\r(2) B．6eq\r(2)C．1 D.eq\r(2)答案A解析因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为2eq\r(2)，所以该四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×1×3＝2eq\r(2).9．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()答案C解析通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求．10．一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①② B．③④C．①③ D．②④答案D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P－BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案D解析正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边A1D1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝eq\f(1,2)×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以eq\f(S俯视图,S正视图)的最大值为eq\f(a2,\f(1,2)a2)＝2，故选D.12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)答案C解析在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1－MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2eq\r(2)，D1M＝MC＝eq\r(5)，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.13．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为()A．32 B．32eq\r(7)C．64 D．64eq\r(7)答案C解析将三视图还原为如图所示的三棱锥P－ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2eq\r(7)，PA2＋y2＝102，(2eq\r(7))2＋PA2＝x2，所以x2＋y2＝128，所以xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝64,当且仅当x＝y，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.故选C.14．若将一个圆锥侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为________cm.答案eq\r(3)解析设圆锥的底面圆半径为rcm，则2πr＝2π，解得r＝1cm，∴h＝eq\r(22－1)＝eq\r(3)cm.15．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个四面体的正视图的面积为________．答案2eq\r(2)解析由俯视图可得，原正四面体AMNC可视作是如图所示的正方体的一内接几何体，则该正方体的棱长为2，正四面体的正视图为三角形，其面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).16．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为________．答案96解析由俯视图的直观图可设y′轴与C1B1交于D1点，O1D1＝2eq\r(2)，故OD＝4eq\r(2)，俯视图是边长为6的菱形，则该几何体是直四棱柱，侧棱长为4，则侧面积为6×4×4＝96.17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的构成上方为________；下方为________．答案四分之一圆锥圆柱讲评已知三视图，判断几何体的技巧：①一般情况下，根据正视图、俯视图确定是柱体、锥体还是组合体．②根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置．③综合三视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．④一定要熟记常见几何体的三视图！第2课时空间几何体的表面积、体积1．如图，一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1答案B解析根据题意得，该几何体是三棱锥，底面为等腰直角三角形，高为1，故体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).2．如图是某空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\r(3)答案D解析如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ABCD⊥底面PAB，侧面ABCD为直角梯形，AD∥BC，DA⊥AB，该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，故选D.3.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案C解析由侧视图、俯视图知该几何体是高为2，底面积为eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱体积的eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，故选C.4．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，圆心为B，半径为1的圆与AB，BC分别交于点E，F，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于()A．π B．6πC.eq\f(4π,3) D．4π答案B解析由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥．该圆柱的底面半径R＝BA＝2，母线长l＝AD＝2，故该圆柱的体积V1＝π×22×2＝8π，半球的半径为1，其体积V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，圆锥的底面半径为2，高为1，其体积V3＝eq\f(1,3)π×22×1＝eq\f(4π,3)，所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积V＝V1－V2－V3＝6π.5．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(3)，则这个圆锥的体积为()A.eq\f(\r(15),3) B.eq\f(32\r(35)π,27)C.eq\f(128\r(2)π,81) D.eq\f(8\r(3),3)答案C解析作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路为PP′，∵OP＝OP′＝4，PP′＝4eq\r(3)，由余弦定理可得cos∠P′OP＝eq\f(OP2＋OP′2－PP′2,2OP·OP′)＝－eq\f(1,2)，∴∠P′OP＝eq\f(2π,3).设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则有2πr＝eq\f(2π,3)×4，∴r＝eq\f(4,3)，h＝eq\r(l2－r2)＝eq\f(8\r(2),3)，∴圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(128\r(2)π,81).6．如图，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是半径为eq\r(3)的半圆和相同的正三角形，其中正三角形的上顶点是半圆弧的中点，底边在直径上，则该几何体的表面积是()A．6π B．8πC．10π D．11π答案C解析由三视图可知，该几何体是一个半球挖去一个圆锥后得到的几何体，且半球的底面半径为eq\r(3)，圆锥的轴截面为等边三角形，其高为eq\r(3)，故圆锥的底面半径为1，母线长为2.该几何体的表面由半球的侧面、圆锥的侧面以及半球的底面除去圆锥的底面三部分构成．半球的侧面积S1＝eq\f(1,2)×4π×(eq\r(3))2＝6π，圆锥的侧面积S2＝π×1×2＝2π，半球的底面圆的面积S3＝π×(eq\r(3))2＝3π，圆锥的底面积S4＝π×12＝π，所以该几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3－S4＝6π＋2π＋3π－π＝10π.故选C.7．甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积V甲，乙的体积为V乙，则()A．V甲<V乙 B．V甲＝V乙C．V甲>V乙 D．V甲，V乙的大小关系不能确定答案C解析由三视图知，甲几何体是一个以边长为1的正方形为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V甲>V乙，故选C.8．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋eq\f(8\r(5),3)，则其正视图中x的值为()A．5 B．4C．3 D．2答案C解析由三视图知，该几何体是一个组合体，其上面是一个正四棱锥，正四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，正四棱锥的侧棱长是3.该几何体的下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x.根据组合体的体积，得π·22x＋4×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(32－22)×eq\f(1,3)＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，∴4πx＋eq\f(8\r(5),3)＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，∴x＝3.