《理论力学教案》

理论力学教案《理论力学》课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。（五）教学参考书：1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。绪论一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。二：《理论力学》与《力学》的区别和联系1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。第一章牛顿动力学方程教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。§1.1牛顿的《原理》奠定了经典力学的理论基础一：经典力学的理论基础——牛顿于1687年发表的《自然哲学的数学原理》，简称《原理》，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。在物理学中将以《原理》为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。二：经典力学的物质观、时空观及运动观。1.物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。2.物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。3.牛顿力学的物质观、时空观及运动观。（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。在绝对空间中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。另外还包括万有引力定律。此外在《原理》一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。三：牛顿运动三定律1：运动三定律：第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为（1.1）如果将物体质量m看成常量，上式可改写为或（1.2）2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。3：伽利略变换。设参考系S和S’均为惯性系且S’相对于S以匀速u运动，那么这两个参考系之间的时空坐标的变换关系为：（1.3）将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。统一性：指《原理》中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。真理性：就是承认的相对性和绝对性。六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。§1.2牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。一：牛顿第二定律：（2.1）在经典力学中物体的m为常数，牛顿定律变为：。一般情况下F为坐标、速度和时间的函数，即（2.2），所以牛顿第二定律可进一步表示为：（2.3）此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：1.直角坐标系：空间任一点P位置可用x、y、z三个参数来表示，用i、j、k分别表示沿x轴、y轴、z轴的单位矢量，则空间任一点P的位置矢量可表示为：（2.4）进一步可得及（2.5）牛顿第二定律的可表示为：（2.6）2.平面极坐标系：平面上任一点P的位置可用参数r、θ来表示。er和eθ分别表示矢径r增加方向和极角θ增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P点的运动而改变，则位矢（2.9）。由图1.1可将er和eθ化为i、j的函数：，，进一步得（2.7），（2.8）接着可求出（2.10），（2.11），牛顿第二定律的可表示为：（2.12）3.球坐标：空间任一点P的位置可用参数r、θ、φ来表示，er、eθ、eφ分别表示r、θ、φ三个参数增加方向的单位矢量(如图1.2），它们的方向随着P点的运动而改变。将er、eθ和eφ化为i、j、k的函数，如，，进一步可求出，结合可得牛顿第二定律的可表示为：（2.21）4.柱坐标：空间任一点P的位置可用参数R、φ、z来表示，eR、eφ、k分别表示相应的单位矢量(如图1.3）。eR、eφ的方向随着P点的运动而改变，而k的大小方向均不变，参考平面极坐标可得：（2.23）（2.24）牛顿第二定律的表达式为：（2.25）5.自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。（1）平面自然坐标：用et、en分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图1.4），即et与任一时刻速度V同向，显然et、en二者为变矢量，有（2.26）另由及可得（2.27）进一步可得牛顿第二定律的表达式为：（2.28）（2）空间自然坐标：①基本概念：密切面：PP1与PP2所构成的极限平面。et：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，其方向沿质点运动方向。en：在密切面内与et垂直的单位矢量，其方向指向曲线的凹侧。主法线：与en同向的法线。eb：由et×en决定的单位矢量。次法线：与eb同向的法线。法平面：由en、eb构成的平面。直切平面：由et、en构成的平面。②用et、en、eb分别表示质点运动轨道的切线、主法线和次法线方向的单位矢量，et与任一时刻速度V同向，显然et、en、eb三者均为变矢量。类似于平面自然坐标，利用得牛顿第二定律的表达式为：（2.29）（3）适用范围：适用于运动轨道已知的质点运动，或用于介质阻力不能忽略的运动。三：本节重点：掌握直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、平面曲线自然坐标系中牛顿第二定律的分量表达式。§1.3质点系牛顿运动定律是针对质点提出的，对于不能看成质点的力学体系，则必须重新分析讨论。一：质点系：（1）定义：由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系，质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点的运动均有影响。（2）实例：A：太阳——九大行星B：m、m’通过轻绳联系在一起，如图1.5。前者是九个单质点的力学问题，后者是两质点构成的质点系。（3）结论：A：不能以质点个数的多少来推断是否为质点系，而应该看质点之间的作用力是否对发生作用的质点的运动均有影响。B：内力和外力的区分。二：质点系的运动方程1.