人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：§ 3 4 函数的应用(一)

§3.4函数的应用(一)

【学习目标】初步体会一次函数、二次函数、基函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数

思想处理现实生活中的简单应用问题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点常见的几类函数模型

函数模型函数［解析』式

一次函数模型J(x)=ax+b(cbb为常数,。羊0)

二次函数模型J(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，〃#0)

分段函数模型危)=错误！

基函数模型次幻=叱+伙mb,a为常数,。/0)

预习小测自我检验

1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数f解析」式为.

『答案』y=20—x,0<rW10

『解析』由题意可知2x+2y=40,

所以y=20—x,0<xW10.

2.用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是m?.

『答案』9

『解析』设矩形的一边长为xm,

则与这条边垂直的边长为匕12—2A:

12—2x

所以矩形面积S—x~~—x2+6x(0<x<6),

当x=3m时，S**=9m2.

3.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其

销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个元.

『答案』60

『解析』设涨价x元(0WxW25),销售的利润为y元，

贝Uy=(50+x-45)(50—2x)=-2x2+40x+250

=-2(x-10)2+450,

所以当x=10,即销售价为60元时，y取得最大值.

题型探究探究重点提升素养

一、一次函数模型的应用

例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使

用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的

关系如图所示.

X（元）»（元）

ATO

°2（）44）*（分）

如意卡便民卡

⑴分别求出通话费用”，力与通话时间x之间的函数r解析』式；

(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解(1)由图象可设yi=Mx+30(比W0),”=物#2#0),把点8(30,35),C(30,15)分别代入％

=&透+30,>2=的x,得ki=，,&2=；.

=$+30（x20）,），2=5（注0）.

(2)令％=”，即彳X+3O=5，则X=90.

当x=90时，yi=y2,两种卡收费一致；

当x<90时，力>)2,使用便民卡便宜；

当x>90时，勺2,使用如意卡便宜.

(学生)

反思感悟一次函数模型的特点和求解方法

(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.

跟踪训练1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖

不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可

卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问

报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.

解设每天从报社买进x份(250WxW400)报纸；

每月所获利润是y元，

则每月售出报纸共(20x+10X250)份；

每月退回报社报纸共10X(x—250)份.

依题意得，y=(0.40-0.24)X(20x+10X250)-(0.24-0.08)X10(x-250).

SPy=0.16(20x+2500)-0.16(lQr—2500),

化简得y=1.6x+800,其中250WxW400,

因为此一次函数的Z=1.6>0,

所以y是一个单调递增函数，再由250<x<400知，

当x=400时，y取得最大值，

此时y=1.6X400+800=1440(元).

所以买进400份报纸所获利润最大，获利1440元.

二、二次函数与鬲函数模型的应用

例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于

55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，

平均每天少销售3箱.

(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(2)求该批发商平均每天的销售利润创元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；

(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解(1)根据题意，得y=90—3(x—50),化简,

得y=-3x+240(50WxW55,xSN).

(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量X每箱销售利润.

所以IP=(X-40)(-3X+240)=-3X2+360X-9600(50WXW55,XSN).

(3)因为切=-3/+360*一9600

=-3(x—60R+1200,

所以当x<60时，IP随x的增大而增大.

又50WxW55,x£N,所以当x=55时，如有最大值，最大值为1125.

所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元.

反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型『解析』式后，可利用配方法、判别式法、换元法以

及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

跟踪训练2据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成

本M万元)可以看成月产量M吨)的二次函数；当月产量为1。吨时，月总成本为20万元；当

月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.

(1)写出月总成本M万元)关于月产量x(吨)的函数关系；

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解(1)设y="(x-15/+17.53/0),

将x=10,y=20代入上式，得20=25a+17.5,

解得“==所以y=*(x—15)2+17.5(10WxW25).

(2)设最大利润为Q(x),

则Q(x)=1.6x—y=1.6x—[张(x—15)2+17.5

=-噌(*-23)2+12.9(10<xW25).

所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

三、分段函数模型的应用

例3经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数火仇千人)与时间

f(天)的函数关系近似满足式f)=4+：(fGN*),人均消费g(f)(元)与时间f(天)的函数关系近似满

1100/,1&W7,fGN*,

足g⑺一7<fW30,fSN*.

⑴求该商场的日收益m⑺(千元)与时间f(天)(1WW3O,PN*)的函数『解析』式：

(2)求该商场日收益的最小值(千元).

解(1)由题意“⑺=_/⑺-g⑺

(100^4+1),1WW7,PN*,

[(130-7)(4+：),7<rW30,/GN*

'400f+100,lWtW7,fWN*,

-519—4f+平，7VW30,£N*.

(2)当时，w⑺单调递增，最小值在f=l处取到，"(1)=500；

当7<7<30时，m⑺单调递减，最小值在f=30处取到，zo(30)=519—120+^^=号2

由皇<500,可得m(f)的最小值为号.

所以，该商场日收益的最小值为挈千元.

(学生)

反思感悟应用分段函数时的三个注意点

(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

跟踪训练3已知48两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到8地,

在8地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.

（1）把汽车离A地的距离x（千米）表示为时间《小时）的函数；

（2）求当1=5小时时汽车离A地的距离.

解（1）汽车以60千米/时的速度从A地到8地需2.5小时，这时x=60r；

当2.5<fW3.5时，x=150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，

这时x=150—50«—3.5）=-501+325.

607,0WW2.5,

所求函数的『解析』式为x=«150,2.5<W3.5,

.-50/+325,3.5<fW6.5.

（2）当f=5时，x=-50X5+325=75,

即当f=5小时时汽车离A地75千米.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均

销售量。（束）与销售单价M元）的关系为Q=100—5x,则当该店每天获利最大时，每束花应定

价为（）

A.15元B.13元

C.11元D.10元

『答案』B

『解析』设每天获利y元,则y=（100—5x）（x-6）-100=-5（x73）2+145,

由x>0,2=100-5x^0,得0aW20,

故当x=13时，每天获利最大.

2.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买W00吨，

则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨（）

A.820元B.840元

C.860元D.880元

『答案』C

『解析』设则1000=8004+4且2000=700%+'解得上=-10,6=9000,

则y=-10x+9000.解400=-10x+9000,得x=860（元）.

3.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和

的最小值是（）

A.^cm2B.4cm2c.3-\/2cm2D.2yf?>cm2

『答案』D

『解析』设一段长为xcm,则另一段长为(12—x)cm,两个正三角形的面积之和为Scirf,

0<x<12.则S邛自2+坐(4—§2=*(x—6产+25,当X=6时，Smin=2小.

4.某游乐场每天的的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，则售出320张门

票时，盈利为元；售出520张门票时，盈利为元.

『答案』12001650

『解析』当xG『0,400』时，%y=k\x,函数图象过点(400,1500),代入得1500=400心,

解得由=*

当xd[400,600j时，设y=%+b,函数图象过点(400,1500),(600,1750),

1500=400七十九依=*

代入得