故选C.9．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是()A．4＋6π B．8＋6πC．4＋12π D．8＋12π答案B解析由三视图知，该几何体为四棱锥与半圆柱的上下组合体，其中半圆柱的底面圆的直径为4，母线长为3，四棱锥的底面是长为4，宽为3的矩形，高为2，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,2)×π×22×3＋eq\f(1,3)×4×3×2＝8＋6π，故选B.10．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B．2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝2×eq\f(1,2)π×12＋2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)π×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4，故选B.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为()A．π＋eq\f(4,3) B．π＋2C．2π＋eq\f(4,3) D．2π＋2答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故体积为eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝π＋eq\f(4,3).12．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．16－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(4π,3)C．16－eq\f(4π,3) D．16(1－eq\f(π,3))答案C解析根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，结合图中数据，得该几何体的体积V＝V四棱柱－V圆锥＝22×4－eq\f(1,3)π×12×4＝16－eq\f(4π,3)，故选C.13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()A．24－π B．24－3πC．24＋π D．24－2π答案A解析由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方eq\f(1,8)球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×eq\f(1,4)×π×22＋eq\f(1,8)×4×π×22＝24－π，故选A.14．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为()A.eq\f(π,27) B.eq\f(8π,27)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,9)答案B解析如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得eq\f(r,1)＝eq\f(2－x,2)，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)．设V(r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，则V′(r)＝2π(2r－3r2)，由2π(2r－3r2)＝0，得r＝eq\f(2,3)，所以圆柱的最大体积Vmax＝2π[(eq\f(2,3))2－(eq\f(2,3))3]＝eq\f(8π,27)，故选B.15.若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案16π解析由三视图，可知该几何体是一个球体挖去eq\f(1,4)之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的eq\f(3,4)与两个半圆面的面积之和，即S＝eq\f(3,4)×(4π×22)＋2×(eq\f(1,2)π×22)＝16π.16．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥平面EFG.答案(1)略(2)eq\f(284,3)cm3(3)略解析(1)如图所示．(2)所求多面体的体积是：V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)cm3.(3)如图所示，复原长方体ABCD－A′B′C′D′，连接AD′，则AD′∥BC′.∵E，G分别是AA′，A′D′的中点，∴AD′∥EG.从而EG∥BC′.又BC′⊄平面EFG，∴BC′∥平面EFG.专题研究球与几何体的切接问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A．64π B．32πC．16π D．8π答案A解析如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，则R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.2．体积为8的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为()A．8π B．4πC.eq\f(8\r(2),3)π D.eq\f(4π,3)答案D解析要使球的体积V最大，则球为正方体的内切球．∵正方体的体积为8，∴正方体的棱长为2，∴内切球的半径为1，体积为eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3)，故选D.3．已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，则球O的体积为()A.eq\f(\r(3),2)π B.eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．4eq\r(3)π答案A解析由题知，AB＝BC＝1，AC＝eq\r(2)，所以AB2＋BC2＝AC2，所以∠CBA＝eq\f(π,2)，即BC⊥AB，又BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，因为AB＝AD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，此时可将点A，B，C，D看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O为正方体的外接球，设球O的半径为R，故2R＝eq\r(12＋12＋12)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，则球O的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π，故选A.4．已知球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，则三棱锥S－ABC的体积为()A.eq\f(3\r(2),4) B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\f(9\r(2),2)答案D解析设该球球心为O，因为球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，所以三棱锥S－OAB是棱长为3的正四面体，其体积VS－OAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(6)＝eq\f(9\r(2),4)，同理VO－ABC＝eq\f(9\r(2),4)，故三棱锥S－ABC的体积VS－ABC＝VS－OAB＋VO－ABC＝eq\f(9\r(2),2)，故选D.5．在一个半球内挖去一个多面体，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A．4eq\r(6)π－8 B．8eq\r(3)π－8C．8eq\r(6)π－4 D．8eq\r(3)π－4答案A解析由三视图可知半球内挖去的多面体是棱长为2的正方体，且该正方体是半球的内接正方体．设半球的半径为R，则R＝eq\r(2＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以该几何体的体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×(eq\r(6))3－23＝4eq\r(6)π－8.6．已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的eq\f(7,8)时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A.eq\f(7,6)π B.eq\f(4,3)πC.eq\f(2,3)π D.eq\f(1,2)π答案C解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的eq\f(1,8)，三棱锥形容器的体积为eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)·42·eq\f(\r(6),3)·4＝eq\f(16\r(2),3)，所以没有水的部分的体积为eq\f(2\r(2),3).设其棱长为a，则其体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(2\r(2),3)，∴a＝2，设小球的半径为r，则4×eq\f(1,3)×eq\r(3)×r＝eq\f(2\r(2),3)，解得r＝eq\f(\r(6),6)，∴球的表面积为4π×eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)π，故选C.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．36π B．8πC.eq\f(9,2)π D.eq\f(27,8)π答案B解析根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱锥，如图所示．