一般方法：设有n个质点构成一质点系，由牛顿第二定律可得：2...n2...n（3.1），共3n个标量方程。若质点系受内部或外界的约束共k个，则Fi中会含由k个未知的约束力Fni，则可得k个约束方程：，j2...k2...k（3.2）联立以上共3n+k个方程可求出3n+k个未知数。2.一般方法的困难性和解决方法：以上方法需求解的方程个数太多，可借助于动量、角动量、能量定理简化求解过程。三：本节重点：正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法。§1.4动量定理一：动量及动量定理1.质点：定义动量为P=mv，由牛顿第二定律可得动量定理为，若F=0，则质点的动量P=C，即动量守恒。注：虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理，但后者的适用范围超过前者，所以有些场合将牛顿第二定律看成动量定理的推论。2.质点系：（1）动量：定义质点系的动量为（2）动量定理：对每一个质点应用动量定理可得：，i=1，2…n.（4.3）其中表示质点所受的合外力，表示质点所受的内力的合力，且，将（4.3）式共n个方程相加在一起，可得：（4.4）考虑到，所以上式中，这样（4.4）可简化为（4.6）上式即为质点系的动量定理，它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力，与内力无关。二：质点系的动量守恒：在动量定理（4.6）式中如果，则可得，即质点系的总动量守恒。当得，即动量在某一方向上（如x方向）的分量守恒，如发射炮弹的问题。当时，则可得，如碰撞问题。三：质心运动定理：1.质心：定义质心的位矢rc为（4.9）则有（4.10）即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量。2.质心运动定理：将代入动量定理可得（4.11）上式即为质心运动定理，它说明质心的运动就象一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的总质量，作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力。四：本节重点：掌握质点系的动量定理、动量守恒定律和质心运动定理。§1.5角动量定理一：.质点的角动量和角动量定理1.角动量定义质点的角动量（动量矩）L为位矢r与动量的矢量积，即（5.1）2.角动量定理：，即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩。推导：由角动量的定义式L=r×p，两边对时间求导可得：，因，又定义力矩，最终可得角动量定理（5.2）3.角动量守恒：如果质点所受的力矩M=0，则可得L=C，即如果质点所受的力矩为零，则其角动量守恒。注：M、L必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言。4.应用：当质点受有心力的作用时，易得，，则有二：.质点系的角动量和角动量定理1.角动量：定义质点系的角动量L为各质点角动量Li的矢量和，即。2.角动量定理：，即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的外力矩之和，与内力矩无关。推导：由动量的定义式，两边对时间求导可得：，考虑到上式中，最终可得角动量定理（5.5）3.角动量守恒：同质点的角动量守恒一致，当时，有，即角动量守恒。以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言，但在处理实际的力学问题时，往往选取相对于某一点P的L、M比选取相对于坐标原点的更方便，下面我们就专门讨论这种情况。4.相对于惯性系中任一点P的角动量定理定义，，参考图1.6利用，同理可得，将代入角动量定理可得：或（5.6）讨论：A：当Vp=0时，P为惯性系中的定点，角动量的形式不变，。B：Vp≠0，但Vp与Vc同向，角动量的形式不变，。C：，角动量的形式不变，。三：质心系中的角动量定理1.质心系：以质心为坐标原点且相对于惯性系做平动的参考系为质心系，其坐标轴始终平行与惯性系中相应坐标系的坐标轴，多为理论工作者使用。2.实验室系：以惯性系为运动参考的参考系，以前我们所讨论的问题均是在实验室系中讨论的，多为实验工作者使用。3.质心系中的角动量定理：首先定义分别代表质心系中的位置矢量，速度，角动量，力矩,且有（严格来说应为，详见第五章），，。注：与是不同的两概念，，与是不同的速度，前者是质点在惯性系中的速度，而后者是质点在质心系中的速度。但是可以证明L’、LC二者相等。证明：因，所以有（5.10）（5.11），所以，接着将中的、用，替换掉，最终可得。四本节重点：重点掌握惯性系中的角动量定理。§1.6能量定理一：质点的动能定理1.质点的动能：或（6.1）2.质点的动能定理：（6.2），即作用在质点上的力所做的元功等于质点动能的增量。证明：由等式两边求微分可得一段过程：二：质点系的动能定理1.质点系的动能：质点系的动能为所有质点的动能之和，即，（6.3）2.质点系的动能定理：将动能表达式两边取微分（6.4）即质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和，注：动能的增量与体系的内力有关，这一点与质点系的动量、角动量定理有明显的区别。以上我们只证明了动能定理对惯性系成立，对于质心系是否成立需证明。3.寇尼希定理质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能，再加上各质点相对于质心系运动的动能，即（6.5），其中（6.6）证明：由及可得，其中用到。4.质心系中的动能定理：质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和内力在质心系中所做的元功之和，即（6.7）由两边取微分可得①另由②联立①②且由质心运动定理，可得三：保守力和势能在动能定理中有，因，因此W一般很难直接求出，但可以证明当为某一类特殊的力时，W可方便的求出。1.保守力：当为某一位置函数的梯度即时，该被称为保守力，此时做功与质点运动的路径无关。证明：由，将上式代入可得，即，两边积分可得（6.11）说明：①可见保守力做功只与始末位置、有关，与运动的具体路径无关。②可证明保守力满足。③常见的保守力：重力、弹力、万有引力、库仑力等。2.势能：当某位置函数满足（6.9），该函数被称为势能。它由发生相互作用的物体共有，且势能为相对量，当给出它的具体数值时必须指出势能的参考零点。由，可得，3.机械能守恒：定义动能T与势能V之和为机械能E，当体系仅受保守力作用时，可证明此时机械能守恒。证明：由（6.13），即机械能守恒。4.质点系势能：因势能为标量，所以质点系的势能为所有质点的势能之和，即，当质点系所受内、外力均为保守力时，（6.14）5.