2024八年级数学下册专题06矩形的性质与判定压轴题四种模型全攻略含解析新版浙教版

Page1Page1专题06矩形的性质与判定压轴题四种模型全攻略【类型一】矩形的性质与判定综合考例题：（广东·深圳市龙岗区百合外国语学校三模）如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．(1)求证：四边形AMCN是矩形；(2)若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．【答案】(1)见解析(2)MN＝2【解析】【分析】（1）先证四边形AMCN是平行四边形，再证MN=AC，即可得出结论；（2）证△ABC是等腰直角三角形，得AC=AB=2，即可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满意BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∴MN＝2OM，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴平行四边形AMCN是矩形；(2)解：由（1）得：MN＝AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝135°，∴∠ABC＝45°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝2，∴MN＝2【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练1】（江西萍乡·九年级期末）如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．(1)求证：四边形AEFD为矩形；(2)若，，，求DF的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）依据线段的和差关系可得BC＝EF，依据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，依据AE⊥BC即可得结论；（2）依据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．(1)∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD为平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD为矩形．(2)∵四边形AEFD为矩形，∴AF＝DE＝4，DF=AE，∵，，，∴AB2+AF2＝BF2，∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，∴，∴AE=，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，娴熟驾驭相关性质及判定定理是解题关键．【变式训练2】（贵州六盘水·九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N是AD边上的点，BM，CN交于点O，AN＝DM，BM＝CN．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC＝90°，MN＝1．AM•MD＝12，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）28【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得出，再证明得出，证出，即可得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，得出，求出，，得出，，即可得出结果．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，，，，，平行四边形是矩形．（2）解：，，，，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，解得：，或（舍去），，，，矩形的面积．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等学问；解题的关键是娴熟驾驭矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练3】（四川成都·九年级期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后依据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC的度数，依据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．【详解】解：（1），∴四边形ABCD是平行四边形，∴，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵，，∴，∵DF⊥AC，∴，∵OC＝OD，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能敏捷运用定理进行推理是解题的关键.留意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【类型二】矩形中的折叠问题例题：（湖北省崇阳县第一中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4．(1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；(2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；(3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，干脆写出BE的长．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）先确定出∠BAE＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接GE，依据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，依据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）先推断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最终用勾股定理即可得出结论．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠DAG＝30°，∴∠BAG＝60°由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°，在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3，∴BE＝(2)解：如图4，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C＝90°，∴∠EFG＝90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝．