第07讲探索勾股定理（第2课时）（9类题型）

第07讲探索勾股定理（第2课时）（9类题型）课程标准学习目标1.勾股定理的应用；1.掌握勾股定理的应用；知识点01：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即学即练1】1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为，∴笔筒的对角线长：，∵签字笔长，∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【即学即练2】2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，由勾股定理即可得出的距离．【详解】解：将半圆面展开可得：米，米，在中，（米）．即滑行的最短距离为米．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．题型01求梯子滑落高度1．（2023春·山西吕梁·八年级校联考期中）如图，一架长的梯子靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端下滑至处，那么梯子底端将滑动（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可求出的长，由此可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，由此可求出的长．【详解】解：∵，∴，在中，，，∴（米），∵梯子的顶端下滑至处，∴，则，，∴在中，，∴（米），故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键．2．（2023春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上的上，这时梯子下端B与墙角C距离为6米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为1米，则梯子顶端A下落了米？（精确到）【答案】【分析】根据勾股定理求出，再根据求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是提取题意中的长度．3．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端离墙．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的长度，此题得解；（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，用其减去的长度即可得出结论．【详解】（1）解：在中，，，，∴=24()．答：这个梯子的顶端距地面．（2）在中，，，∴，∴．答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键：题型02求旗杆高度1．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【详解】解：设旗杆高度为x米，则，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗杆的高度为17米．故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．【答案】9【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理，得，解得：；故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键．3．（2023春·河南安阳·八年级校考期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着冉升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，为旗杆上用来固定国旗的绳子，点距地面的高度．将绳子拉至的位置，测得点到的距离，到地面的垂直高度，求旗杆的高度．【答案】【分析】设，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，设，则，，由题意可得：，在中，，即，解得：，即，∴旗杆的高度为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．题型03求小鸟飞行距离1．（2023春·重庆云阳·八年级校考阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过点作于，则是矩形，连接，，，，在中，，故小鸟至少飞行，故选C．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2023·浙江·八年级假期作业）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米.【答案】【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，设BD＝x，则AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝米，故树高为CD＝5＋x＝（米），答：树高为米．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．3．（2023春·湖南衡阳·八年级校考开学考试）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？【答案】15m【分析】先由实际问题构造出数学模型，构造出直角三角形，然后列方程求解．【详解】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=而从B点到A点经过路程（20+10）m=30m，根据路程相同列出方程x+=30，可得=30﹣x，两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以这棵树的高度为10+5=15m．故答案为15m．题型04求大树折断的高度1．（2023春·新疆巴音郭楞·八年级校考期中）如图，一棵大树，在一次强风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分树头A着地与树底部B的距离为米，这棵大树的高度为（

）米．A．6 B．9 C．12 D．27【答案】B【分析】依题意，，，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】解：依题意，，，在中，∴这棵大树的高度为故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如右图，小旭放风筝时线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度为米．【答案】12【分析】设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度．【详解】解：设，则，由图可得，，，中，，即，解得，所以风筝距离地面的高度为12米．故答案为：12【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．3．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．【答案】不会【分析】先利用勾股定理求出，比较折断前大树高度与高压电线高度判断即可解题．【详解】解：不会，理由为：根据勾股定理可得：，∴折断前大树高度为：，∴该树在折断前不会接触到电线．【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键．题型05解决水杯中筷子问题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，观察题目的信息是解题的关键．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是．【答案】【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：设筷子在杯子中的长度为，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，在杯子中筷子最短时x等于杯子的高，最长时x等于杯子轴截面中对角线的长度，当杯子中筷子最短等于杯子的高时，，最长时：，的取值范围是：，即．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．3．（2023秋·八年级课时练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出的长，即可求解．【详解】解：∵，点P是的中点，∴．∵，∴．在中，根据勾股定理，．∴．解得，∴．答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．题型06解决航海问题1．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口向西南方向航行，经过小时后它们相距（）A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．32海里【答案】B【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为，根据题目中给出的小时和速度可以计算，的长度，在直角中，已知，可以求得的长．【详解】解：如图，作出图形，因为东南和西南的夹角为，所以为直角三角形．在中，，，则故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定为直角三角形，并且根据勾股定理计算是解题的关键．2．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）甲船和乙船分别从港口和港口同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行如图所示，现已知甲、乙两船的速度分别为海里时和海里时，且，两港口之间的距离为海里，则经过小时甲船和乙船之间的距离最近．【答案】/【分析】设经过小时甲船和乙船之间的距离最近，最近距离是海里，由勾股定理得，当，即时，的值最小，即可得出结论．【详解】解：设经过小时甲船和乙船之间的距离最近，最近距离是海里，如图，由勾股定理得：，当，即时，的值最小，则的值最小，此时取得最小值为，即经过小时甲船和乙船之间的距离最近，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，货船和轮船从码头A同时出发，其中，货船沿着北偏西方向以15海里/小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东方向以20海里/小时的速度航行，1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．【答案】25海里【分析】由题意可求出，再根据货船的速度和轮船的速度求出海里，海里，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵货船沿着北偏西方向航行，轮船沿着北偏东方向航行，∴．∵货船的速度为15海里/小时，轮船的速度为20海里/小时，∴海里，海里，∴海里，即B、C两点之间的距离为25海里．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．题型07求台阶上地毯长度1．（2023秋·山东枣庄·八年级校考开学考试）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（

