沪教版 九年级数学 代数与方程的模考汇编复习

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麴知识定位

-----------------------------------------------、

✓,、、

✓X

/

/

✓

/考格分析：

/

函数、方程与不等式作为中学阶段最核心的考点之一常常分布于选择题、

填空题以及简答题，其中代数与方程相关的知识点包括整式方程、分式方程、

无理方程以及方程组和不等式组等等，考察的内容包括方程及不等式（组）

的解法以及应用，由于这部分知识点单独考查时比较简单，因而需要各位学

生熟练理解各种方程之间的区别，掌握各种方程的常规解法，能够在实际问

题中针对已知条件设置等量关系式进行列方程求解。本讲义选取近几年模拟

考原题进行讲解，并对不同题型进行归纳，以帮助学生尽快掌握相关内容。

考试占比：

模拟考以及中考中单纯考察代数与方程相关内容的试题分值至少在20

分左右，此外在综合题中还可以涉及代数方程的求解，因而这部分的内容在

整个中学阶段显得格外重要，由于这部分内容难点较少，各位同学在学习的

过程中应掌握各种方程的常规解法和实际应用，尽量做到不失分！！

童鞋，你做好学习本节课的准备了么？

Areyouready?

e题型梳理

3曾三丽即精第

-：0-题型梳理1：一元二次方程及其解法

【题目】

[2016金山区二模】如果关于x的方程mx2+mx+l=0有两个相等的实数根，那么m等

于（）

A.4或。B,-C.4D.±4

4

【题目分析】

本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△之

间的关系：①△>0。方程有两个不相等的实数根；②&=0。方程有两个相等的实数根；③△

<0=方程没有实数根，此外需要注意一元二次方程的二次项系数不为0。

【答案】C

【解析】

解：・关于X的方程mx2+mx+l=0有两个相等的实数根，

.,.△=b2-4ac=0，即rr）2-4xmxl=0,解得：m=0或m=4,

又.•二次项的系数不能为0，,m=4,

故选：C.

【难度系数】3

:工俐就晡昧

【题目】

[2018杨浦区二模】当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另

一个根的2倍时,称之为“倍根方程"，如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0

是"倍根方程"，那么m的值为。

【答案】-4或-1

【解析】

解:•/x2+(m-2)x-2m=0,(x+m)(x-2)=0,.,.xi=-m,X2=2,

由题意-m=2x2或2=2(-m),;.m=-4或-1,

故答案为-4或-1。

总结：本题考查了求解一元二次方程，解题的关键是学会因式分解法解方程，属于基础题型。

【难度系数】3

题型梳理2：一元二次方程的应用

【题目】

【2017浦东新区二模】某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程

中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价

后的价格卖出了25本，发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰

好相等。

(1)求第二次涨价后每本练习簿的价格；

(2)在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率。

(注：利润增长率=(后一次野Mg%'么F的利润)xlOO%)

【题目分析】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键根据已知条件找

出等量关系，其中第一问根据总利润=单本利润x数量结合两次销售总利润相等，列出关于

X的一元一次方程；而第二问根据涨价前单本利润等于已经连续两次涨价后的单本利润，列

出关于y的一元二次方程。

【答案】(1)11；(2)20%

【解析】

解：(1)设第二次涨价后每本练习簿的价格为X元，

根据题意得：(8.25-2)x36=(x-2)x25,解得：x=ll,

答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元。

(2)设每本练习簿平均获得利润的增长率为y,

根据题意得:(8.25-2)(1+y)2=11-2,解得：yi=0.2=20%,y2=-2.2(舍去)，

答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%。

【难度系数】3

丁俐就晡底

【题目】

[2015闸北区模拟】某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元

时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租。

设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，求：

(l)y关于x的函数关系式；

(2)如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？

2

【答案】(1)y=--x+200;(2)200元或480元

【解析】

解：(1)设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，

X2

根据题意，得：y=200-4x—,.-.y=--x+200o

(2)设每间客房每天的定价增加x元

根据题意，得(180+x)(—|龙+200)=38400,整理后，得x?-320x+6000=0,

解得xi=20,X2=300,

当x=20时，x+180=200(元);

当x=300时，x+180=480(元),

答：这天的每间客房的价格是200元或480元.

