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第二十三章旋转23.1图形的旋转第1课时旋转的概念及性质旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离__相等__;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__;(3)旋转前、后的图形__全等__.相等旋转角全等如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED,AE交BC于点F.若AD=3.(1)求AF的长;(2)求△ABF的面积.【思路分析】根据旋转的性质即可得到边和角之间的关系.【自主解答】
(2)∵∠BAF=∠B=30°,∴BF=AF=2,∴S△ABF=BF·AC=×2×3=3.
知识点1:旋转的有关概念1.(镇平县期末)下列事件中,属于旋转运动的是()A.小明向北走了4mB.小明在荡秋千C.电梯从1楼到12楼D.一物体从高空坠下B2.如图,△AOB绕着点O旋转至△A′OB′,则(1)点B的对应点是__点B′__;(2)旋转中心是__点O__,旋转角为__∠AOA′,∠BOB′__;(3)∠A的对应角是__∠A′__,线段OA的对应线段是__OA′__.点B′点O∠AOA′,∠BOB′∠A′OA′知识点2:旋转的性质3.如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠BCB′的度数为()A.42°B.46°C.52°D.67°D4.(许昌期末)如图,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,∠AOB=40°,则∠AOD的度数为()A.45°B.40°C.35°D.30°D5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C,此时点A在边B′C上,若BC=5,A′C=3,则AB′的长为()A.2B.3C.4D.5A6.如图,在△ABC中,AB=,AC=,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为()A.3B.2C.2D.4A
7.(虞城县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠B=30°,P是AC的中点,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q(点Q与点P不重合),连接BQ,当△BCQ是直角三角形时,BQ的长为或.或
【解析】运用勾股定理可得BC=2,由旋转得CQ=CP=1,分两种情况:当∠BQC=90°时,当∠BCQ=90°时,利用勾股定理即可求得答案.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△DEC,点D恰好在AB上.(1)若AC=4,求DE的值;(2)确定△ACD的形状,并说明理由.解:(1)由题意知AB=2AC=8,∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△DEC,∴DE=AB=8.(2)△ACD是等边三角形,理由:∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠A=60°,∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△DEC,∴AC=CD,∴△ACD是等边三角形.9.如图,P是等边三角形ABC内一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ,QC.(1)求证:△BAP≌△CAQ;(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,则PC的长度为5.5(1)证明:∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,∴AP=AQ,∠PAQ=60°,∴△APQ是等边三角形,∠PAC+∠CAQ=60°,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAP+∠PAC=60°,AB=AC,∴∠BAP=∠CAQ,∴△BAP≌△CAQ(SAS).10.如图①,矩形ABCD的边AB=4,AD=8,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到矩形AEFG,AD与EF交于点H.数学思考:(1)图①中∠AHF=__180°-α__;(用含α的代数式表示)180°-α深入探究:(2)如图②,当点H在对角线AC的垂直平分线上时,连接CH,求证:EH=DH.(2)证明:∵点H在对角线AC的垂直平分线上,EF边经过点H,∴AH=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠D=∠B=90°,由旋转得A
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