新教材人教A版高中数学选择性必修第一册训练：椭圆离心率题分类总结 分层练习题含答案解析

9.椭圆离心率题型归类

基础过关练...............................................................1

能力提升练..............................................................6

培优拔尖练..............................................................12

基础过关练

22

L设4和F?为椭圆与+斗=1（。>6>0）的两个焦点，若小鸟，P（。,26）是等边三角形的

cib

三个顶点，则椭圆的离心率为（）

AaR2用A/3n2g

A.---D.------RC.-----U.------

7733

【答案】B

【分析】由三角形耳BP是等边三角形，得到氏C的齐次式，即可求出离心率.

【详解】设椭圆是焦距为2c.

因为用F2,尸（0,2。）是等边三角形的三个顶点，

所以tan二=£=@,有3c2=4〃=4（/_。2）,则《=£=

62b3''a7

2.椭圆（7+2的左、右焦点分别为入，F2,过点矽的直线/与E交于A,B两点，

若△ABB的周长为12,则E的离心率为（）

A.-B.-C.-D.-

3399

【答案】A

【分析】由椭圆的定义，求得“=3,再由求得c的值，结合离心率的定义，即

可求解.

【详解】因为.AB"的周长为12,根据椭圆的定义可得40=12,解得。=3,

c2

则。2=片一4一2=4,所以c=2,则椭圆E的离心率为e=—=7.

a3

3.已知椭圆的两个焦点为K，F2,若椭圆上存在一点尸满足/£尸工=12。，则椭圆离心率的

最小值为.

答案】B

2

【分析】不妨设椭圆的两个焦点在X轴上，故当点P为椭圆的上下顶点时/与尸鸟最大

设椭圆的上顶点为玲，则/耳兄工2120,结合tanNO兄耳=5e，=:分

bay/b+c

析即得解

【详解】

不妨设椭圆的两个焦点在X轴上，故当点P为椭圆的上下顶点时8最大

设椭圆的上顶点为玲，若椭圆上存在一点尸满足/£尸8=12。，

则2120且tan/O^B=£wtan60=抬，故故

则则椭圆离心率的最小值为业

2

22

4.已知椭圆C:\+9=l（a>b>0）的左、右焦点分别为月,工，直线、=丘（左>。）与C相交于

M,N两点（M在第一象限）.若乙四点共圆，且直线叫的倾斜角为9则椭圆C

6

的离心率为（）

B.73-1D.亚一1

【答案】B

【分析】依据〃，耳N,工四点共圆，且直线N8的倾斜角为？，利用椭圆定义可得

O

c=（1）。，进而求得椭圆C的离心率

【详解】根据题意四边形叫叫为平行四边形,

又由M,耳N,工四点共圆，可得平行四边形画”为矩形，即9,生又直线N巴的倾斜

角为小则有NM网(

则M用=：忸8|=c,四周=#|/段=&,则2a=|M|+|M^=(l+6)c,即

2

a=(A/^-1)Q

1+6

贝!j椭圆C的离心率e=£=6T

a

22

5.已知椭圆C:==l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，B，椭圆上点P(x,y)到焦点F2的

ab

最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为()

A.《B.-C.-D.2

223

【答案】A

【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c,可求出a,c,即可计

算出离心率

\a+c=3

【详解】设椭圆的半焦距为C,由题意可得，，解得4=2,c=l,所以椭圆C的离

[a-c=l

心率e=—=—,

a2

22

6.椭圆C:=+2=l(a>b>0)的左顶点为A,点尸,。均在C上，且关于原点对称.若直线

ab

4RAQ的斜率之积为-g,则C的离心率为()

A.立B.正C.1D.-

2223

【答案】B

【分析】设「小,%),。(-%,-%),再根据直线AP,A。的斜率之积为列式，结合椭圆的

方程化简即可.

【详解】设P(工,%),(2(-%,—%)且无。3±。，则左总=^——^=^4

毛+。XQ—(1XQ—Cl

又4+区=1,故;，2『x：),故_1=」，所以e=Ji/[=1

22y22

ab°aa2\J2

22

7.已知椭圆C：=+3=l（a〉b〉0）,AB是。的长轴的两个端点，点M是C上的一

ab

点，满足NMAB=30°,NM5A=45°,设椭圆C的离心率为e,则e?

【答案】1—g【解析】设/（%,%），4（—。，°）B（a,0）,因为

BM

NMAB=3Q°,ZMBA=45°,所以可得左==LkAM==—

XQ-aa3

二+算=1，三等式联立消去%，儿可得£=把=1-e2,e2=l-且故答案为

。b2a233

22

8..设耳,尸2分别是椭圆E:=+3=l（a>6>0）的左、右焦点，过点耳的直线交椭圆E于A,3

ab

3

两点，|44|=3|8月|,若cos/AgB=w，则椭圆E的离心率为.