总结：本题考察了一次函数与一元二次方程的应用，解题的关键知道涨价和住房的关系，

表示出关系，根据利润做为等量关系可列方程求解。

【难度系数】4

-题型梳理3：分式方程及其解法

【题目】

[2018崇明县二模】某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画

册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果

比上次多买了20本，求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是

)。

120240240120

A.=4B.=4

X%+20x+20X

120240240120

c.=4D.=4

Xx-20x-20X

[题目分析】

本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是找出合适的等量关系冽方程进行解答。

【答案】A

【解析】

120240

解：设第一次买了x本画册，根据题意可得：----------=4,故选：A。

x%+20

【难度系数】3

丁俐强啸诵

【题目】

x+4S

【2018静安区二模】解方程：---=一;

x+11-xX-1

【答案】X=9

【解析】

%+456x

解：—­==一r，

(x+4)(x-1)-5(x+1)=6x

x2+3x-4-5x-5-6x=0,

x2-8x-9=0,

解得:X1=-1,X2=9,

经检验：x=-l是增根，舍去

•••原方程的根是X=9

总结：此题主要考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题关键，注意验根以免

产生增根。

【难度系数】3

-题型梳理4：分式方程的应用

【题目】

[2018松江区二模】某条高速铁路全长540公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上

运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快90公里，因此全程少用1小时，求高

铁列车全程的运行时间。

【题目分析】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，此外实

际问题中的分式方程结果显然是需要验根的。

【答案】2小时

【解析】

解：设高铁列车全程的运行时间为x小时,则动车组列车全程的运行时间为（x+1）小时，

540540

根据题意得：----------=90,

xx+1

解得:X1=2,X2=-3,

经检验，它们都是原方程的根，但x=-3不符合题意，

答：高铁列车全程的运行时间为2小时.

【难度系数】3

:工俐就晡昧

【题目】

[2018闵行区二模】为了响应上海市市政府"绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的

现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学.已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时

段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米/小时，骑自行车所用时间比驾车所用时

间多三小时，求自行车的平均速度？

4

【答案】15千米/时

【解析】

解：设自行车的平均速度是x千米/时，

75751

根据题意，列方程得二-------=-,解得：xi=15,X2=-30,

xx+154

经检验，xi=15是原方程的根，且符合题意，X2=-30不符合题意舍去,

答：自行车的平均速度是15千米/时.

总结：本题考查分式方程的应用，分析题意，题目中的关键语句"骑自行车所用时间比驾

车所用时间多1小时"，找到等量关系列出分式方程求解即可。

4

【难度系数】3

-题型梳理5：无理方程及其解法

【题目】

[2017静安区二模】解方程：VTFI+j2x-5=1

【题目分析】

本题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题利用

平方法是解题关键，原则就是将无理式转换成有理式，要注意无理方程的验根。

【答案】无解

【解析】

解：Vx+T+J2x-5=1

移项得Jx+1=1-j2x-5,

平方得x+l=l-2j2x—5+2x-5,

移项得2j2x-5=x-5

平方得8x-20=x2-10x+25

移项得x2-18x+45=0,

解得xi=3,X2=15,

经检验：xi=3,X2=15都是原方程的增根，

，原方程无解

【难度系数】3

口匚砺股晡诵

【题目】

【2017浦东新区二模】方程J8-2x=-x的根是。

【答案】x=-4

【解析】

解：两边平方得：8-2x=x2,

整理得：(x+4)(x-2)=0,

可得x+4=0或x-2=0,

解得：x=-4或x=2,

经检验x=2是增根，无理方程的解为x=-4,

故答案为：x=-4

总结：此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要检验。

【难度系数】3

题型梳理6：二元一次方程组

【题目】

[2015石家庄模拟】为了奖励学习有进步的学生，老师请小杰帮忙到文具店买了20本练

习簿和10支水笔，共花了36元，已知每支水笔的价格比每本练习簿的价格贵1.2元，如

果设练习簿每本为x元，水笔每支为y元，那么下面列出的方程组中正确的是（）

x-y=1.2[y-x=1.2

A<B<

[20%+10y=36[20%+10y=36

x-y=1.2fy-x=l.2

c.4D.4

10x+20y=36[10x+20y=36

【题目分析】

考查列二元一次方程组；得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键，其中等

量关系为：水笔的单价-练习簿的单价=1.2;20本练习簿的总价+10支水笔的总价=36,

把相关数值代入即可。

【答案】B

【解析】

解：根据单价的等量关系可得方程为y-x=1.2,

y-x=l.2

根据总价36得到的方程为20x+10y=36，，可列方程为

20x+10y=36

故选：B.