例：计算受中心力的两质点的势能（从略）四：本节重点：重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力、势能的概念。§1.7变质量运动方程一：变质量力学问题分类1.质量随t增加而增加：，例：雨滴2.质量随t增加而减小：，例：火箭以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解。二：变质量运动方程1.运动方程：2.推导：t时刻：m， ， t+Δt：m-Δm、；Δm、；,由牛顿第二定律，最终可得（7.1）即变质量运动方程。注：均是相对于惯性系的速度，即绝对速度。3.密斯尔斯基方程：（7.3）在上述方程的基础上，令为废气相对于火箭的速度，它与反向。设为火箭前进方向上的单位矢量，即与同向，则有：，将上式代入变质量运动方程可得：或，其中，为推进力。结论：要提高火箭的，需设法提高，即提高和。三：实例：设，火箭做直线运动且=C，则有，设，则有，令t=0时，，可得：。如令，为空火箭的质量，为燃料的质量，则有。结论：（1）与成正比（2）与成正变关系，且增大比增大的效果好。四：本节重点：了解变质量运动方程，掌握、对提高火箭的影响。§1.8综合例题（从略）掌握例1、例2、例4，了解例3。本章习题：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。第二章拉格朗日方程教学目的和基本要求：正确理解各种约束的物理意义，掌握判断力学体系自由度的方法和选择广义坐标的基本原则；能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题；掌握运用广义坐标、广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法；能熟练地用理想、完整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程。教学重点：在理解各种约束、自由度的物理意义的基础上，熟练掌握应用拉格朗日方程求解力学问题的方法。教学难点：约束、自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用。§2.1理想约束、达朗贝尔方程一：牛顿动力学方程的一般解法1.一般解法：设有n个质点，受到k个约束的质点系，则有3n个未知的坐标（）和k个未知约束力，为求解这3n个未知的坐标，解方程的一般步骤如下：牛顿第二定律3n个运动微分方程+k个约束方程3n个微分方程（3n-k）个微分方程解出个未知的（3n-k）独立坐标解出全部3n个未知坐标和k个未知约束力。2.实例：以图1.7的力学问题为例（从略）3.局限性：当n、k的个数较大时，求解方程将十分困难甚至无法完成。因此当n较大时如果我们能直接写出（3n+k）个不含未知约束力和非独立坐标的方程，求解方程的过程将大大简化，。这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意义还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域。二：虚位移、约束和虚功1.实位移和虚位移实位移：质点按力学规律运动时，在时间内实际所发生的位移，用表示。以前我们所讨论的位移均为实位移。虚位移：想象在某一时刻t，质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移，用表示。它不是质点实际运动所产生的位移，因而不需要时间，只要满足约束条件即可。δ的运算法则：δ被称为变分符号，它作用在坐标和函数上时与微分符号d完全相同，如：，。但作用于时间时为零即，这一点与d不同。2.约束：力学体系在运动时所满足的某些规律，约束在物理上均可用约束方程的形式确切地表达出来。例：z=0，限制质点在xy平面上运动；z=0且x2+y2=0，限制质点在xy平面上做圆周运动。3.实位移和虚位移地关系体系受稳定约束（约束条件不随时间而变化，约束方程中不含时间t）时，实位移是众多虚位移中的一个。体系受不稳定约束（约束方程中含时间t）时，实位移与虚位移无直接关系。三：虚功：（想象的）力在质点的虚位移上所做的功为虚功，（1.1）四：理想约束：1.定义：所有约束力（内，外约束力）在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零，则这种约束为理想约束。可用下式表达该约束的特点：（1.2）表示第i个质点所受的内、外约束力之和。2.常见的理想约束：（1）质点沿光滑曲面（曲线）运动时所受的约束。因沿曲面法线方向而沿曲面切线方向即有，所以。（2）质量可忽略的刚性杆所连接的两质点。如图2.3所示，为作用在P1、P2上的约束力，其方向在P1P2的连线方向上，由牛顿第三定律可得，因此，。对于刚性杆因为常数，所以，最终可得（3）两个刚体以光滑表面相接触。用表示两个刚体相互之间的作用力和反作用力，则。由于两个刚体之间有相对滑动，因此但可以证明在接触点的公切面内，而垂直于公切面，因此。（4）两刚体以完全粗糙的表面相接触。因刚体在这种约束下只能做纯滚动，即，约束条件为，因此有（5）两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接。可用类似于（2）的方法证明。实际的力学体系可看成由刚体和质点构成，只要相互之间的联结是刚性的，接触面是光滑或绝对粗糙的，那么该体系所受的约束都可看成理想约束。如果存在摩擦力Ff，可将其看成主动力，则力学体系所受的约束仍为理想约束。五：达朗贝尔方程：（1.4）证明：设体系由n个质点构成，为主动力，为约束力。由牛顿第二定律：i=1，2，…，n将n个方程分别乘以后相加、移项可得。最后一步用到了理想约束的特点，在该方程中约束力不再出现。六：例：用达朗贝尔方程写出图1.7所示力学体系的运动方程（从略）七：本节重点：重点掌握虚位移、虚功、理想约束等物理概念，掌握用达朗贝尔方程求解简单力学体系的运动方程的方法。§2.2完整约束广义坐标达朗贝尔方程中虽然不含，但仍有非独立坐标，对于一种完整约束，可在达朗贝尔方程的基础上直接写出不含、非独立坐标的动力学方程。一：完整约束1.定义：约束条件只和体系中各质点的坐标有关，即约束方程中只含和t，不含，约束方程为（2.1）例：绕O点转动的细管中的质点，双单摆2.性质：理论上可证明，凡是完整约束都可以通过约束方程用代数的方法将非独立坐标消去，每一个约束方程可以消去一个独立坐标。如果n个质点构成的力学体系受到k个完整约束，约束方程为j=1，2…，k，（2.2）独立坐标的个数为s=3n-k（2.3）3.自由度：力学体系中独立坐标的个数s被称为体系的自由度。二：非完整约束1.定义：如果体系所受的约束不能由约束方程直接消去非独立坐标，该约束为非完整约束。2.分类：非完整约束包括运动约束（微分约束）和可解约束两类。（1）运动约束：约束方程中除了含有和t外还含有关于时间t的一次或高次导数、等，约束方程为。在动力学方程未解出之前，无法通过约束方程将非独立坐标消去。