(3)解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵CF≥AC-AF，∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF＝AB＝3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4，∴AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝2，在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2，∴BE2+22＝（4﹣BE）2，∴BE＝．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠BAE＝30°，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题．【变式训练1】（江苏无锡·八年级期末）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E、F分别在边AD和边BC上，连接EF，将纸片沿EF折叠．(1)如图（1），若点B落在边AD的延长线上的点G处，求证：GE＝GF；(2)如图（2），若点B落在边CD的中点M处，求BF的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出∠GEF＝∠EFG，则可得出结论；（2）设BF＝x，由勾股定理得出（12−x）2＋42＝x2，求出x可得出答案．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠GEF＝∠BFE，∵将纸片沿EF折叠．∴∠BFE＝∠EFG，∴∠GEF＝∠EFG，∴GE＝GF；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝8，∵M是CD的中点，∴CM＝4，由折叠的性质可知，BF＝FM，设BF＝x，∵CF2＋CM2＝FM2，∴（12−x）2＋42＝x2，解得x＝，∴BF＝．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等学问，解题的关键是娴熟驾驭折叠的性质．【变式训练2】（湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求证：；(3)若点，，求DF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠C=90°，再依据三个角是直角的四边形是矩形即可判定；（2）依据折叠的性质和中点的定义得出EG=ED，再用HL定理证明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；（3）利用DF分别表示BF和FC，再在Rt△BCF中利用勾股定理求解即可．(1)证明：∵，∴∠D+∠C=180°，∵，∴，∴四边形ABCD为矩形；(2)证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE=∠A，AE=GE，∵∠A=∠D=90°，∴∠EGF=∠D=90°，∵点E是AD的中点，∴EA=ED，∴EG=ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；∴；(3)解：∵四边形ABCD为矩形，△ABE≌△GBE，∴∠C=90°，BG=CD=AB=6，∵；∴，，∴在Rt△BCF中，依据勾股定理，，即，解得．即．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，全等三角形的判定定理，折叠的性质，勾股定理等．（1）驾驭矩形的判定定理是解题关键；（2）能结合重点和折叠的性质得出EG=ED是解题关键；（3）中能利用DF正确表示Rt△BCF中，BF和CF的长度是解题关键．【变式训练3】（江苏·无锡市东林中学八年级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满意条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并干脆写出此时DE＝．②如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．（2）如图③，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B’处，求BQ的长．【答案】（1）①画图见解析，6；②；（2）4或16【解析】【分析】（1）①如图1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，作的角平分线交于点，则点即所求，依据勾股定理求得的长；②由折叠的性质可知设BP＝EP＝x，可求得△GEF≌△PCF（ASA），再勾股定理求解即可；（2）分两种状况进行探讨，点Q在线段AB上和点Q在BA延长线上，分别求解即可．【详解】解：（1）①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，再作∠EAB的角平分线交BC于点P，连接EP、AP，如下图：则由矩形的性质可知：∴②由折叠的性质，可设BP＝EP＝x，在和中∴△GEF≌△PCF（ASA）∴GF＝FP，GE＝CP＝8－x∴GC＝EP＝x∴∴在Rt△ADG中，解得x＝，即BP＝（2）①点Q在线段AB上，由翻折得，∵CD∥AB，∴∠DCQ＝∠CQB∴∠DCQ＝∠CQD∴CD＝QD＝10∵∴∴②点Q在BA延长线上由翻折得∵CD＝10，∴设∴在Rt△ADQ中，解得x＝16，即BQ＝16综上所述，BQ＝4或16【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠变换，勾股定理等学问，解题的关键是学会利用参数构建方程求解问题，学会用分类探讨的思想思索问题．【考点三】矩形中的动点问题例题：（江苏无锡·八年级期中）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A动身，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．（1）当x=1时，y=；当x=5.5时，y=；（2）如图2，求出当点P边BC时，用x的代数式表示y；（3）如备用图，当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时∠PAD的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1.5；；（2）当点P在BC边上时，y=（2＜x≤5）；（3）存在．∠PAD=45°．【解析】【分析】（1）利用三角形面积求法即可得出答案；（2）利用S△APE=S矩形ABCD-S△ABP-S△PCE-S△ADE得出y与x的函数关系式即可；（3）利用轴对称求最短路途的方法得出P点位置，进而利用等腰直角三角形的性质求出答案．【详解】解：（1）x=1时，点P在AB边上，如图，AP=1，AD=3，∴y=×1×3=1.5；x=5.5时，点P在CE上，如图，EP=6-5.5=0.5，AD=3，∴y=××3=；故答案为：1.5；；（2）当点P在BC边上时，如图，BP=x-2，CP=5-x，∴y=2×2-×2×（x-2）-×1×（5-x）-×1×3=-x+4(2＜x≤5)；（3）存在．作点E关于BC所在直线的对称点E′，连接AE′交BC于点P，此时△APE的周长最小；∵EC=CE'，且PC⊥EE'，∴PE=PE'，∴AP+PEAE'，∵AE为定值，∴此时△APE的周长最小；在Rt△ADE'中，∵AD=DE'=3，∠D=90°，∴△ADE'是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、三角形面积求法、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值等学问；本题综合性，推断出点P在那一条边上是解本题的关键．