【答案】也

2

【分析】求椭圆的离心率，要列出关于a，。的等量关系式，设1月为=后（左>0）,根据椭圆的定

义以及|A£|=3|B月可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于左的表达

式，根据几何关系可以列出关于a，c的等量关系式，从而求出离心率

【详解】设|月引=左（左>0）,贝！j|A£|=34，\AB\=4k

/.|AF2\=2a-3k|BF2\=2a-k

3

在中，由余弦定理得,

COSZAF2B=~,sAB8

|AB|2=|施F+1明『-21Ag|•|叫IcosNAF?B,

(4^)2=(2a-3k)2+(2a-k)2(2a-3k)(2a-k),化简可得(Q+女)(。一3%)=0,而a+左>0,故

a—3k,

22

/.|AF2\=\AF,\=3k,\BF2\=5k,:.\BF2f=\AF2|+|AB|,/.AF.±AF2,.・.AA£鸟是等腰直角三

角形，

.•.0=也。，.•.郝有圆的离心率e=g=变.

2a2

22

9.已知耳，瑞分别为椭圆［+2=1的左、右两个焦点，尸是以与鸟为直径的圆与该椭圆的

ab

一个交点，且/尸耳与=2/尸6耳，则这个椭圆的离心率为（）

A.73-1B.73+1C.3匚D.且以

22

【答案】A

【分析】由几何关系得N4尸居=90。，再由椭圆性质求解

【详解】由题意△尸月耳为直角三角形，/片尸耳=90°，而NPG8=2ZPFE,则NPFH=60°,

又久居=2c,

/.PFx=c,PF?=&,由椭圆的定义知，尸耳+尸玛=c+J^c=2a,

二离心率为e=£='l.

a

22

10.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，椭圆C：工+与=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为

ab

乃，后,尸为椭圆上一点（在X轴上方），连结并延长交椭圆于另一点。，且尸B=3B。，

若PF2垂直于无轴，则椭圆C的离心率为（）

【答案】C

【分析】求得椭圆的左右焦点，设尸（加,”）,由题意可得根=。，代入椭圆方程求得〃，再由

向量共线的坐标表示可得。的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所

求值.

22

【详解】解：设椭圆C:餐+当=13＞方＞0）的左、右焦点分别为耳（一。，0）,居（GO）,

ab

*h4h1

设Pg7）,n＞o,由尸乙垂直于X轴可得用二c,由/=加”々）：=，可得〃=幺，

aaa

序5仔

设。（SJ）,由「耳=340,可得-c-c=3（s+c）,--=3t,解得S=-；；C,t=——,

a33a

将。（-0。，-3）代入椭圆方程可得当鼻+[y=1,即25c之+。2_。2=9储，即有〃2=302,

33a9a9a

贝隆，=走

a3

22

11.以椭圆C:1r+3=1伍>6>0）的右焦点/为圆心、C为半径作圆，O为坐标原点，若圆F

与椭圆C交于A,B两点，点。是。尸的中点，且产，则椭圆C的离心率为（）

A.—B.273-3C.V3-1D.火一2

2

【答案】C

【分析】由几何性质得出A点坐标，代入椭圆方程求解

【详解】不妨令点A在第一象限，由。是。尸的中点，且ADLO产，|。目=|萧|。可知AOA尸

（cV3）

是正三角形，则A-,^c,

2

c32

将点A坐标代入椭圆c方程可得a工=1，即62c2+3/。2=4//，即

（a2-c2）c2+3a2c2=4"—c。），

整理得c4-8a2c2+4/=0,gPe4-8e2+4=0,得e?=4-2百或e?=4+2〉.

因为。<e<l,所以e2=4—2\/3,则e=-1

能力提升练

22

1.已知耳，居为椭圆与+==1（。>6>0）的两个焦点，过耳作椭圆的弦A8,若的

ab

周长为8,椭圆的离心率e=3,则椭圆的方程是（）

2

A.M+兰=1

B.匕+f=iC.—+y2=lD.炉+匕=1

16121644

【答案】D

【分析】根据椭圆定义求得a=2,结合椭圆离心率公式、椭圆中”,瓦c的关系求得〃=1即

可得出椭圆方程.

【详解】由椭圆的定义知|A£|+|%|+|AB|=4a=8,所以。=2,

又因为e=£=@,所以c=6,b2=a2-c2=i,所以椭圆的方程为一+^=L

a24

2.若用月是椭圆C的两个焦点，P为C上一点,且4尸&=60。，归耳|=3|尸阊，则C的离

心率为.

