新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业34线面垂直的性质与空间距离新人教A版必修第二册

课时分层作业(三十四)线面垂直的性质与空间距离一、选择题1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直2．(多选)下列命题正确的是()A．a∥ba⊥α⇒b⊥α B．C．a⊥αa⊥b⇒b∥α D．3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不愿定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交4．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A．1B．2C．22D．235．(多选)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的随意一点，则下列关系正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC二、填空题6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，则点C到平面ABB1A1的距离为________．7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝25，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱锥P-ADQ的体积为23，求点B到平面PDQ的距离．10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，平面AB1D1到平面BC1D的距离为()A．22B．62C．611．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．多数条12．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3cm，2cm，则线段AB与平面α所成的角大小是________．13．已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：①a＝12；②a＝1；③a＝3；④a＝2；⑤a＝4．若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．15．如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝34.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．课时分层作业(三十四)线面垂直的性质与空间距离1．B[因为B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.]2．AB[由线面垂直的性质定理可得AB正确．]3．C[如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，∴BD与AC垂直但不相交，故选C.]4．B[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.∵AB＝2，∴AC＝22，∴CO＝125．ABD[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确．故选ABD.]6．5[如图，取AB的中点D，连接CD.因为CA＝CB，所以CD⊥AB.因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．所以点C到平面ABB1A1的距离为CD＝BC7．4[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]8．1[在三棱锥P-ABC中，因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以PEEC9．解：(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝25，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D，所以PD⊥平面ABCD.(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为23，所以13S△ADQ·PD＝23，所以S△ADQ＝33所以12AD·AQ·sin60°＝33，所以AQ所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝AD所以S△PDQ＝12由VP-ADQ＝VA-PDQ⇒23＝13×13×d所以点B到平面PDQ的距离为63910．C[由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得VC1-AB1D1＝VA-B1C1D1，即13×12×22×sin60°·h＝13×12×211．A[明显DD1是满意条件的一条，假如还有一条l满意条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不行能的，因此只有DD1一条满意条件．]12．30°[如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10cm，AC＝3cm，BD＝2cm，则AO＝6cm，BO＝4cm，∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.]13．①(或②)[如图所示．因为PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，所以QD⊥平面PAQ，因为AQ⊂平面PAQ，所以QD⊥AQ，所以Q在以AD为直径的圆上，若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则BC与以AD为直径的圆有公共点，所以AB≤12AD，即a故答案为：①或②.]14．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又BC＝1，可得OD＝34由于AC⊥AB1，所以OA＝12由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD2+OA2又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为217，故三棱柱ABC-A1B1C1的高为2115．解：(1)证明：由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB.又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.(2)假设在线段AB上存在