【变式训练1】（吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）如图，矩形中，，，动点以的速度从点动身沿折线向终点运动，动点以的速度从点起先沿折线向终点运动，假如点、同时动身，设点运动的时间秒，的面积为．（1）当___________秒时，点到达点，当______________时，点到达点．（2）当为何值时，为等腰直角三角形？（3）表示的面积（可用含有的代数式表示），请干脆写出结果．【答案】（1）3，9；（2）当t为s时，△QAP为等腰直角三角形；（3）①当0≤t≤3时2t2-12t+36；②当3≤t≤6时，18；③当6＜t≤9时，2t2-36t+162．【解析】【分析】（1）依据时间=路程÷速度即可算出点Q到达点A和点B的时间；（2）由题意得AP=2t，DQ=2t，则AQ=AD-DQ=6-2t，由等腰直角三角形的性质得出AQ=AP，得出方程，解方程即可；（3）①当0≤t≤3时，△CPQ的面积=矩形ABCD的面积-△APQ的面积-△BCP的面积-△CDQ的面积，即可得出答案；②当3≤t≤6时，由题意得AP=2t，AQ=2t-6，PQ=AP-AQ=6，得出△CPQ的面积=PQ×BC=×6×6=18；③当6＜t≤9时，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：（1）∵6÷2=3∴当t=3时，点Q到达点A；∵18÷2=9∴当t=9时，点Q到达点B；故答案为：3，9；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=12，由题意得：AP=2t，DQ=2t，∴AQ=AD-DQ=6-2t，∵△QAP为等腰直角三角形，∴AQ=AP，即2t=6-2t，解得：t=，即当t为s时，△QAP为等腰直角三角形；（3）分三种状况：①当0≤t≤3时，如图1所示：由题意得：AP=2t，DQ=2t，∴AQ=AD-DQ=6-2t，BP=12-2t，∴△CPQ的面积=矩形ABCD的面积-△APQ的面积-△BCP的面积-△CDQ的面积=12×6-×2t×（6-2t）-×（12-2t）×6-×12×2t=2t2-12t+36；②当3≤t≤6时，如图2所示：由题意得：AP=2t，AQ=2t-6，∴PQ=AP-AQ=6，∴△CPQ的面积=PQ×BC=×6×6=18；③当6＜t≤9时，如图3所示：由题意得：BP=2t-12，AQ=2t-6，∴CP=6-BP=18-2t，BQ=12-AQ=18-2t，∴△CPQ的面积=CP×BQ=×（18-2t）2=2t2-36t+162．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式等学问；娴熟驾驭矩形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，留意分类探讨．【变式训练2】（江苏·苏州市吴江区试验初级中学八年级阶段练习）如图，中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．（1）推断与的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；【答案】（1）OE=OF，见解析；（2）点O运动到AC的中点时，四边形是矩形，见解析．【解析】【分析】（1）依据角平分线的定义及平行线的性质可得OC=OE，OC=OF，从而可得OE=OF；（2）由（1）知，OE=OF，当O点是AC的中点时，可得四边形AECF是平行四边形，再由角平分线的定义，易得∠ECF=90°，从而可得四边形AECF是矩形．【详解】（1）OE=OF理由如下：∵CE平分∴∠ACE=∠BCE∵MN∥BC∴∠OEC=∠BCE∴∠OEC=∠ACE∴OC=OE同理，可得：OC=OF∴OE=OF（2）点O运动到AC的中点时，四边形是矩形理由如下：∵O点是AC的中点∴OA=OC∵由（1）有：OE=OF∴四边形AECF是平行四边形∵∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠GCF，∠ACE+∠BCE+∠ACF+∠GCF=180°∴2∠ACE+2∠ACF=180°∴∠ACE+∠ACF=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，等腰三角形的判定等学问，娴熟运用这些学问是本题的关键．【变式训练3】（江苏·八年级专题练习）如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A动身，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C动身，沿C→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；(2)当0≤t≤4时，干脆写出AMN为直角三角形时的运动时间t的值；(3)如（图二），当4＜t＜8时，推断AMN的形态，并说明理由．【答案】(1)(2)或4(3)△AMN是锐角三角形【解析】【分析】（1）过点N作NR⊥AD于R．求出MR，NR，利用勾股定理求解．（2）当0≤t≤4时，假如AM=BN，则△AMN是直角三角形，当t=4时，点M与D重合，点N位于BC的中点，此时△AMN是等腰直角三角形；（3）由（2）可知当t=4时，△AMN是等腰直角三角形，由此推断出△AMN是锐角三角形．(1)解：过点N作NR⊥AD于R．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=∠DRN=90°，∴四边形CDRN是矩形，∴RN=CD=4，CN=DR=1，∵AM=2，AD=8，∴RM=AD-AM-DR=8-2-1=5，∵∠MRN=90°，∴MN=．(2)解：当0≤t≤4时，假如AM=BN，则△AMN是直角三角形，∴2t=8-t，∴t=，当t=4时，点M与D重合，点N位于BC的中点，此时△AMN是等腰直角三角形，综上所述，当△AMN是直角三角形时，t的值为或4．(3)解：∵当t=4时，△AMN是等腰直角三角形，∵点M的运动速度大于点N的运动速度，且M，N同时到达终点，即点M在点N的右侧，∴当4＜t＜8时，△AMN是锐角三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理等学问，解题的关键是理解题意，敏捷运用所学学问解决问题．【考点四】矩形中的作图问题例题：（江苏镇江·九年级期末）如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；（2）依据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在中，由勾股定理，即可求解．(1)解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴∠AEF=∠D=90°，∴∠DAE+∠DFE=180°，∵∠EFC+∠DFE=180°，∴∠EFC=∠DAE，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，∴∠EFC＝∠BEA；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，∵AE＝AD＝5，∴BE＝＝＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，由（1）得：△AEF≌△ADF，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等学问，娴熟驾驭矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．