该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球．设外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2＝1＋1＝2，∴外接球的表面积是4πR2＝8π，故选B.8．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为()A．10eq\r(3)cm B．10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm答案B解析依题意，在四棱锥S－ABCD中，所有棱长均为20cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10eq\r(2)cm，AS＝20cm，所以O到SA的距离d＝10cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径R＝10cm，故选B.9．四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2)，则该球的表面积为()A．9π B．3πC．2eq\r(2)π D．12π答案D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2eq\r(2)，可知正方形ABCD对角线AC的长为2eq\r(2)，可得正方形ABCD的边长a＝2，在△PAC中，PC＝eq\r(22＋（2\r(2)）2)＝2eq\r(3)，球的半径R＝eq\r(3)，∴S表＝4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π.10．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________．答案eq\f(6\r(3),π)解析设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其内切球半径为正四面体高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).11．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．答案8π解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为eq\r(22＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2)，即球半径为eq\r(2)，所以球的表面积为4π×(eq\r(2))2＝8π.12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．答案eq\f(1,3)3π解析由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V＝eq\f(1,3)×1×1×1＝eq\f(1,3)，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为eq\r(3)，该球表面积S＝4π×(eq\f(\r(3),2))2＝3π，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径．13．已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，则球O的体积为________．答案eq\f(32π,3)解析设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2eq\r(3)，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为eq\f(32π,3).第3课时空间点、线、面的位置关系1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．2．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析可用反证法．假设l与l1，l2都不相交，因为l与l1都在平面α内，于是l∥l1，同理l∥l2，于是l1∥l2，与已知矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交．3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面答案A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()答案D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α.可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．6．将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直答案C解析在题图①中，AD⊥BC，故在题图②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.7．空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为()A．1 B．4C．7 D．8答案C解析当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四个面之一平行时，满足条件的平面有4个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个．8．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案D解析对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C在平面α内，边AC，BC可以与平面α都成30°角，故B错误；C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D正确．故选D.9．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析将平面展开图还原成正方体(如图所示)．对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；对于②，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BM∥GC，所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDM中，∠MBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A．(0，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,2)]C．[0，eq\f(π,3)] D．(0，eq\f(π,3)]答案D解析当P与D1重合，CP∥BA1，所成角为0°；当P与A点重合，CA∥A1C1，连BC1，△A1BC1为正三角形，所成角为60°，又由于异面直线所成角为(0°，90°]，所以选D.11．如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③答案C解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意不等于eq\f(kπ,2)(k∈Z)的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D，选C.12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1B1与BD1所成角的大小为________．答案60°解析∵A1B1∥AB，∴∠ABD1为异面直线A1B1与BD1所成的角，连接AD1，则在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝eq\r(3)，∴tan∠ABD1＝eq\f(AD1,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD1＝60°.13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ＝1时，S的面积为________．答案eq\f(\r(6),2)解析当CQ＝1时，Q与C1重合．如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面S为菱形APC1F，∴其面积为eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).14．有下列四个命题：①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；④若a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．其中正确命题的序号是________．答案①②解析在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线，所以①正确．在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．15.如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？答案(1)略(2)共面，证明略解析(1)证明：∵G，H分别为FA，FD的中点，∴GH綊eq\f(1,2)AD.又∵BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中点，得BE綊GF.所以EF綊BG.由(1)知，BG綊CH，所以EF綊CH.所以EC∥FH.所以C，D，F，E四点共面．第4课时直线、平面平行的判定及性质1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是()A．平行于同一平面的两个平面一定平行B．平行于同一直线的两条直线一定平行C．垂直于同一直线的两条直线一定平行D．垂直于同一平面的两条直线一定平行答案C解析垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．2．