如图2.7轮子在xy平面上做曲线纯滚动，确定轮子在空间的位置需要x、y、θ和自转角φ，但由于受到纯滚动的约束轮心的速度和自转角速度之间存在约束。另由图2.8可得，将约束方程代入以上两式可得（2.4）上式表明4个坐标中独立的坐标只有两个，但在动力学方程未解出之前，我们无法通过积分的方法利用（2.4）式将不独立的坐标消去。但可证明如果轮子做直线滚动即θ为常数则可以将不独立坐标消去。（2）可解约束（单面约束）：约束方程中虽不含的微分项，但方程中含有不等式。显然由于方程中存在不等式，所以也无法用代数法通过约束方程消去非独立坐标，例：用长为L的绳子将质点悬挂于固定点，x2+y2+z2≤L2。这种约束通常将其分为两种约束，增加一个独立坐标，这样可解约束将变为不可解约束，也就是成为了完整约束。综上所述，非完整约束一般专指微分约束。此外，约束还可根据约束方程中是否含有时间t将约束分为稳定、不稳定约束。三：广义坐标：1.定义：建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标被称为广义坐标。一个力学体系的广义坐标一旦确定了，其在空间的位形也就确定下来。广义坐标与自由度的关系：完整约束其广义坐标的个数与自由度个数相等。非完整约束其广义坐标的个数可大于自由度个数。可简单地认为自由度比广义坐标的独立性更强，独立的也更彻底。在本书以后的讨论中均限于完整约束，所以可认为广义坐标的个数等于自由度个数。2.选取：从理论上讲，可选取任意能反映力学体系位形的相互独立的s个变量作为广义坐标，不仅仅局限于传统意义上的反映位置的长度坐标和角度等，如能量E，动量P等。3.位形空间：由s个广义坐标所构成的一个抽象的s维空间，此空间的任一点代表力学体系的一种可能的位形。四：总结：掌握完整约束和自由度、广义坐标的物理意义。§2.3理想、完整约束体系的拉格朗日方程对于理想、完整约束体系，在选取合适的广义坐标后可直接由广义坐标写出体系的动力学方程—拉格朗日方程，该方程中是不含、非独立坐标的动力学方程。一：理想、完整约束拉格朗日方程：1.推导过程：设有n个质点构成的受k个约束的力学体系，如所受约束为理想、完整约束，则广义坐标的个数为s=3n-k。取q1，q2…qs为广义坐标，则有，将其代入达朗贝尔方程消去化简后可得：，因上式中的相互独立，要使该式恒成立必有：，或者写成，（3.3）其中，（3.4），被称为广义力，与广义坐标相对应。方程（3.3）左边可变成：（3.5）另由可得：，又因可得（3.8）另有（3.9）将（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去可得：，再将结果代入（3.3）可得理想、完整约束拉格朗日方程。2.结论：，（3.10）该方程是由s个二阶微分方程构成的微分方程组。二保守体系的拉格朗日方程：1.方程：对于保守体系，可进一步化简如下：，（3.11）将上式代入理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可得：，令（3.13）L称为拉格朗日函数，则上式可进一步化简为：，（3.12）（3.12）为保守体系的拉格朗日方程，有些教材将其称为第二类拉格朗日方程，它在力学中的应用非常广泛，在分析力学中占有重要的地位。2.讨论：（1）方程中的L、T、V为广义坐标和广义速度的函数，在应用方程时，首先需将L、T、V化成、的函数。（2）该方程只适用于理想、完整约束的保守体系。（3）保守体系：传统定义—所有内力与外力均为保守力，或内力虽不是保守力，但所有内力所做的功的和为零。分析力学的定义—理想、完整约束下，只要主动力为保守力，这样的体系均为保守体系。从两种定义的比较可知，后者是对传统定义的扩展。对于理想、完整体系而言其约束力可能是非保守力，在受不稳定约束时虽然约束力的实功之和不为零，但约束力的虚功之和仍为零，保守体系的拉格朗日方程仍成立，所以这样的力学体系在分析力学中也被成为保守体系。（4）非保守体系：将非保守力部分用表示，而将保守力部分仍用表示，理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可表达为：，（3.14）三：拉格朗日方程与牛顿方程的区别与联系1.拉格朗日方程用广义坐标列出s=3n-k个动力学方程，较牛顿方程列出的3n+k个方程更为简捷。2.拉格朗日方程从能量的角度分析力学问题，而牛顿方程从受力的角度分析问题，显然能量的数学处理比力F的处理简单，更重要的是能量的概念贯穿与物理学的所有领域，因此拉格朗日方程的应用也得以推广。3.对简单的力学问题而言，用牛顿方程比用拉格朗日方程更简单、直接。四：解题步骤：1.解题之前要正确划分体系与外界，进而判定所研究的体系是否为理想、完整保守体系。2.根据体系所含质点数n和所受约束的个数k来判定自由度的个数s=3n-k，也可由经验直接判定自由度的个数，然后选取合适的广义坐标。3.将动能T、势能V或拉格朗日函数L表示成广义坐标的函数后代入拉格朗日方程，可得s个动力学方程。4.求解这s个动力学方程可确定所有的广义坐标。五：例题（从略）六：本节重点：掌握理想、完整约束保守体系拉格朗日方程及其适用条件，会用该方程求解一般的力学问题。§2.4拉格朗日方程对平衡问题的应用一：静力学问题：当力学体系相对于惯性系静止时，我们就说该体系处于力学平衡，这类问题为静力学问题，主要分为两类。1.已知主动力，求体系平衡时的位置。2.已知体系的平衡位置，求体系各部分之间的约束力FN。上述第一类问题用拉格朗日方程求解很方便，第二类问题可结合拉格朗日方程、牛顿方程求解。二：拉格朗日平衡方程：当体系平衡时其动能T恒为零，则，均为零。根据理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可得：，（4.1）对于保守体系则有：，（4.2）三：例题（从略）四：重点掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力学平衡问题的一般方法。§2.7对称性和守恒定律一：力学中的守恒定律：1.牛顿力学：利用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程的全部或其中的一部分，可直接得到一阶的微分方程，而牛顿动力学方程为二阶微分方程。例：质点在有心力、万有引力作用下的力学问题。2.分析力学中的守恒量—运动积分eq\o\ac(○,1)运动积分：具有s个自由度的力学体系，如果，的某个函数在力学体系的运动过程中保持不变，则该函数被称为运动积分。理论上可用这些运动积分取代拉格朗日方程的全部或其中的一部分，类似于牛顿力学中用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程。eq\o\ac(○,2)s个自由度的力学体系最多具有（2s-1）个运动积分。证明：任一时刻体系的拉格朗日函数为，所以体系的状态可由2s个变量决定，一般情况下有（7.1），为积分常数共2s个。