【变式训练1】（江西·崇仁县其次中学九年级期中）已知：矩形，点是的中点，点在上，请用无刻度尺画图：（1）在图甲中，在边上找一点，使；（2）在图乙中：在边上找一点，使．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于点，利用矩形的性质可得，即可求解；（2）连接交于点，连接并延长、交于点，连接交于点，连接交于点，即可求解．【详解】解：（1）连接交于点，连接并延长交于点由矩形的性质可得，∴又∵∴∴（2）连接交于点，连接并延长、交于点，连接交于点连接交于点，如下图：由题意可得：，又∵点是的中点∴为的中位线，∴∴，又∵∴平分∴∴又∵，∴∴又∵，∴∴∴由（1）的方法，可得∴【点睛】此题考查了矩形的性质，涉及了全等三角形的判定与性质，解题的关键是驾驭并应用矩形的性质．【变式训练2】（江苏·常州市其次十四中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE的平分线：（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．【答案】（1）连接AC，则AC平分∠DAE；图形见祥解；（2）连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．证明见详解．【解析】【分析】(1)连接AC，再由矩形性质，平行线的性质及等腰三角形的性质可知AC是∠DAE的平分线；(2)连接AC，BD，交于点O，连接EO，由矩形性质，平行线的性质及等腰三角形的性质可知EO平分∠AEC的平分线．【详解】（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；∵矩形ABCD中，∴AD∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∵AE＝EC，∴∠EAC=∠ACE，∴∠EAC=∠DAC，∴AC平分∠DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EF平分∠AEC．∵四边形ABCD是矩形，∴点O为AC中点，∴EO为△AEC的中线，∵AE=CE，∴EF为平分∠AEC．【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，矩形边形的性质，作图-角的平分线等学问点，理解并记住它们是解题关键．【变式训练3】（江西·峡江县教学探讨室九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，不用圆规、量角器等工具，只用无刻度的直尺作图．（1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点；（2）如图2，连接AC，在AC上取两点P，Q，使P，Q是AC的三等分点．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）依据矩形的对角线相等且相互平分作出图形即可；（2）依据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．【详解】（1）如图1，连接AC、BD交于点O，延长EO交BC于F，则点F即为所求．证明如下：∵ABCD是矩形，∴BO=OD，AD∥BC，AD=BC，∴∠EDO=∠FBO．∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴ED=FB=AD=BC，∴F为BC的中点．（2）如图2，BD交AC于O，延长EO交BC于F．连接EB交AC于P，连接DF交AC于Q，则P、Q即为所求．证明如下：由（1）可得：F为BC的中点，∴ED=BF=AE=FC，ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥FD．∵FC=BF，∴CQ=PQ．∵AD∥BC，∴∠EAC=∠FCA，∠ADQ=∠CFQ．∵BE∥FD，∴∠AEP=∠ADQ，∴∠AEP=∠CFQ．在△AEP和△CFQ中，∵∠EAC=∠FCA，AE=CF，∠AEP=∠CFQ，∴△AEP≌△CFQ，∴AP=CQ，∴AP=PQ=CQ，∴P，Q是AC的三等分点．【点睛】本题考查了作图的应用，驾驭矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．课后训练一、选择题1．（江西吉安·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=2，E是AC的中点，∠AED=120°，则AD长为（

）A． B．4 C． D．5【答案】A【解析】【分析】过点E作，由矩形的性质结合题意可知点E为矩形ABCD对角线交点，即得出．由∠AED=120°，可求出．又可推断EF为中位线，即得出，点为AD中点．最终依据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出AD长．【详解】如图，过点E作，∵矩形ABCD中，E是AC的中点，∴点E为矩形ABCD对角线交点，∴．∵∠AED=120°，∴．∵，∴∴EF为中位线，∴，点为AD中点，∴，∴．故选A【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．正确的作出协助线是解题关键．2．（辽宁沈阳·九年级期末）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若，．则四边形ABOM的周长为（

）A．16 B．18 C．20 D．24【答案】C【解析】【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出AC的长，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得OB的长．再由三角形中位线的性质求得OM的长，继而求得四边形ABOM的周长．【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC，∴AC＝，∴OB＝OA＝OC＝AC＝6.5．∵M是AD的中点，∴OM＝CD＝2.5，AM＝AD＝6，∴四边形ABOM的周长为：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20．故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，留意驾驭数形结合思想的应用．3．（黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级阶段练习）如图矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形ABCD折叠使点D和点B重合，折痕为EF，则AE（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】【分析】由折叠的性质得，在中，利用勾股定理即可算出的长．【详解】解：四边形是矩形，，由折叠的性质得：，设，则，在中，由勾股定理得：，则，解得：，则．故选：D．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质以及勾股定理的应用，关键是娴熟驾驭勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．4．（四川德阳·七年级期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分，那么的度数是（