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A．10 B．20C．8 D．4答案B解析设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条 B．有2条C．有1条 D．不存在答案A解析因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别是BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案B解析如图，由条件知，EF∥BD，EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF＝eq\f(2,5)HG，∴四边形EFGH为梯形．∵EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵四边形EFGH为梯形，∴线段EH与FG的延长线交于一点，∴EH不平行于平面ADC.故选B.6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案D解析连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条 B．6条C．8条 D．12条答案B解析作出如图的图形，E，F，G，H是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中．由此四点可以组成的直线有：EF，GH，FG，EH，GE，HF共有6条．8．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4答案D解析连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.9．有以下三种说法，其中正确的是________．①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③若直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．答案①解析对于①，若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．10．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABC和平面ABD解析连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.11．如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，直线AB与CD所成的角为90°，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是________．答案1解析∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC∩平面EFGH＝HG，∴HG∥AB.同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD.∴FG∥EH，EF∥HG.故四边形EFGH为平行四边形．又AB⊥CD，∴四边形EFGH为矩形．设eq\f(BF,BD)＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(FG,CD)＝x(0≤x≤1)，则FG＝2x，HG＝2(1－x)，S四边形EFGH＝FG×HG＝4x(1－x)＝－4(x－eq\f(1,2))2＋1，根据二次函数的图像与性质可知，四边形EFGH面积的最大值为1.12.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E，B，F，D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝eq\f(3,2).又B1G＝1，∴eq\f(B1G,B1H)＝eq\f(2,3).又eq\f(FC,BC)＝eq\f(2,3)，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且A1G⊂平面A1GH，HG⊂平面A1GH，BF⊄平面A1GH，BE⊄平面A1GH，∴BF∥平面A1GH，BE∥平面A1GH.又∵BF∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E，F分别是棱AD，PC的中点．证明：EF∥平面PAB.答案略解析证明：如图，取PB的中点M，连接MF，AM.因为F为PC的中点，故MF∥BC且MF＝eq\f(1,2)BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.因为E为AD的中点，即AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，所以MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.14．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A—CDEF的体积．答案(1)略(2)eq\f(8,3)解析(1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝eq\r(2).∴VA－CDEF＝eq\f(1,3)S四边形CDEF·AH＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).15．如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的表面积；(2)在棱PC上是否存在一点E，使得AP∥平面BDE？若存在，指出点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．答案(1)3＋eq\r(5)(2)存在，E为PC中点证明(1)∵四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴PC⊥BC，PC⊥DC，∴S△PCD＝S△PCB＝eq\f(1,2)×1×2＝1，PB＝PD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∵AB⊥CB，AB⊥PC，∴AB⊥平面PCB，∴AB⊥PB，∴S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PB＝eq\f(\r(5),2).同理，S△PAD＝eq\f(\r(5),2).又S正方形ABCD＝1，∴SP－ABCD＝S正方形ABCD＋S△PAB＋S△PAD＋S△PCD＋S△PCB＝1＋eq\f(\r(5),2)＋eq\f(\r(5),2)＋1＋1＝3＋eq\r(5).(2)在棱PC上存在点E，且E是PC的中点时，AP∥平面BDE.证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE，则在△ACP中，O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥AP，又OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，∴AP∥平面BDE.第5课时直线、平面垂直的判定及性质1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n答案B解析A项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n与m，n与异面直线均有可能，不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β有可能相交但不垂直，不正确；D项，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n有可能是异面直线，不正确，故选B.2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是()A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α答案C解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.4．三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．② B．①③C．①④ D．②④答案A解析对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.5．如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案D解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且A项，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意．对于D项中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝eq\r(2)，即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.6．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC答案D解析因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．7.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.8.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.9．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD答案D解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.10．如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有()①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案A解析①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行