高考数学一轮总复习：第一章 集合与简易逻辑（含答案）

高考数学一轮总复习：第一章集合与简易逻辑第1课时集合1．下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}答案B2．若A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝()A．{1，2} B．{0，1}C．{0，3} D．{3}答案C解析B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0，3，6，9}，所以A∩B＝{0，3}．3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．4．若A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|eq\f(1,x)≤1}，则A∩B＝()A．(0，1)B．(0，2)C．(1，2)D．[1，2)答案D解析因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，B＝{x|eq\f(1,x)≤1}＝{x|x≥1或x<0}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}．5．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2b＋1，b∈Z}，C＝{x|x＝4c＋1，c∈Z}，则有()A．m＋n∈A B．m＋n∈BC．m＋n∈C D．m＋n不属于A，B，C中任意一个集合答案B解析∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又n∈B，∴设n＝2b1＋1，b1∈Z，∴m＋n＝2(a1＋b1)＋1，而a1＋b1∈Z，∴m＋n∈B，故选B.6．已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为()A．1 B．3C．4 D．7答案B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁RB＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁RB)＝{0，1}，故A∩(∁RB)的真子集的个数为22－1＝3，故选B.7．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2] B．(1，3)C．[1，3) D．(1，4)答案C解析|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)．8．已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2＋4≤5x}，则(∁RA)∩B＝()A．[2，4] B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．[1，4]答案B解析由log2x<1，解得0<x<2，故A＝(0，2)，故∁RA＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x2＋4≤5x，即x2－5x＋4≤0，解得1≤x≤4，又x∈Z，所以B＝{1，2，3，4}．故(∁RA)∩B＝{2，3，4}．故选B.9．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁UB)＝()A．{x|1<x<2} B．{x|0<x≤1}C．{x|0<x<1} D．{x|1≤x<2}答案C解析由题意知，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，∁UB＝{x|x<1}，所以A∩(∁UB)＝{x|0<x<1}．10．已知全集U为R，集合A＝{x|x2<16}，B＝{x|y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是()A．A∪B＝R B．A∪(∁UB)＝RC．(∁UA)∪B＝R D．A∩(∁UB)＝A答案D解析因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x>4}，所以∁UB＝{x|x≤4}，所以A∩(∁UB)＝A，故选D.11．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m，m∈R}且A⊆∁RB，那么m的值可以是()A．1 B．2C．3 D．4答案A解析由B＝{x|x<2m，m∈R}，得∁RB＝{x|x≥2m，m∈R}．因为A⊆∁RB，所以2m≤2，m≤1，故选A.12．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k的值为()A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5，故选D.13．已知函数f(x)的图像如图所示，设集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x|x2<4}，则A∩B＝()A．(－2，－1)∪(0，2) B．(－1，1)C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，3)答案C解析由题意可得A＝(－∞，－1)∪(1，3)，B＝(－2，2)，所以A∩B＝(－2，－1)∪(1，2)．14．集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A⊆B，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁BA＝________．答案{0，1}{1，0，－1}{－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁BA＝{－1}．15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．16．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，(c>0)．若A∪B＝B，则c的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析A＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.17．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．答案(1){x|－2≤x<4}(2)(－∞，2]解析(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}．又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．(2)由P∪Q＝Q，得P⊆Q.当P≠∅时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1≥－2，,2a＋1≤5，,2a＋1≥a＋1，))解得0≤a≤2；当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0.综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．18．已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B＝(1，2)，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．答案(1)(－∞，－2](2)m＝－1(3)[0，＋∞)解析(1)由A⊆B，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>2m，,2m≤1，,1－m≥3，))得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m≤1，,1－m＝2))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,2)，,m＝－1，))∴m＝－1.(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m，即m≥eq\f(1,3)时，B＝∅，符合题意；②若2m<1－m，即m<eq\f(1,3)时，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,1－m≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,3)，,2m≥3，))得0≤m<eq\f(1,3)或∅，即0≤m<eq\f(1,3).综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．2．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.3．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是()A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案B解析否命题既否定条件又否定结论．4．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题D．命题“若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”的逆否命题答案A解析A中原命题的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，由x>|y|≥y可知其是真命题；B中原命题的否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1⇔x>1或x<－1；C中原命题的否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题；D中原命题的逆命题是“若eq\f(1,a)≥eq\f(1,b)，则a≤b”是假命题，举例：a＝1，b＝－1，故选A.5．若命题p的否命题是命题q的逆否命题，则命题p是命题q的()A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．p与q是同一命题答案A解析设p：若A，则B，则p的否命题为若綈A，则綈B，从而命题q为若B，则A，则命题p是命题q的逆命题，故选A.6．设有下面四个命题：p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))∈R.其中的真命题为()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案B解析对于p1，由eq\f(1,z)∈R，即eq\f(\o(z,\s\up6(－)),z·\o(z,\s\up6(－)))∈R得eq\f(\o(z,\s\up6(－)),|z|2)∈R，∴eq\o(z,\s\up6(－))∈R，∴z∈R.