在上式中消去时间t后可得到（2s-1）个方程构成的方程组，因此最多可解出（2s-1）个相互独立的（7.2）它们在运动中均为常数，也就是说它们为体系运动过程中的守恒量，被称为运动积分。下面就介绍常见的两种运动积分：广义动量、广义能量。二：广义动量与广义能量1.广义动量：（1）循环坐标（可遗坐标）：拉格朗日函数L中不显含某个广义坐标，则该坐标被称为循环坐标。（2）广义动量：定义为与相对应广义动量。（3）广义动量守恒：当为循环坐标时，则与其对应的广义动量守恒。证明：当为循环坐标时由于L中不显含，所以，则由（7.3）即广义动量守恒。（4）意义：①从量纲上来看，具有动量的量纲，所以被称为广义动量，同理被称为广义速度。②当代表不同的坐标时，就代表不同的动量。如取x，y，z，时，x，y为循环坐标，对应的、为x，y方向上的动量。又如取r，θ，时，θ为循环坐标，对应的为角动量。eq\o\ac(○,3)可直接有L的表达式中是否含有循环坐标拉判定相应的是否守恒。2.广义能量H（1）定义：具有s个自由度的力学体系，定义为广义动量。（2）广义能量H守恒：如果L中不显含时间t，即，可证明H守恒即H=C。证明：设，由拉格朗日方程可得，所以（7.5）即广义动量受恒。3.H的物理意义—广义能量由及可得（7.6）其中，为的零次齐次式；，为的二次齐次式；，为的一次齐次式。由m次齐次函数的欧拉公式，可得，代入（7.7），即H与能量的量纲相同，所以H被成为广义能量。4.特例：当体系受稳定约束时，，可得T1=T0=0，（7.8），此时广义能量与能量相同，广义能量守恒即为能量守恒。三：守恒定律与时空特性的关系。1.运动积分的分类：（1）守恒量：如果体系总的运动积分为各部分运动积分之和，即具有可加性，这样的运动积分为守恒量，如动量、角动量、能量。（2）非可加性运动积分：如（7.1）中积分常数等。较有意义的运动积分是守恒量，力学体系的守恒量是由体系所处的时空的特性决定的。2.空间的均匀性、各向同性的数学表述。空间的均匀性和各向同性意味着坐标轴的原点和方向可任意选取而不会改变力学体系的性质，或者说当空间平移或转动时，力学体系的（7.11）由及，另由（见3.8式），代回可得，（7.13）上式为空间的均匀性、各向同性的数学表达式。3.空间的均匀性导致动量守恒空间的均匀性要求当时，，将代入（7.13）式可得，由的任意性可得，即动量守恒。4.空间的各向同性导致角动量守恒各向同性要求当坐标轴转动时，将代入（7.13）式可得：，由的任意性可得，即角动量守恒。5.外场对空间性质的影响总结3、4的结果可知，如果质点处在外力场中，空间的均匀性和各向同性会被破坏。当坐标轴由位移或时，一般外场对质点的作用会有所改变，因而和不会守恒。但如果外场的作用与某坐标无关，当坐标轴沿该方向移动时，外场的作用不会改变，因而在该方向上动量守恒。6.时间的均匀性导致能量守恒.时间的均匀性要求当时间平移变化时，体系的拉格朗日函数L不改变，显然只有L中不显含时间t即时才能满足上述条件。在介绍广义能量守恒时我们已证明，当且约束为稳定约束时时，广义能量保持不变。即当L、约束与时间无关，或者说时间是均匀的时，时间的变化不会引起能量的变化，即能量守恒。7.总结：在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或时间t来直接判定动量或能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程从而简化了动力学方程的求解。四：本节重点：掌握在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或t来直接判定动量、能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程，从而简化动力学方程。五：例题（从略）本章习题：2.1，2.6，2.8，2.10，2.14，2.18。第三章两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。§3.1两体问题化为单粒子问题一：两体问题：1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。2.分类：两体问题可分为三类。（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。（2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。二：两体问题的处理方法1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。相对于质心的运动随质心的运动相对于质心的运动随质心的运动由质心运动定理决定先将两粒子间相对运动约化为一个单粒子的运动由单粒子的运动求出两粒子相对于质心的运动两体问题2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：eq\o\ac(○,1)分解过程：首先约定用表示两粒子间相对位置矢量，用表示粒子在惯性系中位置，如图3.1所示。代表两粒子在惯性系中的位矢和相对位矢。则有：（1.1），（1.4），是两粒子处在外场中的势能，仅与有关；是两粒子相互作用的势能，仅与（1.3）有关。因两粒子的自由度为6，可取、为广义坐标，则有：，（1.5）。将两式代入动能T的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V，化简后可得：（1.6）其中，称为折合质量；，（1.7）（1.8）eq\o\ac(○,2)结论：从可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的及反映两粒子间相对运动的两个相互独立的部分。这样两体问题实际上分解为质心的运动和质量为mr的单粒子的运动，后者就间接反映了粒子间的相对运动。当确定、后，可简单地由、确定每一个粒子的运动。3：主要问题在上述关于势能及的假设中，后者一般情况下都成立，而前者未必。所以在求时会很复杂。但我们所遇到的主要力学问题为：（1），外场很弱（相比与内场），质心做惯性运动。（2），即中心势场。以后如果不特殊说明，则讨论的问题均指同时满足以上两条件的力学问题。4：相对运动——单粒子的运动转化为两粒子相对于质心的运动将相对运动转变为单粒子的运动后，除可用来描述两粒子之间的运动外，还可用两粒子相对于质心的运动来描述。因质心的运动可由质心运动定理确定，所以这种描述更可行。取实验室系和质心系，用表示粒子间的位矢，表示在质心系中两粒子的位矢，则有，（1.12），即与之间只差一个比例常数。并且可进一步证明相对运动的动能，即相对运动的动能可看成是两粒子相对于质心运动动能的和。所以以后说到相对运动，不再区分是粒子间的相对运动还是两粒子相对于质心的运动。三：本节重点：掌握两体问题处理的一般方法和结论。§3.2在中心势场中单粒子运动的有效势能一：中心势场中的守恒量当粒子处在中心势场中时，由（2.1），即力的大小仅与r有关，方向沿的方向（包括同向和反向）。