【难度系数】3

B

『俐魅晡膝

【题目】

[2017邵东县三模】如图，点C在直线AB上,zACD的度数比/BCD的度数的3倍少

20°,设NACD和/BCD的度数分别为x、y,那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是

()=

\+y=180[x+y=180

A.<“B.5'

x=y-20[x=3y-20

x+y=180fx+y=90

C.《D.<

x=2Q-3y[x=-20

【答案】B

【解析】

x+y=180

解：由题意得，；”，故选：B.

x=3y-20

总结：此题中的等量关系有：①NACD和NBCD组成了平角，则和是180;②/ACD的度

数比/BCD的度数的3倍少20。。

【难度系数】3

-：Q：-题型梳理7：二元二次方程组

【题目】

x2-xy-2y2=0

【2018浦东新区模拟】解方程组：n-‘.

2x+y=3

【题目分析】

本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键，由

①得出(x+y)(x-2y)=0,即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可。

「X=3%2==

[答案]L_5

3卜=|

【解析】

fx2-xy-ly2=0(1)

解,]2x+y=3⑵

由(1)得：(x+y)(x-2y)=0即x+y=0,x-2y=0,

x+y=0fx--2y=0f%,=3x2=~

即原方程组化为C,,c-g,解得：q|

2x+y=5[2工=3U1=-3乃=3

X=3X2

即原方程组的解为1Q,<

0=-3卜

【难度系数】3

:工制就睛漉

【题目】

x2-2xy+y2=9

[2018黄浦区二模】解方程组:<

x2+y2=5

x2—1x2__2__1

【答案】4

y2=-2y3=l，(y4=2

【解析】

x2-2xy+，=9①

解：■

x?+y2=5②

由①得，(x-y)2=9

所以x-y=3③,x-y=-3④

x-y=3(x^y=-3

③②与④②联立得：,n

ld9+y?=5[d9+y=5

x-y=3x2-1

解方程组、

后二一2

x~y=-3叼二-2x4=-l

解方程组，9?，得，,

=1

lx^+y=5y3y4=2

x1=2x2—1X3——2x4=-l

所以原方程组的解为：y广-1(

力=-2'(y=l

3y4=2

总结：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用

变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解。

【难度系数】4

题型梳理8：不等式及不等式组

【题目】

【2018黄浦区二模】不等式组1)的解集是

-x-3<0

12

【题目分析】

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到"的原则是解答此题的关键，通过分别求出各不等式的解集，再求出其公共解

集即可。

【答案】1<x<6

【解析】

2x-^>0①

解:

■pc-340②

由不等式①得，X>:；

O

由不等式②得，XW6,

•此不等式组的解集为：,<X46.

6

故答案为：!<X46.

O

【难度系数】3

【题目】

3(x-1)<5x+1

[2017浦东新区二模】解不等式组:11<73,将其解集在数轴上表示出来，并

[22

写出这个不等式组的最小整数解。

【答案】

【解析】

'3(x-l)<5x+l①

解:购<7多②'

由①得:x>-2,

由②得:x<4,

所以，原不等式组的解集是-2<X44,

在数轴上表示为,1八.JC

所以，这个不等式组的最小整数解是-1.

总结：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到"的原则是解答此题的关键，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集

并在数轴上表示出来，写出这个不等式组的最小整数解即可。

【难度系数】4

告课后炼习

【题目】体.习1

【2017黄浦区二模】解分式方程：三立|-孚二=」

x-2x-4x+2

【答案】x=-5

【解析】

5x+2161

解:三一豆丁。

去分母得：（X+2）2-16=X-2,

整理得：x2+3x-10=0，即（x-2）（x+5）=0,

解得：x=