【答案】a

4

【分析】由椭圆的定义与余弦定理求解

【详解】由椭圆定义得|尸£|+|尸玛I=2a,又归耳|=3|尸阊，

41

解得|P用=：〃，|尸引=；明而|用工|=2c在鸟中，由余弦定理得

2921231

4c——aH—a—2x—cix—axcos60°

4422

解得£=立

a4

22

3.已知椭圆C:=+2=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳与，尸为椭圆C上一点，且

ab

z^=|,若月关于/片尸月平分线的对称点在椭圆c上，则该椭圆的离心率为.

【答案】昱

3

【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断AKP。为正三角形，且轴，设可

得PR=2t,F遥=囚，从而可得结果.

【详解】

因为《关于/耳尸工的对称点。在椭圆C上,

则PF、=PQ,ZF.PQ=60,

，公片尸。为正三角形，，月。=£尸，

又*F1Q+F2Q=F1P+F2P=2a,.\F2Q=F2P,

所以轴，

设P&=f,则尸耳=2t,耳片=后，

22

4..椭圆=+与=l(a>6>0)上存在一点P满足片尸，凶尸，久,此分别为椭圆的左右焦点，

ab

则椭圆的离心率的范围是()

A.(0,自B.(0,^]C.[1,DD.[^,1)

【答案】D

22

【分析】当点尸位于短轴的端点时，/月尸月最大，要使椭圆3+多=1(。>b>0)上存在一

ab

点尸满足月尸P,只要/《尸耳最大时大于等于]即可，从而可得出答案.

22

【详解】解：当点尸位于短轴的端点时，NFFB最大,要使椭圆3+2=1(“>6>0)上存

ab

在一点P满足耳尸，月尸，

TT7T

只要/月尸工最大时大于等于g即可，即当点尸位于短轴的端点时，“PF」,

24

所以sin/OPK=£2sin工=]&,又椭圆的离心率0<e<l,所以椭圆的离心率的范围是

a42

22

5.已知A,歹分别是椭圆*•+/=l(a>b>0)的左顶点和右焦点，尸是椭圆上一点，直线”

2

与直线/：x=2相交于点。.且44尸。是顶角为120。的等腰三角形，则该椭圆的离心率为(

C

【答案】c

【分析】根据△AFQ是顶角为120。的等腰三角形，建立等式3e2+e-2=0,解方程可得结

果.

【详解】如图，设直线/与X轴的交点为由4A尸。是顶角为120。的等腰三角形，知

|F2|=|E4|=tz+c,ZQFH=60°.

于是，在REQ”中但“卜犷◎而

a2b2b2a+c

---c-——一二----

c。，故。2

2

结合/="+°2得3c2+改一2/=0,即3e2+e-2=0,解得e=(..

22

6.已知点A、8为椭圆E:*+==l(a>b>0)的长轴顶点，尸为椭圆上一点，若直线出，PB

的斜率之积的范围为则椭圆E的离心率的取值范围是(

【答案】A

4,2

【分析】根据椭圆性质%=-勺结合离心率，=彳=1一勺运算处理.

aaa

【详解】由题得：女尸入"PB=一,=/一1£(―j—，所以

故选：A.

7.在平面直角坐标系刀处中，已知AABC的顶点A(-4,0),C(4,0),顶点5在椭圆

x2-y2sinA+sinC

——+—=1r±,------------------=—

259sinB

c22

【答案】］【解析】由题意椭圆宗+I=1中.Q=5,b=3,c=4,故A(Y,0),C(4,0)

是椭圆的两个焦点，.•.A5+5C=2Q=10,AC=8，由正弦定理得

a_b_c

=2r,

sinAsinBsinC

sinA+sinC_〃+c_ABTBC_10_5

一sinB~^b~~AC~~8~4

22

8.已知椭圆x=+斗v=1（。泌>0）的右焦点为死椭圆上的两点关于原点对称，|刚二2|尸8］,

ab

4

且EVEBS-a2,则该椭圆离心率的取值范围是（）

A.（0,桨］B.（0,C.［卷41）D.［与，1）

【答案】B

74

【分析】如图设椭圆的左焦点为E,根据题意和椭圆的定义可知忸同忸目=1a,

利用余弦定理求出COSZBE4,结合平面向量的数量积计算即可.