接下来可证明粒子的角动量和能量E守恒。1.角动量守恒：由及可得，所以守恒且粒子只在做平面曲线运动。选取平面极坐标系来描述粒子的运动，以r、θ为广义坐标，则有：拉格朗日函数（2.2）2.能量E守恒：因拉格朗日函数L拉中不含时间t，所以广义能量即能量E守恒，即（2.3）又因拉格朗日函数L拉中不含时间θ，所以与θ对应的广义动量—角动量（以下简写为L）守恒，即（2.4）将（2.4）代入（2.3）可得：（2.5）二：粒子在中心势场中运动方程的解.1.的变化规律：联立（2.3）、（2.4），以、E为已知量消去可得：，移项后两端积分可得（2.7），算出积分后可得，即粒子运动时矢径的大小随时间的变化规律可确定。算出后代回（2.4）式可得（2.8），算出积分即可得。至此粒子的均可从理论上求出，所以粒子运动的规律可完全确定。2.粒子运动的轨道方程联立消去t后可得即轨道方程，也可由及消去后可得：（2.9）计算出积分后可得或即粒子运动的轨道方程。三：运动规律的定性讨论有效势能1.的变化规律：由，由上式可见与成反比，即r增加时减小；即r减小时增加。2.有效势能：（2.10）由，令，可得由E的表达式可以看出粒子在中心势场中的运动可等效成粒子在有效势场中的一维运动，类似于粒子在中的运动。3.r的变化规律：求出r的极值点就可以初步确定r的变化规律。因r的极值点处，所以由，令，在E和已知的情况下，由上式可解出r的值。r的解可分为以下2中常见情况。（1），r有一个极值点，粒子可在（0~r1）或（r1~∞）的范围内运动。（2），r有两个极值点，粒子可在（）、（0~r1）或（r2~∞）之间运动，具体情况与的表达式有关。注：当粒子在（）的范围内运动时，粒子的轨道不一定是闭合轨道。只有满足下式（2.12）时，粒子运动才可能形成闭合轨道。可证明当或时所形成的轨道闭合。四：例2、例3（从略）五：本节重点：掌握中心势场角动量L、能量E守恒和利用有效势能讨论粒子运动规律的方法。§3.3与距离成反比的中心势场与距离成反比的中心势场为，这种势场在理论上可获得严格的解析解。又因这种势场是自然界最常见的势场，如万有引力势场、库仑势场等，因此我们专门来讨论这种势场。一：吸引势的一般规律.这种可获得严格的解析解，但可先用有效势能定性讨论粒子运动的一般规律，最后再与解析解的结果相比较。1.有效势能曲线：由（3.2）可见该曲线应有以下规律：（1）；。（2）令，在处有极小值。（3）令，在处等于零。综合（1）（2）（3）可大致绘出的曲线如右图3.52.讨论：（1）当，因的要求，所以E=C与曲线有两个交点。设两交点处r分别为（近日点、远日点），则粒子被限制在内运动。（2）当时，E=C与曲线只有一个交点，设交点处r为，即近日点仍存在，粒子在内运动。二：轨道方程1.方程：将代入（2.9）式积分后可得：，可适当地选取θ的起点使常数等于零。接着引入、（3.4）则轨道方程可化简为（3.5）2.讨论：（1）方程的几何意义。由解析几何的知识可判定，该方程代表了一组圆锥曲线，其焦点位于极坐标的原点，p为半通径，e为偏心率（如图3.7）。当θ=0时，，所以该圆锥曲线的极坐标的极角起始位置正好就是近日点的矢径位置。（2）曲线的分类：由解析几何可知，根据e的不同可将圆锥曲线分为三类（如图3.6）。eq\o\ac(○,1)当e<1即E<0时，曲线代表椭圆。eq\o\ac(○,2)当e=1即E=0时，曲线代表抛物线。eq\o\ac(○,3)当e>1即E>0时，曲线代表双曲线的一支。3.椭圆轨道：因椭圆轨道是最具有代表性，因此单独讨论它。（1）椭圆的几何参数a、b与动力学参数L、E的关系：椭圆的半长轴a、半短轴b（如图3.7）确定以后，椭圆的几何形状也就可确定下来。又因粒子做椭圆运动时与它的动力学参数L、E有密切关系，所以a、b与L、E之间也因有一定的关系存在，下面我们可推导出它们之间的关系。由，（3.6）将、代入上式可得：（3.7）由（3.8）讨论：由（3.7）可知，粒子的E只与a有关系，与椭圆的形状或者说与b、c无关。只要粒子的椭圆运动轨迹的a一样，那么这些粒子的能量均一样，这一点在原子物理中有应用。（2）运动周期T与能量E的关系：由，其中用到，将（3.8）代入上式消去b可得：（3.9）讨论：上式说明周期T的平方和能量E绝对值的三次方成反比，或者说与半长轴的三次方成正比，这正是开普勒的第三定律的内容，也是牛顿发现万有引力的依据。三：粒子的运动方程：以上讨论的是轨道方程，较为简明。而粒子的运动方程则较复杂，只能用参数式表达。利用（3.4）、（3.6）两式可将（2.7）表示为：，令可得，取时，则有（3.10）利用极坐标与直角坐标的转换关系可得（3.11）以上两式分别为椭圆轨迹在极坐标、直角坐标中的参数表达式，也就是粒子在与距离成反比的中心势场中做椭圆运动时的运动参数方程。双曲线的参数表达式可用类似的方法得到，此处从略。四：排斥势中粒子运动的一般规律。当时，有，由上式（1）可见；。（2）由可知为的单调减函数且。（3）由。综合（1）（2）（3）可得：当粒子处在排斥势中时，其能量E>0。E=C直线与曲线只有一个交点，即只有一个近日点，无论粒子开始向哪个方向运动，它最终将飞向无穷远处，不可能成为束缚态。同理对于，引入p、e后可得其轨道方程为（3.16）由解析几何可知其为双曲线的一支。五：本节重点：掌握吸引势中粒子的运动规律及（3.5）式，并可由E的值来判定运动曲线的类型。了解排斥势中粒子的运动规律。§3.4中心势场中粒子运动轨道的稳定性我们在研究粒子在中心势场中的运动时，最希望能求出或的表达式，但大多数情况下并不能求出，此时可利用来定性地分析粒子的运动规律。另外我们还关心一种轨迹的稳定性问题，下面将详细讨论。一：轨道的稳定性1.轨道稳定性与轨道闭合的关系：轨道的稳定性与闭合是两个不同的概念，二者之间没有必然的联系。简单地说，就是闭合的轨道不一定是稳定的。如§3.2中，当做圆周运动时，轨道虽然闭合却并不稳定。相反不闭合的轨道也可能是稳定的，如行星绕太阳、电子绕原子核运动，实际上都不是闭合轨道，但却非常稳定。2.稳定性定义：设在一定的初始条件下，粒子在中心势场中运动的轨道方程为。若粒子受到一个扰动后偏离原来的运动轨道而成为，如果能保持在附近做微振动，则我们说轨道是稳定的；反之，若r偏离r0越来越大，则轨道不稳定。二：轨道稳定性的条件：当粒子在中心势场中运动时，为了分析稳定性条件，我们先求出粒子轨道的微分方程——比耐方程。1.比耐方程：，（4.1）首先令，由eq\o\ac(○,1)另由，结合可得eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,2)两边对时间t求导可得： eq\o\ac(○,3)将eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,3)代入牛顿第二定律消去化简后可得比耐方程（4.1）式。2.稳定性条件：（1）扰动方程：设粒子的初始运动轨道为，受到某扰动后轨道变为，其中为一小量。如果随时间的推移逐渐变大，则轨道不稳定；如果随时间的推移维持在一个小范围内振动，则轨道稳定。