2024年高中数学专题8-1重难点题型培优精讲成对数据的统计相关性教师版新人教A版选择性必修第三册

专题8.1成对数据的统计相关性1．变量的相关关系(1)函数关系函数关系是一种确定性关系，常用解析式来表示.(2)相关关系两个变量有关系，但又没有精确到可由其中的一个去精确地确定另一个的程度，这种关系称为相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.2．散点图(1)散点图成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图.(2)正相关和负相关假如从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；假如当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现削减的趋势，则称这两个变量负相关.3．线性相关一般地，假如两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线旁边，则称这两个变量线性相关.4．样本相关系数(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.【题型1变量间的相关关系】【方法点拨】依据变量间的相关关系的定义，进行推断求解即可.【例1】（2024春·四川成都·高二期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（

）A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成果和身高C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量【解题思路】依据相关关系和函数关系的概念即可推断【解答过程】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，故选：C.【变式1-1】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．y=2x2+1中的B．正四面体的体积与棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量【解题思路】依据相关关系的定义、函数的定义即可推断【解答过程】A，B均为函数关系，故A、B错误；C，D为相关关系，故C错，D对.故选：D.【变式1-2】（2024春·安徽阜阳·高二阶段练习）有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成果；③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是（

）A．①③ B．②③C．② D．③【解题思路】利用相关关系和函数关系的概念分析解答.【解答过程】①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关关系；②平均日学习时间和平均学习成果是正相关关系；③立方体的棱长和体积是函数关系，不是相关关系.故选:C.【变式1-3】（2024·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系D．一个学生的数学成果与物理成果之间是一种非确定性的关系【解题思路】依据相关关系是一种不确定关系，函数关系是一种确定关系，可推断A；依据球的体积与半径之间的关系，可推断该关系为函数关系，可推断B；依据农作物的产量与施化肥量之间的关系可得该关系为一种相关关系，可推断C；依据学生的数学成果与物理成果之间是一种相关关系可推断D.【解答过程】解：当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误；球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误；农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误；学生的数学成果与物理成果之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确.故选：D.【题型2利用散点图推断相关性】【方法点拨】依据所给的散点图，探讨两个变量之间的相关关系，进行求解即可.【例2】（2024·全国·高三专题练习）对变量x、y由观测数据得散点图1，对变量y、z由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以推断（

）A．变量x与y负相关，x与z正相关B．变量x与y负相关，x与z负相关C．变量x与y正相关，x与z正相关D．变量x与y正相关，x与z负相关【解题思路】依据散点图干脆推断可得出结论.【解答过程】由散点图可知，变量x与y负相关，变量y与z正相关，所以，x与z负相关.故选：B.【变式2-1】（2024·高二课时练习）在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（

）A． B．C． D．【解题思路】依据散点图中两个变量的变更趋势干脆推断即可.【解答过程】对于A，散点的变更具有波动性，非正相关关系，A错误；对于B，当x变大时，y的变更趋势也是慢慢增大，可知两个变量具有正相关关系，B正确；对于C，当x变大时，y的变更趋势是慢慢减小，可知两个变量具有负相关关系，C错误；对于D，两个变量的变更无规律，二者没有相关性，D错误.故选：B.【变式2-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预料）某中学的爱好小组在某座山测得海拔高度､气压､沸点的六组数据，并绘制出如图所示的散点图，下列说法错误的是（

）A．气压与海拔高度呈负相关 B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈正相关 D．沸点与海拔高度的相关性很强【解题思路】依据正相关、负相关的概念推断．【解答过程】沸点与气压呈正相关，气压与海拔高度呈负相关，所以沸点与海拔高度呈负相关，故选：C.【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A．r2<C．r4<【解题思路】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可【解答过程】r1所以r1并且相关性r1所以r1r2所以r2且r2所以r2所以r2所以r2故选：A.【题型3样本相关系数的意义】【方法点拨】对于所给题目，依据样本相关系数的定义和有关概念来进行推断，即可得解.【例3】（2024秋·陕西榆林·高二期末）两个变量y与x的回来模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如下表，其中拟合效果最好的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相关系数r0.480.960.150.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【解题思路】依据相关系数的定义，推断r的大小，即可推断选项.【解答过程】依据相关系数的定义可知，r越大，约接近于1，则拟合效果越好.由数据可知，模型2的相关系数最大，所以拟合效果最好.故选：B.【变式3-1】（2024春·山东临沂·高二期末）对于样本相关系数，下列说法错误的是（

）A．样本相关系数可以用来推断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数rD．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强【解题思路】利用相关系数与成对样本数据间的相关关系逐项推断，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，样本相关系数可以用来推断成对样本数据相关的正负性，A对；对于B选项，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，B对；对于C选项，样本相关系数r∈对于D选项，样本相关系数的确定值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，D错.故选：D.【变式3-2】（2024·高二课时练习）下列有关样本线性相关系数r的说法，错误的是（）A．相关系数r可用来衡量x与y之间的线性相关程度B．r≤1，且C．r≤1，且D．r≤1，且【解题思路】依据相关系数的定义，即可推断选项.【解答过程】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是一个确定值小于等于1的量，并且它的确定值越大就说明相关程度越大，所以不正确的只有D.故选：D.【变式3-3】（2024春·江苏无锡·高二期末）对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（

）A．样本相关系数r可以用来推断成对数据相关的正负性B．样本相关系数rC．当r=0D．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强【解题思路】依据相关系数：1.r≤1；2.r>0，则成对数据为正相关,r<0，则成对数据为负相关；3.r→【解答过程】依据相关系数的理解：r≤r>0，则成对数据为正相关；rr→1，线性相关程度越强，r→故选：D．【题型4样本相关系数的应用】【方法点拨】样本相关系数是对两个变量相关程度进行定量刻画，|r|越大，表明两个变量之间的线性相关程度越强，运用样本相关系数进行推断的一般步骤如下：(1)整理数据，求出相关值；(2)计算样本相关系数；(3)得出结论.【例4】（2024秋·陕西西安·高二阶段练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得i=120xi=60，i=120yi(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（附：相关系数r=i=1n(【解题思路】(1)由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；(2)由已知干脆利用相关系数公式求解.【解答过程】（1）由已知得样本平均数y=（2）样本(xr=【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据xi,yi(i=1,2,⋯,20)，其中xi和yi分别表示第i(1)估计该地区这种野生动物的数量；(2)求样本xi【解题思路】（1）计算出样区野生动物的数量的平均值，乘以地块数，即得答案；（2）依据相关系数公式进行计算，可得答案.【解答过程】（1）由已知得样本平均数y=从而该地区这种野生动物数量的估计值为200（2）由i=120xi-x可得样本(xr=【变式4-2】（2024·高二课时练习）下图是我国2014年至2021年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．（注：年份代码1~7分别对应年份2014~2021.）由折线图看出，可用线性回来模型拟合y与t的关系．请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱．参考数据和公式：i=17yi=10.97，i=17【解题思路】计算出i=17ti【解答过程】由折线图中数据和参考数据得t=i=17i=17yi所以r=所以y与t的线性相关程度比较高．【变式4-3】（2024·高二课时练习）为调查野生动物疼惜地某种野生动物的数量，将疼惜地分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案．方案一：在该地区应用简洁随机抽样的方法抽取30个作为样本区，依据抽样数据计算得到相应的相关系数r=0.81方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,30，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得i=1(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求方案二抽取的样本xi