【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E,则|明+怛同=2%

因为点A、2关于原点对称，所以四边形£BE4为平行四边形，由|"|=2忸用，得,

24

I网=铲，忸目=铲,

16242A2

2——a+—a-4c

\BEf+\BF-EFf59、

在△EBP中,cos/EBF=99一4,'所以

2\BE\BFc42

2x—ax—a4

33

95

cosZBFA=-cosZEBF=—e2——,

44

\

514

4得网阀cos/2f>l=gaxH<Q27

由必/3工/-I--,整理，得/<—，又

479Ovevl,

V22

9.设耳，工分别是椭圆C：三+2=l（a〉Z?〉0）的左右焦点，3为椭圆的下顶点，P为

az

b

过点及，F,B的圆与椭圆。的一个交点，且尸片,片后，则一的值为

2a

【答案】避二1【详解】设过百,鸟3三点的圆的圆心为片鸟是通径

2-

b2

的一半，PF=—

a

b2、

耳是圆M中的一条弦，，根据圆的对称性可知M的坐标M0,—,

I2a）

MB2=MF^=R2

(b2b2

—+b,整理得ac1=b3+ab1c1=a2—b2

、2a

-1=0解得2=好二1,舍去负根

整理得b2+ab—a2—Q

a2

10.已知F是椭圆C的一个焦点,8是短轴的一个端点，直线与椭圆C的另一个交点为D

且8尸=2尸£＞，则C的离心率为（)

AC.旦D.交

-f32

【答案】A

【分析】设。（"Z）,根据8尸=2ED得加=-六〃=-•b!，代入椭圆方程即可求得离心率.

22

【详解】设椭圆方程、+2=1,。＞》＞0,。2=/一凡所以8（0力）产（-c,0）,设〃（，"/）,

ab

BF=2FD

所以（一0,一/?）=2（根+c,〃），所以机=一；■，〃=一］，。（九〃）在椭圆上,

9r2b17

所以彳+犷=1'

a2

22

11.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:=+2=l（a＞b＞0）的右顶点为A,以A为圆心

ab

的圆与直线6-6y=。交于/、N两点，且4WV=6O。，ON=5OM，则C的离心率为（）

A,也

B.二cD.逑

23-13

【答案】C

【分析】根据题意可设出MN的中点为G,由ON=50M可得出MG=20M即MG=2OM，

在加,,Q4G可求出tanZAOG即为直线直线分-勿=。的斜率;，从而可得到C的离心率.

b

【详解】设肋V的中点为G,贝"MG|=|GN|,由0N=50M，

得OM—MN=OM—2MG=5OM，即MG=2OM，设OM=，，MG=2t,

在等边AMAN中，AG=,在处OAG中有tanNAOG=40==2y，

OGOM+MGt+2t73

而直线分*=。的斜率是,所以会奈即—4(»,解得"昌

培优拔尖练

/x2

1.已知耳、尼是椭圆。)的两焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于、

部+至=1(>b>0F2yA

8两点,若AB片为直角三角形，则该椭圆离心率的值为()

/T4

A.学B.yC.V2+1D.V2-1

【答案】D

【分析】根据椭圆的几何性质及定义得到。=(3+l)c,即可求出离心率.

【详解】如图示,

由椭圆的对称性知.A34为等腰直角三角形，所以△AKK为等腰直角三角形.

由椭圆的定义知：\AF\+\AF^=2a,而国闾=|然|=2',所以

\AFl\=2a-\AF2\=2a-2c=42(2c).

所以a=(0+l)c,所以离心率e=,=0+]=0-1.

22

2..已知点P是椭圆+方=l(a>b>0)上的一点，「、F?为椭圆的左、右焦点，若

N耳尸耳=60°,且"耳工的面积为3M,则椭圆的离心率是.

4

【答案】g##0.5

【分析】根据三角形面积公式求出|「耳卜|%|=/,利用椭圆的定义及三角形余弦定理即可

求出结果.

【详解】由2耳至=60。，△尸£月的面积为正片，可得

4

:尸耳卜|尸7讣sin/甲迟=?|尸司.|尸词=岑/,

2

：.\PFt\-\PF2\=a.再根据椭圆的定义可得|P4|+|尸闾=2°.

再利用余弦定理可得4c2=|出1+1尸阊2_21尸用户/讣cos60°

2C]

22e==

=（|尸用+|尸图）-3PFcPF2=4a-3a,求得a=2c,A~^-

221

3.已知椭圆C的方程为?r+/v=l（（）<6<2）离心率e=],耳，4分别为左焦点和右顶点,

点尸（加,〃）在椭圆上，若/耳尸&为锐角，则实数加的取值范围是.