将代入比耐方程（4.1）式可得：（4.3）将按泰勒级数展开后略去二阶以上无穷小量并考虑，方程可化简为，（4.4）其中（4.5）（4.4）式为关于的二阶线形齐次方程，A取不同值时方程有不同类型的解，由这些解可判定轨道是否稳定。（2）稳定性条件：eq\o\ac(○,1)当A=0时，方程解为，代入初始条件，可得，方程解变为，为（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。eq\o\ac(○,2)当A<0时，方程解为，代入初始条件，可得，方程解变为，为（或时间t）的增函数，所以轨道也不稳定。eq\o\ac(○,3)当A>0时，方程解为，代入初始条件，可得，方程解变为，为（或时间t）的周期函数，所以轨道稳定。综上所述，当粒子处在某势场中时，只有满足A>0的条件时，粒子的运动轨道才稳定。3.的稳定性分析.首先将代入A，则稳定性条件变为：（4.6）或由将上式化简为（4.7）（1）当时，将，代入（4.7）式可得A=1>0，轨道稳定。（2）当时，求出，后代入（4.7）式可得。由>1可推断只有当时才有A>0。（3）当时，求出，后代入（4.7）式可得>0,轨道稳定。4.圆周轨道的稳定性分析.当运动轨道为圆周时，稳定性条件可直接由、即有效势能在处是极小值来推断轨道的稳定性。将代入上两式，化简后可得圆周轨道的稳定性条件为：（4.8）或（4.9）三.本节重点：正确理解稳定性的概念，掌握比耐方程，能够判定在几种常见势场中粒子运动的轨道是否稳定。§3.5弹性碰撞一：弹性碰撞的定义和主要问题1.定义及特点定义：如果两粒子在碰撞前后的内部状态不发生改变，那么这种碰撞为弹性碰撞，或称为弹性散射。由于碰撞过程的时间短且内力的作用远大于外场的作用，所以动量守恒。另外由于粒子内部状态未发生改变，所以内能不变，机械能守恒。考虑到碰撞前后粒子间的作用势能不变，所以动能守恒，这样就可以得到弹性碰撞的另一种定义：动能、动量同时守恒的碰撞为弹性碰撞。特点：动能、动量同时守恒。2.主要力学问题：（1）不考虑碰撞的细节，根据守恒定律的要求，求出碰撞前后粒子运动所满足的条件，此为碰撞的运动学问题。（2）已知相互作用，由碰撞前粒子状态推断碰撞后粒子的状态；或者已知粒子碰撞后状态，反推出粒子碰撞前的状态；还有根据碰撞前后粒子运动状态来推断两粒子间相互作用的具体形式，此为碰撞的动力学问题，或称为散射问题。二：碰撞问题的理论计算：这个问题可分为在质心系和惯性系两种情况讨论。1.质心系：（1）理论推导：设分别表示质心系中两粒子碰撞前后的速度，代表碰撞前后粒子间的相对速度。由，同理可得（5.1）、（5.2）由动量守恒和以上表达式可得：（5.5）由动能守恒可得：（5.6）联立以上两式可得：（5.8）另外因，且方向相反，所以；同理可得。结合（5.8）式可得：，但。（2）结论：A：在质心系中，两粒子的弹性碰撞只改变各粒子的运动方向，不改变各粒子速度的大小，并且因碰撞不改变相对速度的大小。因此以后统一用表示相对速度的大小。B：如果用代表碰撞后粒子1的速度方向即的方向，则可将、、表示如下：，，（5.9）2.惯性系：（1）理论推导：以表示粒子在惯性系中的速度，由，结合（5.9）式可得：（5.10）（2）结论：（5.10）式即为粒子在惯性系中的碰撞后速度、与、及的关系，在该式中的需根据粒子间相互作用的具体形式来计算确定。如果已知的具体形式，那么可由碰撞前的速度求出碰撞后的速度，反之也成立。三.图示法：我们可借助于图形来形象地求出上述结果，同样也分为在质心系和惯性系两种情况讨论。1.碰撞的动量描述法：在讨论之前，我们先把对粒子状态的速度描述法换成动量描述法。首先由，同理可得，，。另由（5.13）即粒子碰撞后的动量等于随质心运动的动量和相对于质心运动的动量之和，或者可理解为粒子碰撞后的动量等于随质心运动的牵连动量和相对于质心运动的相对动量之和。即有：显然这个结论也适合于粒子碰撞前动量的表示，即2.质心系：以O为圆心，以为半径做圆，取，则（见图3.9a）。在圆上取一点C使与、的同向，那么的夹角θ就代表的夹角，则，。由右图可看出，动量守恒（5.5）式在图中表示为。当确定以后，C点的位置由θ决定，而θ最终由粒子间相互作用的具体形式决定。3.惯性系：（1）图示的一般结果：取圆的半径为，为惯性系中两粒子的总动量，，为对以运动所具有的动量或称为的牵连动量，同理有，为对以运动所具有的动量献或称为的牵连动量。另取，为碰撞后在质心系中的动量或称为的相对动量，同理，为碰撞后在质心系中的动量或称为的相对动量。（2）碰撞后粒子的绝对动量碰撞后在惯性系中的动量或称为的绝对动量可表示为：。同理碰撞后的绝对动量可表示为：以上两式正是（5.13）的结果，也就是（5.13）的图示表示法。（3）碰撞前粒子的绝对动量同理可在圆周上找到另一点，用代表碰撞前的相对动量，代表碰撞前的相对动量。因此可得：，代表碰撞前的绝对动量；，代表碰撞前的绝对动量。（4）碰撞前后粒子m1的在质心系中的偏转角在（图3.9b）中代表夹角的θ为的夹角，即。3.惯性系中的主要问题：从以上分析可看出，给出两粒子的初始速度后，要确定粒子碰撞后的状态θ是一个关键的物理量，而一般情况下θ很难求出。但当时此时可简单地求出θ和在惯性系中地偏转角，这也是碰撞的主要问题。（1）与B重合：当即静止时，，所以与B重合，B点在圆周上，或由，也可得上述结论。（2）A点位置。由，可得，可见当A点在圆外；A点在圆内。（3）：因代表夹角而，即三者同向看出，所以。（4）与的关系：在惯性系中，我们比较关心在碰撞后与的夹角，也就是的偏转角。由图3.10可知分别为与的夹角。结合图3.11可知：，代入CD=OCsinθ=mrvsinθ，，OD=OCcosθ=mrvcosθ，可得（5.14）因OC=OB，所以（5.15）接下来利用余弦定理还可将求出，得：，（5.16）（5）特例：eq\o\ac(○,1)当碰撞后如果两粒子在同一直线上运动，此时C与AB在同一直线上，即θ=π。当m1<m2时，反向；当m1>m2时，同向。将θ=π代入(5.16)式可得：。因，因此这时得到的为最大值，同样这时得到的动能也为最大值，所以这种碰撞可使获得最大的能量。另外，当m1<m2时，;而当m1>m2时，有最大值，它的最大位置为AC与圆周相切的位置，。eq\o\ac(○,2)如果m1=m2，可得。由于，因此两粒子碰撞后速度的方向相互垂直。特别是当时，，两粒子交换速度。四：本节重点：重点掌握（5.9）、（5.10）式，了解图示法的原理和结论。§3.6散射截面一：粒子在中心势场中的偏转角上一节已经指出，为了求出粒子的偏转角，必须求出在质心系中的偏转角θ。而要求出θ必须给出一定的初始条件如能量E、角动量L和相互作用的势能。根据这些条件就可借助于单粒子在中心势场中的轨迹方程或mr在中心势场中的轨道方程求出θ。1.θ与φ0的关系：如图3.13，设粒子2固定于O点，粒子1由无穷远处飞向粒子2，偏转θ后飞向无穷远处。设OA=rmin，φ0为rmin与的夹角。由对称性可知（6.2）另外根据（2.9）式（6.1），在已知E、L和时并不难求出φ0。注：由§3.5可知，为的夹角，而以上分析求出的应为的夹角（因m2固定不动）。