2024春八年级数学下册第1章三角形的证明综合素质评价新版北师大版

第一章综合素养评价一、选择题(每题3分，共30分)1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是()A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，172．[2024·长春三模]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于eq\f(1,2)FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E.若AE＝2，BC＝7，则△BEC的面积为()A．7 B．8 C．14 D．163．在解答一道习题时，嘉嘉先作出了△ABC的一条高AD，又作出了△ABC的一条角平分线AE，发觉作的是同一条线段，则△ABC确定是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可运用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是()A．AC＝AD B．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．[2024·台州]如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是()A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBCB．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BEC．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBCD．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE6．[2024·自贡]等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是()A．30° B．40° C．50° D．60°7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5 B．1.5 C．2 D．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，EF垂直平分AC，交BC于点E，交AC于点F，连接AE，若BD＝DE，△ABC的周长为16，AF＝3，则DC的长为()A．4 B．5 C．6 D．79．[2024·河北模拟]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为H，若BC＝6，AB＝8，则IH的长为()A．2 B．3 C．4 D．510．题目：“如图，已知∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，OM＝x，MN＝2，P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：x＝0.乙答：0<x<2.丙答：2<x<4.则正确的是()A．只有甲答得对B．甲、丙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整二、填空题(每题3分，共24分)11．[2024·黑龙江]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件__________，使△AOB≌△COD.12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝________．13．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．14．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创建性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC＋\f(AB2－AC2,BC))).当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝________．15．(母题：教材P32习题T1)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D.若∠B＝30°，CD＝1，则△DAB的面积为________．16．[2024·北京石景山二模]如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D.下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC︰S△ABC＝1︰3.其中正确的有________．(填序号)18．[2024·齐齐哈尔三模]如图，已知等边三角形AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边三角形A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边三角形A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边三角形A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则点D2024的坐标为________.三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．[2024·福建]如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD.20．下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加帮助线的方法，选择其中一种完成证明．等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，求证：△ABC是等腰三角形.方法一证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D.方法二证明：如图，作BC边上的高线交BC于点D.21．[2024·武汉]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.(1)求证：∠E＝∠ECD；(2)若∠E＝60°，CE平分∠BCD，干脆写出△BCE的形态．22．数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN<45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A.下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C.则点C即为所求．依据小路设计的尺规作图过程完成下列各题．(1)运用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)依据以上作图方法，证明：∠ACB＝2∠A.23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作始终线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO.(1)说明EF与CF的数量关系；(2)求点O到BC的距离．24．[2024·宁波镇海蛟川书院期末]【基础巩固】(1)如图a，作△ABC中∠ABC的平分线BD与△ABC的外角平分线CD交于点D，证明∠D＝eq\f(1,2)∠A.【尝试应用】(2)如图b，在等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且满足AD＝CE，连接CD，BE，交于点M.作∠ADC，∠ABE的平分线，交于点N.①证明△ACD≌△CBE；②求∠DNB的度数．【拓展提高】(3)在(2)的条件下，连接MN，如图c，当∠DCB＝40°时，求∠MND的度数．