）A．180° B．20° C．36° D．45°【答案】C【解析】【分析】依据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠ADB＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后依据矩形的性质及角的运算可得答案．【详解】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠ADB＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故选；C【点睛】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确驾驭折叠的性质是解决此题的关键．二、填空题5．（山东潍坊·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是边AD的中点将△ABE沿直线BE翻折，点A落在矩形内部的点F处，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠DFE＝____________度．【答案】55【解析】【分析】在中，∠ABE＝35°，求得，然后利用折叠的性质证得，，最终证得，利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵E是边AD的中点，∴，在中，∠ABE＝35°，∴，∵将△ABE沿直线BE翻折，点A落在矩形内部的点F处，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题及等腰三角形的判定和性质，娴熟驾驭折叠的性质是解题的关键．6．（贵州省黔西南州中考数学试卷）如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是______．【答案】4【解析】【分析】要求AN的长，可放在中，利用勾股定理求解，所以还需算出AP，PN的长．PN可依据折叠的性质求解，而求解PA,需先求解PB，连接PM可证，同时利用折叠性质，可求得PB的长,最终可求出AN的长．【详解】解：连接PM，如图所示：，，，，由折叠性质得，，，，在和△中，，，，．设，则，在中，，即，解得，的长是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了折叠图形的性质、直角三角形全等的判定与性质以及勾股定理的综合运用，协助线的作法是解决本题的关键．7．（河南·商丘市第十六中学七年级期末）如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q同时分别从点B和点D动身，按逆时针方向分别沿矩形ABCD的边BC、DA运动，点P和点Q的速度分别为4cm/s和1cm/s，则最快___秒后，四边形ABPQ成为长方形．【答案】4【解析】【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，依据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为长方形，∵四边形ABPQ是长方形，∴AQ=BP，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质和解一元一次方程，娴熟驾驭矩形的性质和判定方法是解题的关键．8．（山东菏泽·九年级期末）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点动身，沿向点运动设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则的长为______．【答案】4【解析】【分析】当点在上运动时，面积渐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积渐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．【详解】解：由图象与题意知可知，当点在上运动时，面积渐渐增大，当点到达点时，面积最大为3，∴，即．当点在上运动时，面积渐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，∴．则，代入，得，解得或，∵，即，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的改变过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的详细数值．三、解答题9．（江西新余·一模）如图，已知多边形ABCDEF中，AB＝AF，DC＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠BCD．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中，画出一个以BC为边的矩形；(2)在图②中，若多边形ABCDEF是正六边形，试在AF上画出点M，使得AM＝AF．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）在图①中，画出一个以为边的矩形即可；（2）在图②中，多边形是正六边形，在上画出点，使得即可．【详解】解：（1）图①中，依据已知条件可知多边形ABCDEF是以对角线AD所在直线为对称轴的轴对称图形，利用轴对称的性质可知，连接BF、CE得到的四边形即为以为边的矩形；（2）在图②中，依据正六边形的性质可知点即为所求，使得．故答案是：（1）见解析；（2）见解析【点睛】解决与正多边形有关的创新作图问题时，肯定要熟记正多边形的基本性质和判定：可从边、角、对角线三个方面理解和区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定；在中考中也常利用正多边形的对称性进行作图：①正奇边形(比如正七边形)中的平行线段、相等线段．②正偶边形(比如正六边形)中的平行线段、相等线段．10．（江西赣州·八年级期末）在图1，图2中，点E是矩形ABCD边AD上的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）（1）在图1中，以BC为一边画△PBC，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．（2）在图2中，以BE、ED为邻边画▱BEDK．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）连接CE并延长，交BA的延长线于P，依据△APE≌△DCE，可得△PBC面积=矩形ABCD面积；（2）连接矩形ABCD的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于K，依据△BOK≌△DOE，可得EO=KO，连接DK，即可得到平行四边形BEDK.【详解】解：（1）图1中△PBC为所画；（2）图2中▱BEDK为所画．【点睛】本题主要考查了困难作图，平行四边形的判定，矩形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟识基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把困难作图拆解成基本作图，逐步操作.解题时留意：对角线相互平分的四边形是平行四边形．11．（全国·八年级）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）推断四边形ABFC的形态并证明；（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．