）．A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度（米），地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．2．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要元．【答案】280【分析】地毯的面积即楼梯的表面积，且地毯展开后是一个长方形；再结合图形可知，展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解．【详解】解：楼梯的竖直高是3m，斜边是5m，水平直角边是m，购买这种地毯的长是3m+4m=7m，楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元价格是7×2×20=280元．故答案为280．【点睛】本题主要考查勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大．解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一级台阶的高为2分米；（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AC＝（分米），答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．题型08判断是否受台风影响1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（

）A．15秒 B．秒 C．秒 D．10秒【答案】A【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间．【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A处受噪音影响的时间为：．故选：A【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．2．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．（1）学校C到铁路AB的距离是．（2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到．【答案】2401260【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可；（2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可；（3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解．【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，即，解得，故答案为：240；（2）如图，当时，正好影响学校，∴，∴，∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，∴，故答案为：12；（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），∴，∴其行驶速度至少应增加到．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键．3．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，公路和公路在点处交汇，且，点A处有一所中学，．假设汽车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由．如果受影响，已知汽车的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为8秒【分析】过点A作于点B，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．【详解】解：如图，过点A作于点B，∵，，∴，∵，∴学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵汽车的速度为，∴受影响的时间为：【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点．题型09求最短路径问题1．（2022秋·山西太原·八年级校考阶段练习）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图1，∵，，N是的中点，∴，∴，，∴；如图2，∵，，N是的中点，∴，∴，，∴．∵，∴蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N处的最短路程为．故选：A．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．2．（2021秋·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为．【答案】【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，由题意得，．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出关于的对称点是解题的关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为(2)筷子的最大长度是【分析】（1）分别讨论将面和面展开，将面和上底面展开两种情况，再利用勾股定理计算，进而比较即可求解；（2）当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）方法一：将面和面展开，如图，∵，，∴，由勾股定理得；方法二：将面和上底面展开，如图，∵，，∴，由勾股定理得；所以，如方法一的路线最短，最短路线为；（2）如图，当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，∵，，∴由勾股定理得，∴，所以，筷子的最大长度是．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．A夯实基础1．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．米【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米，将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边，梯子顶端到地面的距离为：（米），故选B．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键．2．（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）如图，一场暴雨这后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则树高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据勾股定理求出，即可得到树高．【详解】解：如图，连接，在中，,，∴，∴树高为．故选：C【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得，，故．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，则，∴，∴小巷的宽为，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．5．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高．【答案】【分析】运用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意，作图如下，，，，∴，∴数的高度为，故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理与实际问题的综合，掌握勾股定理的运用是解题的关键．6．（2022秋·山东淄博·七年级校联考期中）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有米．【答案】6【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行解答．【详解】∵从电线杆离地面8米处向地面拉一条10米长的缆绳，缆绳，线杆，与地面正好构成直角三角形，缆绳为斜边，∴这条缆绳在地面的固定点到电线杆底部距离为：．故答案为：6．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的运用是解题的关键．7（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距海里．【答案】10【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴，两小时后，两艘船分别行驶了，海里，根据勾股定理得：（海里）．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．8．（2022秋·浙江温州·九年级校联考阶段练习）如图，船位于船正东方向5km处．现在船以2km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了h．【答案】1【分析】利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两船的距离的最小值即可．【详解】设时两船相距为，则，，由题意可知：，故当时，即时两船相距最近，故答案为：1【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．9．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的长，再根据线段的和差可得的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后根据即可得出答案．【详解】解：如图，由题意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端将向右滑动米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．10．（2023秋·全国·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【答案】(1)(2)没有超速．【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【详解】（1）解：在中，，；据勾股定理可得：=（2）解：小汽车的速度为；∵；∴这辆小汽车行驶没有超速．答：这辆小汽车没有超速．【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．B能力提升1．（2023春·河南漯河·八年级校考阶段练习）一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（