答案一、1．D2．A【点拨】过E点作BC的垂线，交BC于点P，由题意知CE为∠ACB的平分线，∴AE＝EP＝2，∴S△BEC＝eq\f(1,2)×2×7＝7.3．C4．A5．A【点拨】A．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CD＝BE，BC＝CB，∴△BCD与△CBE满足“SSA”的关系，无法证明全等，因此无法得出∠DCB＝∠EBC，故A是假命题．B．∵∠DCB＝∠EBC，∴∠ACD＝∠ABE.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠ABE，,AB＝AC，,∠A＝∠A，))∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴CD＝BE，故B是真命题；C．∵AB＝AC，BD＝CE，∴AD＝AE.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ACD＝∠ABE.∵∠ABC＝∠ACB，∴∠DCB＝∠EBC，故C是真命题．D．在△DBC和△ECB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ACB，,BC＝CB，,∠DCB＝∠EBC，))∴△DBC≌△ECB(ASA)，∴BD＝CE，故D是真命题．故选A.6．B【点拨】设顶角为x,底角为y，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2y＋20°，,x＋2y＝180°，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝100°，,y＝40°.))7．D8．B【点拨】∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AE＝AB.∵EF垂直平分AC，AF＝3，∴AE＝CE，AC＝2AF＝6.∴AE＝AB＝CE.∵△ABC的周长为16，∴AC＋BC＋AB＝16，即6＋CE＋BE＋AB＝6＋2CE＋2DE＝16，∴CE＋DE＝5.∴CD＝CE＋DE＝5.9．A【点拨】如图，连接IA，IB，IC，过I作IM⊥AB于M，IN⊥BC于N，∵点I为△ABC各内角平分线的交点，IM⊥AB，IN⊥BC，IH⊥AC，∴IH＝IM＝IN.∵∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×8×6＝24.∵S△ABC＝S△AIB＋S△BIC＋S△AIC，∴24＝eq\f(1,2)AB·IM＋eq\f(1,2)BC·IN＋eq\f(1,2)AC·IH，∴24＝eq\f(1,2)×8×IH＋eq\f(1,2)×6×IH＋eq\f(1,2)×10×IH，∴IH＝2.10．B【点拨】①如图a，当x＝0时，满足条件的点P有3个；②如图b，当x＝2时，满足条件的点P只有1个；③如图c，当x＝4时，满足条件的点P只有2个；④如图d，当2<x<4时，满足条件的点P有3个；⑤如图e，当0<x<2时，满足条件的点P有4个．⑥如图f，当x>4时，满足条件的点P只有1个．所以甲、丙答案合在一起才完整．故选B.二、11．OB＝OD(答案不唯一)12．313．有两个直角14．1【点拨】∵BD＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BC＋\f(AB2－AC2,BC)))，AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(72－52,6)))＝5.∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.15．eq\r(3)【点拨】如图所示，过点D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝∠CAD＝30°，DE＝CD＝1，∴∠DAB＝∠B，AD＝2DE＝2，∴AE＝BE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(3)，∴AB＝AE＋BE＝2eq\r(3)，∴S△DAB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\r(3).16．417．①②③④【点拨】①依据作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确．②∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°，∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，故②正确．③∵∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确．④∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD.∴S△DAC＝eq\f(1,2)AC·CD＝eq\f(1,4)AC·AD.∵AD＝BD，∴BC＝BD＋CD＝AD＋eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)AD，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AC·eq\f(3,2)AD＝eq\f(3,4)AC·AD，∴S△DAC︰S△ABC＝1︰3，故④正确．18．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22027－5,22026)，\f(\r(3),22026)))【点拨】∵等边三角形AOC的边长为1，OD⊥AC，∴OC＝1，CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，∴CC1＝CD＝eq\f(1,2)，∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2023C2024的长分别为1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,22024)，∴OC2024＝OC＋CC1＋C1C2＋C2C3＋…＋C2023C2024＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,22024)＝eq\f(22025－1,22024)，∴点C2024的横坐标为eq\f(22025－1,22024)，点A2024的横坐标为eq\f(22025－1,22024)－eq\f(1,22024)×eq\f(1,2)＝eq\f(22026－3,22025)，∴点D2024的横坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22026－3,22025)＋\f(22025－1,22024)))×eq\f(1,2)＝eq\f(22027－5,22026).易得点D2024的纵坐标为eq\f(\r(3),22026)，∴D2024的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22027－5,22026)，\f(\r(3),22026))).三、19．【证明】∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.在△AOB和△COD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，))∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD.20．【解】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠BAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．方法二：作BC边上的高线交BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BAD和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠C，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．21．(1)【证明】∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B.∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D.∴BE∥CD.∴∠E＝∠ECD.(2)【解】△BCE是等边三角形.【点拨】∵∠E＝60°，∠E＝∠ECD，∴∠ECD＝60°.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，∴∠B＝180°－∠BCE－∠E＝60°，∴∠BCE＝∠E＝∠B，∴△BCE是等边三角形．22．(1)【解】如图所示．(2)【证明】连接BD，如图．由作图知直线l是AB的垂直平分线，BD＝CB，∴BD＝AD，∠BDC＝∠BCD.∴∠A＝∠ABD.又∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠BDC＝2∠A.又∠BDC＝∠BCD，∴∠BCD＝2∠A，即∠ACB＝2∠A.23．【解】(1)EF＝2CF.理由如下：如图所示．∵BE＝EO，∴∠1＝∠2.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5.∴∠2＝∠3.∴EF∥BC.∴∠4＝∠6.∴∠5＝∠6.∴OF＝CF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠AEF＝∠ACB＝∠AFE.∴AE＝AF.∴BE＝CF.∴EF＝OE＋OF＝2CF.(2)如图，连接AO并延长交BC于点D.∵在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