但因在质心系中同向，同向，因此以上求出的θ即为的夹角。（当上式中m取mr时，求出的为的夹角）2.θ的求解：在散射问题中常以初始速度、瞄准距离b作为初始条件，它们与E、L的关系可由确定。将E、L的上述表达式代入（6.1）式可得：（6.4）其中可由（2.5）式中令得到，由该式可解出，因此结合（6.2）、（6.4）及可得出。二：散射截面：1.散射截面：在实际物理过程中，往往研究一束射向散射中心的具有相同速度的全同粒子所组成的整个离子束的散射情况。如图3.14所示。不同的b将有不同的θ，定义dN表示单位时间内散射角在θ~θ+dθ内的粒子数，n为单位时间内通过垂直于粒子束前进方向的单位截面上的粒子数。因正比于n，所以为了准确反映散射的特征，做如下定义：，与面积S的量纲相同并且能准确反映散射的特征，故称为散射截面。2.与、的关系（1）与的关系：由图3.14可看出与有关，且当很小时可认为与成正比，即（6.7）另外由，（6.8）利用（6.4）、（6.8）、（6.2）所计算出的b、θ的关系，可将（6.8）式化为：（6.9）对比（6.7）、（6.9）可得：。（2）与的关系及实验验证：A：与的关系：实际工作中为了验证（6.4）、（6.9）的正确性，往往需要将换成，因为这样才能在实验中测量。由，代入（6.9）式可得：（6.11）B：实验验证：在实验中可测出，当n已知时，可推出。将代入（6.11）由已知的可算出。这样就可与利用、、和（6.2）、（6.4）算出的相比较，进而验证以上关于碰撞的理论是否正确，或者在假定以上理论正确的基础上推算未知的。如卢瑟福散射等。三：惯性系中的散射截面：以上所进行的讨论都是在质心系中进行的，如果要讨论粒子在惯性系中的散射情况，只需将（6.9）式确定的与关系中的换成或即可。例如通过§3.5可知，由（5.14）和（5.15）式可确定、与的关系，将（6.9）式中的用替换，则可得：，则可得m1在惯性系中的散射关系。四：本节重点：重点掌握散射截面的定义及如何利用、、求出散射角和散射截面。本章习题：3.1、3.2、3.4、3.6、3.8第四章刚体教学目的和基本要求：理解刚体角速度、角加速度、转动瞬心、刚体上任一点的线速度和线加速度，欧拉角等概念；掌握用刚体平面运动微分方程求解平面平行运动动力学问题；熟练掌握用基点法、瞬心法求平面平行运动刚体任一点的速度和加速度，以及刚体的角速度；掌握定点运动的刚体上任一点的速度、加速度的求法；理解转动惯量、惯量张量，惯量椭球，惯量主轴以及运动刚体角动量和动能等概念；掌握刚体动量和动能的计算；了解欧勒动力学方程实质以及如何运用该方程分析刚体定点转动的力学问题。教学重点：在理解刚体角速度、角加速度等概念的基础上，掌握用刚体平面运动微分方程求解平面平行运动动力学问题；熟练掌握用基点法、瞬心法求平面平行运动刚体一点的速度和加速度以及刚体的角速度。教学难点：运用刚体运动的动力学方程处理刚体的平面运动和定点转动的力学问题。§4.1刚体运动的自由度和广义坐标一：刚体及其运动的描述方法1.定义：刚体可以看成由多个或无穷个质点构成的质点系，其中任意两质点之间的相对位置或距离保持不变。或者简单地定义为：在任何情况下都不会发生变形的质点系。2.描述方法：（1）刚体的定义决定了我们只要确定刚体上任意不共线的三点，就确定了通过该3点的一个截面在空间的位形，刚体的位形就可以确定了。（2）自由度S=3x3（3个质点的位置）-3（3个约束方程）=6。（3）通常用固连于刚体上的坐标系cxyz相对于固连在惯性系上的坐标系ox0y0z0的运动来描述刚体的运动，通常取t=0时cxyz和ox0y0z0重合。按此方法，刚体的运动可分为以下几类。二：刚体运动的分类1.平动：运动过程中两坐标系cxyz和ox0y0z0对应坐标轴永远保持平行，则此运动为平动。或者说刚体上任一直线在运动过程中都与原来的任一位置保持平行。特点及运动描述：刚体上任一点都具有相同的速度、加速度。因而可用任一点的运动来代表整个刚体的运动，S=3。注：刚体平动时不一定做直线运动。2.定轴转动：刚体上各点绕刚体上或刚体以外的固定直线做圆周运动。当转轴在刚体以外时，可将此转轴理解为刚体体积的延伸。运动描述：将cxyz的cz轴取在转轴上，这样可用cxyz相对于ox0y0z0转过的角度φ来描述刚体的运动，所以S=1。3.平面平行运动：刚体在运动过程中，刚体上任一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动。由上述定义可知，我们只需研究任一和固定平面平行的截面的运动即可，即确定了这一截面的运动状态就可确定刚体上任一点的运动状态。运动描述：通常取ox0y0固定平面为面，刚体上的截面为cxy平面。研究cxy相对于ox0y0的运动需三个坐标，因此S=3。4.定点转动：刚体运动过程中，刚体上各点到某一固定点的距离保持不变，或者说刚体上各点绕该固定点转动，这样的运动为定点转动。特点及运动描述：通常取固定点（不一定在刚体上）为cxyz与ox0y0z0的公共原点，任一时刻刚体的运动状态可由cxyz相对于的运动来描述。可证明刚体的任一运动状态可由cxyz相对于ox0y0z0的三个独立角度的变化来描述，这三个角度分别为φ、θ、ψ，即进动角、章动角和自转角，统称欧拉角，它们的变化范围是，，。这三个角度的定义可由图4.4说明，所以S=3。但需说明这种描述法并不是唯一的。5.一般运动：刚体做的一般任意运动均可分解为平动和定点转动的合成。平动用C点的坐标（x0c，y0c，z0c）描述；定点转动用欧拉角描述，所以自由度S=3+3=6。三：本节重点：刚体运动的分类，特别是平面运动和定点转动的描述方法和特点。§4.2刚体的角速度刚体的平动与质点的运动可看成满足同样的规律，因而不需要过多讨论。刚体运动的特殊性在于它的转动。为了描述刚体的转动，我们可引入角位移和角速度及角加速度。一：定轴转动：1.角位移：取oz0轴与cz轴重合，那么cxyz绕oz0转过的角度可由角位移（2.1）表示，其中为沿oz0的单位矢量，为cx轴与ox0轴的夹角，转过的角度与之间满足右手螺旋法则。2.角速度：定义（2.2）另外因固定不变，所以及也可用代数量表示。二：定点转动：1.有限角位移和无限小角位移：首先可证明，有限角位移并不是矢量，因它不遵守矢量的对易律，这从图4.6中的例子可看出。下面证明无限小角位移为矢量，即满足矢量的对易律。证明：如图4.8所示，设刚体绕经过O点的OM转过一小角度，则由，、可得。可推广为任一矢量绕某轴转过的后，其增量。设刚体绕O点依次发生了两次转动和，则有可得（2.4）同理当刚体绕O点依次发生两次转动和，则有可得（2.5）比较（2.4）式、（2.5）式前三相相等，而第四相虽然不同，但当时，第四相可忽略。所以可认为（2.4）式、（2.5）式相等，即无限小的角位移与转动的秩序无关而满足对易律，这样就证明了无限小角位移为矢量。2.角速度：（1）定义：角位移对时间的导数定义为角速度，即（2）角速度的分解与合成：因角速度为矢量所以可以进行分解与合成，当刚体做定点转动，就可以看成其同时参与了绕几个轴的转动