【答案】（-2,2）

—2COSOL

“7,进而利用/可尸4为

n=73sin。

锐角，得至！J2£•%>（）,最后得到实数加的取值范围

【详解】：椭圆C的标准方程为9+/（0<6<2）,二。=2,

又：椭圆C的离心率e=|■，,c=l,则/?=/一c?=3,若点尸（以〃）在椭圆上，

m=Icosa/、/、

则《厂，（a为参数），则P耳=（-l-2cosa,-A/3sina）,尸&=（2-2cosa,-.3sini）,

[n=y/3sina'）'）

若/耳尸&为锐角，则明•%=8s2a-2cosa+1=（costz-l）2>0,

即cosawl,m*2、又由cosa=-l时，尸耳与尸&同向，/耳尸&=。，

故cosaw-1,m^-2,即实数用的取值范围是（-2,2）

22

4..过原点的一条直线与椭圆5+斗=1（〃〉b〉0）交于A,3两点，尸2为椭圆右焦点，且A8

ab

长度等于焦距长，若/ABge（二,3）,则该椭圆离心率的取值范围为（）

A.李）B.悍书A（手,1）D.（冬日）

【答案】B

【分析】由椭圆的对称性可知四边形4名8月是平行四边形，且A8长度等于焦距长则该四边

形为矩形，进而用角分别表示4月,4居，进而由椭圆的定义构建方程并表示离心率，

最后由三角函数求值域方式求得取值范围.

【详解】由题可知，长度等于焦距长且直线过原点，由椭圆的对称性可知，四边形

TT

AF

AFzBF1是矩形，则ZAF2B=—^2=2csinAABF2,AF1=BF2=2ccosZABF2,

又因为点A在椭圆上，则Af；+A&=2csinNA3B+2ccosNA5工=2〃，即

___________1___________________1________

"sin/ABK+cosNABK一夜sin(/A%+口,

在点P,使归一周=2c,则椭圆离心率的取值范围为.

【答案】0<e4"

3

【分析】由题设易知|尸工|2组-°,结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.

C

）22Q

【详解】由题设，|PFJ=2cN丝-c,则e2==W±,而0<e<l,

ca3

所以0<小如..

3

22

6.已知A,8分别为椭圆C：上+上=1的左、右顶点，P,。是椭圆上关于x轴对称的不同

43

两点，设直线AP,8。的斜率分别为尤，k2,若勺则%的取值范围为（）

【答案】C

a

【分析】设尸（%，%）,则。（X。,-%）,可计算出上总=；,然后可得答案.

22

【详解】根据椭圆的标准方程C：?+5=1知4（-2,0）,8（2,0）,

设尸（x。,%）,则且用+言=1,《==?，履=二^,

43X。+2%。-2

所以纸产黄=：.又问川，所以右=看《工,

22

7.已知A,8为椭圆£：1+2r=l（〃〉b>0）的左、右顶点，点尸在£上，在△AP8中，

ab

1?

tanZPAB=-,tanZPBA=-,则椭圆石的离心率为.

29

【答案】速

3

19

【分析】设尸（〃"），进而根据tan/PA8=5,tan/PBA=§求出皿小然后将根，〃代入椭

圆方程进而得到。力的关系，然后求出离心率.

【详解】根据椭圆的对称性不妨设点P在x轴上方，设尸（私〃）（">0）,

112”2

由tan/PAB=—=>--7J-=—,tan/PBA=—n----=—,

2m+a29a—m9

422

联立解得：，代入到椭圆方程得：C13J113"J,2c,，，

m=~~^aab

所以。2=9（〃2_/）=七=子

r2V2

8.如图，椭圆M：。b2的左、右焦点分别为4,小2,两平行直线幻％分别

过"，歹2交M于A,B、C,。四点，且A尸2，。尸2,I*=4“I,则M的离心率为一.

【答案】叵

3

【分析】设|次|=x,根据椭圆定义、对称性得到|A同=4x、防=1-4x、忸周=x、

\BF2\=2a-x,再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.

【详解】设区阅=x,则网=4x,故|做卜2a-4x.

由椭圆的对称性知：\BFt\=\DF2\=x,连接%,则网|=2加X.

又lj/l2,AF21DF2,所以ZF,AF2=ZAF2D=90,

在Rt.、AB2中B耳|2=|AB|2+|AK|2,即（2a_3X）2+（4X）2=（2a-X）2,解得工=与，贝!]

\AF'\=^~'lA/^l=y-

2

在Rt筋巴中1M|2+,外|2=闺为「，即[g[=（2c）,得5/=9C2,所以M的离

心率e，=好.

a3

22

9.已知椭圆C:j+当=l（a>b>0）的左，右焦点分别为耳，工，以坐标原点。为圆心，线

ab

段月工为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A.