故p1为真命题．对于p2，显然i2＝－1，但i∉R.故p2为假命题．对于p3，若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们的实部不相等，不是共轭复数．故p3为假命题．对于p4，z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))∈R.故p4为真命题，故选B.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析p⇒q，而qp，∴选A.8．“α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由α＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，知2α＝eq\f(π,3)＋4kπ(k∈Z)，则cos2α＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)成立，当cos2α＝eq\f(1,2)时，2α＝2kπ±eq\f(π,3)，即α＝kπ±eq\f(π,6)(k∈Z)，故选A.9．“eq\f(1,x)>1”是“ex－1<1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵eq\f(1,x)>1，∴x∈(0，1)．∵ex－1<1，∴x<1.∴“eq\f(1,x)>1”是“ex－1<1”的充分不必要条件．10．设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x＜0，))所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b⇔f(a)>f(b)⇔a|a|>b|b|.选C.11．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析(m－1)(a－1)>0等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>1，,a>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1，,a<1，))而logam>0等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>1，,a>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m<1，,0<a<1，))所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam>0，故选B.12．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1答案B解析由题意知a≥x2，对x∈[1，2)恒成立，当x∈[1，2)时，1≤x2<4，则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件．13．若不等式eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)的必要不充分条件是|x－m|<1，则实数m的取值范围是()A．[－eq\f(4,3)，eq\f(1,2)] B．[－eq\f(1,2)，eq\f(4,3)]C．(－∞，eq\f(1,2)) D．(eq\f(4,3)，＋∞)答案B解析由|x－m|<1，解得m－1<x<m＋1.因为不等式eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)的必要不充分条件是|x－m|<1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,\f(1,2)≤m＋1，))且等号不能同时取得，解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3)，故选B.14．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是()A．a>3 B．a<3C．a>4 D．a<4答案A解析若2x>a－x，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.15．(1)“x>y>0”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)”的________条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠eq\f(π,4)”的________条件．答案(1)充分不必要(2)充分不必要解析(1)eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇒xy·(y－x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.(2)题目即判断θ＝eq\f(π,4)是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．16．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________．答案②③④17．设命题p：eq\f(2x－1,x－1)<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案[0，eq\f(1,2)]解析eq\f(2x－1,x－1)<0⇒(2x－1)(x－1)<0⇒eq\f(1,2)<x<1，x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇒a≤x≤a＋1，由题意得(eq\f(1,2)，1)[a，a＋1]，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).第3课时逻辑联结词与量词1．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，ex－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lnx<1 D．∃x∈R，tanx＝2答案B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.2．命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q B．∃x0∈∁RQ，x03∈QC．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q答案D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．3．命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0 D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．若命题p：x∈A∩B，则綈p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案B5．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数 B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3是方程x2－9＝0的一个根答案B6．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉BC．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B答案D解析因全称命题的否定是特称命题，故命题的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B.故选D.8．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lgeq\r(x－3)}，则下列命题中真命题的个数是()①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.A．4 B．3C．2 D．1答案C解析因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lgeq\r(x－3)}，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选C.9．下列4个命题中，其中的真命题是()p1：∃x∈(0，＋∞)，(eq\f(1,2))x<(eq\f(1,3))xp2：∃x∈(0，1)，logeq\s\do9(\f(1,2))x>logeq\s\do9(\f(1,3))xp3：∀x∈(0，＋∞)，(eq\f(1,2))x<logeq\s\do9(\f(1,2))xp4：∀x∈(0，eq\f(1,3))，(eq\f(1,2))x<logeq\s\do9(\f(1,3))xA．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案D解析p1，p2为存在性命题，所以只要找到符合条件的x即可．p1可作出y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x的图像，通过观察发现找不到符合条件的x；p2同样作图可得∀x∈(0，1)，logeq\s\do9(\f(1,2))x>logeq\s\do9(\f(1,3))x，所以p2正确；p3通过作图可发现图像中有一部分(eq\f(1,2))x<logeq\s\do9(\f(1,2))x，所以p3错误；在p4中，可得当x∈(0，eq\f(1,3))时，(eq\f(1,2))x<(eq\f(1,2))0＝1，logeq\s\do9(\f(1,3))x>logeq\s\do9(\f(1,3))(eq\f(1,3))＝1，所以(eq\f(1,2))x<1<logeq\s\do9(\f(1,3))x，p4正确．综上可得：p2，p4正确．10．已知命题p：∃x0∈R，mx02＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≥2} B．{m|m≤－2}C．{m|m≤－2或m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案A解析由p：∃x∈R，mx2＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.11．已知命题p：∃x∈R，lnx＋x－2＝0，命题q：∀x∈R，2x≥x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧qC．p∧(綈q) D．綈p∧(綈q)答案C解析分别判断p，q真假，