高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练15九章算术-数列教师版

专题15《九章算术》-数列一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的探讨，现将墙的厚度改为20尺，则两鼠打穿须要（

）（结果取整数）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】C【解析】【分析】结合每天大、小鼠穿墙厚度计算出正确答案.【详解】第天大、小鼠穿墙厚度：；第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；第天大、小鼠穿墙厚度：，前天总穿墙厚度：；第天大、小鼠穿墙厚度：，，所以两鼠打穿须要天.故选：C2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为，则的值为（

）A．4 B．12 C．15 D．18【答案】C【解析】【分析】先求出公差，再利用公式可求总重量.【详解】设头部一尺重量为，其后每尺重量依次为，由题设有，，故公差为.故中间一尺的重量为所以这5项的和为.故选：C.3．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（

）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】D【解析】【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而可求得结果【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，故解得则，故选：D.4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是(

)A． B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，依据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解.【详解】依据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，则，∴.故选：D.5．《九章算术》“竹九节”问题中指出，若有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，问第五节的容积是多少升？（

）A．0.8 B．0.9 C．1 D．1.1【答案】C【解析】【分析】由上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，求出等差数列的首项和公差即可求解.【详解】设自上而下各节的容积分别为，公差为，则，化简得，解得，故.故选：C.6．在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（

）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列方程组求基本量即可.【详解】若分得的钱从多到少分别为，所以，可得.故选：A7．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为里，良马从长安动身往齐国去，驽马从齐国动身往长安去，同一天相向而行．良马第一天行里，之后每天比前一天多行里，驽马第一天行里，之后每天比前一天少行里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设驽马、良马第天分别行、里，分析可知数列、均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，结合等差数列的求和公式可得出关于的不等式，即可得解.【详解】设驽马、良马第天分别行、里，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，由题意可得，整理可得，解得（舍）或，而，故的最小整数值为.故选：D.8．中国古代张苍、耿寿昌所撰写的《九章算术》总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则中间三人所得钱数比第1与第5人所得钱数之和多（

）A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱【答案】D【解析】【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为d的等差数列求解.【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为d的等差数列，则有，，故，解得．所以，故选：D.9．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所探讨的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（

）A．336 B．467 C．483 D．601【答案】B【解析】【分析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，干脆带入即可求得.【详解】依据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满意，，所以该数列的第31项为.故选：B10．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（

）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【答案】A【解析】【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，依据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，设数列、、、、的公差为，则，解得，故.故选：A.11．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，依据爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】【分析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B12．我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：二马相逢时驽马所走的路程为（

）A．855里 B．1062里 C．1188里 D．1395里【答案】A【解析】【分析】依据题意得到良马每日行的路程、驽马每日行的路程分别构成等差数列，依据等差数列的前项和计算即可.【详解】由题意知，良马每日行的路程构成等差数列，其中；驽马每日行的路程构成等差数列，其中；设第m天相逢，则所以，解得或（舍去）．所以（里）．故选：A13．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主子应分别偿还升､升､升粟，1斗为10升，则（

）A．，，依次成公比为2的等比数列 B．，，依次成公差为2的等差数列C． D．【答案】D【解析】【分析】结合题意依据等比数列的定义可以推断AB，由等比数列的前项和公式计算后可推断CD．【详解】由条件，知，，依次成公比为的等比数列，故AB都错误；又，，所以，所以，故C错误，D正确故选：D．14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变更匀整，即由下往上匀整变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（

）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】A【解析】【分析】设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，…，升，则数列，，…，为等差数列.由已知建立方程组，再依据等差数列的性质可求得答案.【详解】解：设自上而下依次设各节竹子的容积分别为升，升，…，升，则数列，，…，为等差数列.依题意有，又因为，，故.故选：A.15．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢须要的天数最小为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，则均为等比数列，设它们的前项和分别为，，利用求和公式结合题设条件可得，故可求两鼠相逢须要的天数的最小值.【详解】设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，它们的前项和分别为，，则是以1为首项，2为公比的等比数列，是以1为首项，为公比的等比数列，故，．令，即，故，令，则为递增数列，，故的解为，故的最小值为3.故选：B．16．在我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问相逢时驽马行（