）A．20cm B．124cm C．26cm D．30cm【答案】C【分析】当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可．【详解】根据勾股定理得，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（

）A．3米 B．6米 C．9米 D．10米【答案】C【分析】由勾股定理求出的长即可．【详解】由题意得：，即A，C两点间的距离为米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．3．（2022秋·山西临汾·八年级校联考阶段练习）如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（

）A．9 B．11 C．12 D．14【答案】B【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，，最长时等于杯子斜边长度是：，此时，的取值范围是：，即h的最小值是．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．4．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为，为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想沿正方体的表面爬行到点处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把图中展开，根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，∵正方体的棱长为，为的中点，∴，，，由勾股定理得，故选：A．【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．5．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）如图，强大的台风使一根旗杆断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，断裂前旗杆总长为8米，则旗杆在离地面米处折断倒下.【答案】3【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：设旗杆在离地面米处折断倒下．由勾股定理得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．6．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距．【答案】【分析】根据题意画出图形，判断出三角形的形状解答即可．【详解】如图所示：由题意可得：（海里），（海里），∴，即是直角三角形，∴（海里）．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理解答，体现了数形结合的优点．7．（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得．【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面上面，由勾股定理得；（2）展开前面右面，由勾股定理得；（3）展开前面和左面，由勾股定理得．所以最短路径的长为故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．8．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．【答案】10【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求．【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为，∴．∵，．∴，在中，，∴，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm．故答案为10．【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．9．（2022秋·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，一艘货轮和一艘渔船同时从港口出发，货轮沿北偏西方向航行海里到达点处，此时，渔船到达港口南偏西的点处，与港口相距海里，求此时货轮和渔船之间的距离．【答案】海里【分析】直接根据题意得出，以及，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：由题意可得：，，，∴（海里）．答：此时货轮和渔船之间的距离为海里．【点睛】本题考查勾股定理的应用，方向角．正确得出的度数是解题的关键．10．（2022春·福建福州·八年级校考期中）某市规定：小汽车在该市城市街道上行驶时，速度不得超过60千米/时．如图，一辆小汽车在该市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方30米处的C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速多少？【答案】超速了，理由见解析，每小时超速了12千米【分析】首先根据题意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．【详解】解：小汽车超速了，理由如下：根据题意，得米，米，．在中，根据勾股定理，得，∴米∴小汽车行驶速度为(米/秒)(千米/时)(千米/时)答，这辆小汽车超速了，每小时超速了12千米．【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．C综合素养1．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，是一长为，宽为，高的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分三种情况讨论：①通过上面和前面抵达②通过上面和右侧面抵达③通过左侧面和前面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算【详解】解：①通过上面和前面抵达，②通过上面和右侧面抵达③通过左侧面和前面抵达；，∵∴最短距离是故选：B【点睛】本题考查勾股定理，长方体的展开图；具备一定的空间相象能力，将几何体展开是解题的关键．2．（2021春·安徽芜湖·八年级校考期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（

）A．8 B．10 C．8 D．12【答案】B【分析】利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可．【详解】如图，根据题意，，作点Ａ关于直线的对称点Ｇ，连接，则为所求最小值，则，过点作，交的延长线于点Ｅ，则四边形是矩形，故，故，故，故选Ｂ．【点睛】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．3．（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（

）A．7 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，，如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在中，，，，此时，的取值范围是．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．【详解】解：过作于，如图所示：由题意可知，，根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，它要飞回巢中所需的时间至少是（），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为．【答案】24米【分析】根据勾股定理，计算旗杆的折断部分是15米，则折断前旗杆的高度是米．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，∴旗杆折断之前高度为米．故答案为：24米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握