北京市顺义区2022-2023学年高二下学期期末质量监测数学试卷（解析）

高中数学精编资源顺义区2022-2023学年度第二学期期末质量监测高二数学试卷考生须知1．本试卷总分150分，考试用时120分钟．2．本试卷共5页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为，所以.故选：C2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.【详解】命题“”为全称命题，则其否定为特称命题，即，故选：B.3.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案.【详解】解：因为“”能推出“”，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.数列是等差数列，若，则（）A. B.5 C.9 D.15【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质结合已知条件求解【详解】因为数列为等差数列，且，所以，因为，所以，所以，所以，故选：B5.某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（）A.48种 B.96种 C.144种 D.192种【答案】D【解析】【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，再排其余4节，有种，根据乘法原理，共有种方法，故选：D．6.下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据题意，由导数的运算法则以及复合函数的求导运算，即可得到结果.详解】①，故正确；②，故正确；③，故错误；④，故正确；故选：C7.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，所以，则.故选：A8.已知为等比数列，下面结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C D.【答案】D【解析】【分析】对于AB，利用等比数列的通项公式分析判断，对于CD，利用等比数列的通项公式结合基本不等式分析判断即可.【详解】设等比数列的公式为，对于A，若，则，得，所以或，所以或，所以A错误，对于B，若，则，即，所以，则其正负由的正负确定，所以B错误，对于C，，当同正时，，当且仅当时取等号，当时，所以C错误，对于D，因为，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：D9.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.当时，函数取得极大值 B.当时，函数取得极小值C当时，函数取得极大值 D.当时，函数取得极小值【答案】D【解析】【分析】由图分段讨论可得的正负，从而得到的单调性,进而找到极值点.【详解】由图可得，时，，单调递减，时，，单调递减，时，，单调递增，故当时，函数取得极小值，故选：D.10.某银行在1998年给出的大额存款的年利率为，某人存入元（大额存款），按照复利，10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.【详解】存入元（大额存款），按照复利，可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，所以，可得.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.计算：________．（用数字作答）【答案】2【解析】【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.【详解】原式.故答案为：12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据分式及对数式有意义即可求解.【详解】要使有意义，只需，解得，或，所以函数的定义域为.故答案为：.13.在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14.若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数的值依次是________．【答案】、3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，由幂函数的性质即可得到结果.【详解】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为是奇函数，所以需要满足为小于的奇数，为大于的奇数.故答案为：、3（答案不唯一）.15.已知，函数．给出下列四个结论：①当，函数无零点；②当时，函数恰有一个零点；③存在实数，使得函数有两个零点；④存在实数，使得函数有三个零点．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③【解析】【分析】利用导数即可研究函数单调性、极值与图像，分类讨论结合依次判断即可.【详解】∵，∴，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴函数有极小值点是1，无极大值点，又当时，且极小值为，∴结合的图像得：当时，直线与的图像有两个不同交点，当时，直线与的图像有一个交点，当时，直线与的图像没有交点，当若则（舍），无零点；当若，无零点；若（舍）无零点；若则（舍），无零点；若则不妨设，有一个零点；对于①当时，函数在无零点，函数在无零点；∴①正确；对于②当时，函数在无零点，函数在恰有一个零点；∴②正确，对于③当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴③正确，对于④当时，函数在有两个零点，函数在无零点；∴函数有两个零点；当时，函数在有一个零点，函数在无零点；∴函数有一个零点；当或时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；当时，函数在无零点，函数在无零点；∴函数无零点；当时，函数在无零点，函数在有一个零点；∴函数有一个零点；∴④错误，故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：解决根及零点关键点是数形结合及分类讨论，分类讨论不重不漏.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）122【解析】【分析】（1）利用赋值法令求解即可；（2）利用赋值法分别令和即可求解.【小问1详解】令，可得【小问2详解】令，可得①令，可得②①式减②式可得，17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为．【解析】【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【小问1详解】函数，，又，，曲线在点处的切线方程为即；【小问2详解】，令，解得或，当变化时，的变化情况如表所示：2+0-0+单调递增单调递减单调递增又时，时，，当时，在上的最大值为，当时，在上的最小值为．18.两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，14，15，16，17，20假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（1）求甲的康复时间不多于14天的概率；（2）若康复时间大于14天，则认为康复效果不佳．设表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；（3）组病人康复时间的方差为组病人康复时间的方差为，试判断与的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；（2）根据步骤求出离散型随机变量的分布列及数学期望；（3）结合数据应用波动情况判断方差的大小.【小问1详解】设甲的康复时间不多于14天为事件C，组中的数据共有7个，基本事件共有7种，且相互独立又组中的数据不多于14天的有5个，即事件C中包含的基本事件有5个甲的康复时间不多于14天的概率【小问2详解】甲康复效果不佳的概率，乙康复效果不佳的概率表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数的可能取值是0，1，2表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为0表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为1表示甲、乙2人中的康复效果不佳的人数为2的分布列为012的数学期望为.【小问3详解】.根据组：10，11，12，13，14，15，16，组：12，13，14，15，16，17，20组数据波动性较大，所以.19.已知为等差数列，为其前项和．若，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则由可求出公差，从而可求得，则可得，然后计算即可得结论；（2）由（1）可得，然后利用分组求和法可求得.【小问1详解】证明：设等差数列的公差为，则通项公式为，又，则即数列是等比数列，公比为2，首项．【小问2详解】由（1）知数列是等比数列，公比为2，首项数列的前项和20.已知函数．（1）若对任意时，成立，求实数的最大值；（2）若，求证：；（3）若存在，使得成立，求证：．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果；（2）根据题意，构造，然后求导得到，即可证明；（3）方法一：由条件可得，令，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得，然后令，然后由函数的单调性即可证明.【小问1详解】，，令解得，在单减，在上单增，在取得极小值，也是最小值，时，成立．只需即可，实数的最大值为1．【小问2详解】证明：设，，在上单调递减，，，即．【小问3详解】法一：证明：存在时，便得成立，，，令，由可知，由（2）知在上单调递减，即，，即，，由知，即，.法二：，，在上单调递减，在上单调递增．存在时，使得成立，，且，，令，，在上单调递增，又，，即即，在上单调递增，即.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究.21已知整数数列满足：①；②．（1）若，求；（2）求证：数列中总包含无穷多等于1的项；（3）若为中第一个等于1的项，求证：．【答案】（1）或（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求解；（2）记为中第一个小于等于0的项，则或，得出矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，得到可知，即可得证；（3）由，可得，得到，求得，再找出和的关系，结合和为偶数和奇数，分类讨论，求得，即可得证.【小问1详解】解：因为整数数列满足，若，可得或；若，可得，此时不满足，，此时，当时，不满足，所以，故或.【小问2详解】证明：首先．否则，记为中第一个小于等于0的项，则或，从而，与的最小性矛盾，记为的最小值，则为奇数并且，根据的最小性，可知，根据可知，注意到第一个1后面的项为2，1，2，1，2…周期性出现，从而数列中总包含无穷多等于1的项.【小问3详解】此小问解析征解【点睛】与数列的新定义有