）日？A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】【分析】结合等差数列，将良马和驽马日行里程表示为等差数列，结合等差数列前项和即可求解.【详解】由题，不妨设，则，，令，即，解得（舍去）或，故9日相逢.故选：B17．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所探讨的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依据题意，设该数列为，分析可得满意，，利用累加法计算可得．【详解】解：依据题意，设该数列为，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则满意，，则，故选：D．二、多选题18．我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安动身到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（

）A．长安与齐国两地相距1530里B．3天后，两马之间的距离为里C．良马从第6天起先返回迎接驽马D．8天后，两马之间的距离为里【答案】AB【解析】【分析】A,设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，求出良马和驽马各自走的路程即得A正确；B，计算得到3天后，两马之间的距离为里，即可推断B正确；C,计算得到良马前6天共行走了里里，故C不正确；D，计算得到8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.【详解】解：设良马第天行走的路程里数为，驽马第天行走的路程里数为，则.良马这9天共行走了里路程，驽马这9天共行走了里路程，故长安与齐国两地相距里，A正确.3天后，良马共行走了里路程，驽马共行走了里路程，故它们之间的距离为328.5里，B正确.良马前6天共行走了里里，故良马行走6天还末到达齐国，C不正确.良马前7天共行走了里里，则良马从第7天起先返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即两马第9天行走的距离之和，由，知8天后，两马之间的距离为390里，故D不正确.故选：AB三、填空题19．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．【答案】##1.5【解析】【分析】解法一：由题意得，，解出，，结合等差通项公式即可求出结果；解法二：由题意得，，通过项数的性质即可求出.【详解】解法一：设该若干段的质量从大到小构成等差数列，其公差为d，前n项和为，由题意每4段为1尺，可得，，∴解得，，∴中间两段的质量和为．解法二：设该若干段的质量从大到小构成等差数列，由题意每4段为1尺，可得，，两式相加得，则．故答案为：.20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得______钱．【答案】【解析】【分析】把给定问题转化为等差数列，列出首相和公差的方程组，解方程即可得出答案.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱数分别为，，，，，公差为d，由题意可得，，解得，，∴．故答案为：.21．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细匀整变更）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是_________．【答案】15斤.【解析】【分析】由题意可知等差数列的首项和第五项，由等差数列前n项和公式可得答案．【详解】由题意可知等差数列中，所以，故答案为：15斤22．古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子擅长织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”依据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______．【答案】【解析】【分析】由题可知这女子每天分别织布的尺数构成公比为2的等比数列，则，结合等比数列的前项和公式和通项公式即可求解.【详解】设这女子每天分别织布的尺数构成数列，依题意，数列是公比为2的等比数列，前5项之和，即，得，所以，故答案为：23．我国古代数学家典籍《九章算术》地第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第______天相遇．【答案】3【解析】【分析】利用已知条件，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：；其次天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：，两天总和：，第三天：大老鼠与小老鼠应当能打洞尺数：，所以两鼠在第3天相遇故答案为：324．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺．【答案】【解析】【分析】小老鼠和大老鼠每天打洞的距离为等比数列，分别求等比数列前6项和即可得结果.【详解】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前6天打洞之和为；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前6天打洞之和为．所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为．故答案为：.25．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现在有从高到低依次为大夫，不更，簪裹，上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次商低分（即依据爵次凹凸支配得到的猎物数依次成等差数列），向各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则不更所得的鹿数为_______只．【答案】【解析】【分析】由题意分析，利用等差数列基本量代换列方程组即可求解.【详解】记大夫，不更，簪裹，上造、公士得到的猎物数为等差数列，公差为d，由题意可得，即，解得，∴．故答案为：26．我国古代数学著作《九章算术》中记载有如下问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢须要的天数最小为______．【答案】3【解析】【分析】大鼠小鼠打洞距离数符合等比数列，结合等比数列前项和公式即可求解.【详解】设大鼠、小鼠每天所打洞的厚度分别构成数列，，它们的前n项和分别为，，则是以1为首项，2为公比的等比数列，是以1为首项，为公比的等比数列，故，．令，即，解得．故答案为：3.27．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为_________钱．【答案】【解析】【分析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，依据题意得到方程组，解得答案.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，则依据题意有，解得，所以戊所得为.故答案为：.28．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月起先，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________.【答案】60【解析】【分析】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程求解，再计算即可.【详解】设每个月的收入为等差数列，公差为，则，∴，，解得：，.故答案为：60四、双空题