【答案】（1）矩形，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，依据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．【详解】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．（2）∵四边形ABFC是矩形，∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，∴AE＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝3，∴EF＝3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，驾驭以上性质定理是解题的关键．12.（广西·灵山县那隆第一中学八年级期中）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．【答案】(1)见解析(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形．【解析】【分析】（1）依据三角形中位线定理得到，EH∥BD，，FG∥BD，进而得到EH=FG，EH∥FG，依据平行四边形的判定定理证明结论；（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，添加条件AC⊥BD，依据矩形的判定定理证明结论．(1)证明：如图，连接BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴，EH∥BD，，FG∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；(2)解：添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，理由如下：如图，连接AC、BD，由（1）知四边形EFGH为平行四边形，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形和平行四边形的判定定理，驾驭三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．13.（辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，//，，．(1)如图1，求证：四边形ABCD为矩形；(2)如图2，P是AD边上随意一点，，，E、F分别是垂足，若，AB＝12，求的值．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等得到四边形ABCD为矩形；（2）由PE、PF分别是和的高，利用即可求解．(1)∵∴∵∴∴∴四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD又∵∴∴四边形ADCD是矩形(2)连接OP由（1）得四边形ADCD是矩形，AB＝12∵∴∴【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，娴熟驾驭学问点是解题的关键．14．（江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A动身沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C动身沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．【答案】(1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t(2)见解析(3)3，理由见解析【解析】【分析】（1）依据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，依据直角三角形的性质表示出DF；（2）依据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）依据矩形的定义列出方程，解方程即可．(1)解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，∵DF⊥BC，∠C＝30°，∴DF＝CD＝t；(2)解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，∴，∵AE＝t，DF＝t，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；(3)解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴AB＝AC＝6cm，∵，∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，解得，t＝3，∵∠ABC＝90°，∴四边形EBFD是矩形，∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．【点睛】此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，娴熟驾驭四边形的学问并综合应用是解题的关键．15．（吉林·长春市第四十五中学八年级期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B动身，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形态，并干脆写出它的面积．【答案】（1）y=-2.5x+54，x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形；15．【解析】【分析】（1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2，从而可推断出MN扫过区域的形态，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=9，AD=BC=12．∵DG=5，∴GC=4．∵PB=x，PC=12-x，∴y=9×12-×9×x-×4×(12-x)-×5×12，整理得：y=-2.5x+54．当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8；（2）存在．∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，∴PA2=AB2+BP2=81+x2，PG2=PC2+GC2=(12-x)2+16，AG2=AD2+DG2=169．∵当AG2=AP2+PG2时，AP⊥PG，∴81+x2+(12-x)2+16=169，整理得：x2-12x+36=0，配方得：(x-6)2=0，解得：x=6；（3）如图所示：∵当点P与点B重合时，点M位于M1处，点N位于点N1处，∴M1为AB的中点，点N1位GB的中点．∵当点P与点C重合时，点M位于M2处，点N位于点N2处，∴M2为AC的中点，点N2位CG的中点．∴M1M2∥BC，M1M2=BC，N1N2∥BC，N1N2=BC．∴M1M2∥N1N2，N1N2=M1M2．∴四边形M1M2N2N1为平行四边形．∴MN扫过的区域为平行四边形．S=BC•(AB-CG)=6×2.5=15，故答案为：平行四边形；15．【点睛】本题主要考查了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理