第13讲 以形助数找关系（含解析）

y2【例1】已知点Fy2=x的焦点,点A,B在拋物线上,且位于x轴两侧，OA.OB=2,O为坐标原点,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.22【例2】已知椭圆的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,点B在椭圆C上运动,当AB丄x轴时,AB取得最大值4,则a的取值范围是的图象有两个交点A,B,O是坐标原点，△OAB是锐角三角形,则实数a的取值范围是.【例4】已知点P是椭圆上的一动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是上F1PF2的角平分线上的一点,且则的取值范围为.________【例5】已知双曲线C:x2=1,过点P的直线l交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q:与C的顶点不重合且时,求Q点的坐标.强化训练222.设双曲线两焦点为F1,F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过点F1作上F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.拋物线的一部分D.圆的一部分3.已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和 4.已知点F为椭圆的右焦点,椭圆的离心率为,过点F的直线l交椭圆于A,B两点(点A在x轴的上方求直线l的斜率.值范围是.6.已知椭圆的离心率为2,若以N为圆心且与椭圆C有公共 点的圆的最大半径为·26,求此时椭圆C的方程.7.已知椭圆b2x2+y2=b2(0<b<1)上离顶点A(0,b)最远的点恰好是点(0,-b),则此椭圆离心率的取值范围是.8.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,则的最小值是.【例1】已知点F为拋物线y2=x的焦点,点A,B在拋物线上,且位于x轴两侧，OA.OB=2,O为坐标原点,则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2【解析】B.3 【解法1】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+t,联立直线与拋物线得:22.y2=3,当且仅当时,等号成立.【点拨】研究直线AB的不变性,即过定点,利用此定点将△ABO面积用坐标表示,再结合均值不等式求解.【解法2】依题意,不妨设点A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2+y1y22+y1y2=2,由此解得y1y2=2(y1y2=1舍,当且仅当时,等号成立.因此S△ABO【点拨】利用此公式可快速求解.【赏析】当直线与抛物线相交,原点与两个交点构成的向量数量积为定值时,则直线过定点.【解法1】以定点为切入点,将三角形分割成两部分,能避免用弦长公式,简化运算,学生易于掌握;【解法2】利用S△ABO=仅用坐标之间的关系便得到目标函数,有一定的技巧性.两种解法求面积的方法不同,得到目标函数后都应用到基本不等式求最值,属于常规的题型,容易掌握.22【例2】已知椭圆的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,点B在椭圆C上运动,当AB丄x轴时,AB取得最大值4,则a的取值范围是【解析】则则2sin2θ8sinθ+4+a216,所以4a2sin2θ8sinθ+a21204a2sinθ+a2120(1),(i)当sinθ=1时,(1)式恒成立,a∈R;所以(4a2)sinθ+a2120恒成立. 【点拨】运用椭圆的参数方程,用两点距离公式转化为不等式求解.【解法2】如图13—1,当以A为圆心,4为半径的圆与椭圆相切时满足题意.联立方程当-2<y2时,点B(x0,y0)到点A(0,2)的距离为-4y0+4【点拨】利用判别式等于零可求解.【解法3】设椭圆上的点为(acosθ,2sinθ),代人x2+(y-2)216,得1-sin2θ)a2-4sin2θ+8sinθ+12(1).(ii)当sinθ≠±1时,(1)式化为a2f(θ)>8,所以a28, 【点拨】设椭圆的参数方程,再将参数与变量分离.因为1-<0,二次函数-4y0+a2+由题意知y0【点拨】利用两点间距离公式转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【赏析】【解法1】和【解法3】均利用了椭圆的参数方程来处理AB的最值.【解法1】通过转化得到关于sinθ的二次不等式,利用因式分解及sinθ+11将二次不等式化为一次不等式处理,最后利用关于sinθ的一次函数单调递减,使其最大值小于或等于0,得到关于a的不等式.能正确因式分解是此解法的关键.【解法3】通过参变量分离,将问题转化为函数f(θ)的取值范围问题,最后通过分离常数,求出其取值范围,此解法考查学生对分离常数方法的掌握情况.利用【解法1】解题时要注意讨论sinθ=-1的情况,利用【解法3】解题时要注意讨论sinθ=±1的情况.22然后验证此时y的值为-2,进而得到a的取值范围.极端位置讨论是做选择题、填空题应掌握的解题方法.【解法4】利用椭圆方程,将|AB|2化为关于y0的二次函数(注意定义域),通过对f(y0)对称轴的分析得到关于a的不等式,求得a的取值范围.的图象有两个交点A,B,O是坐标原点，△OAB是锐角三角形,则实数a的取值范围是.【解析】【解法1】设A(x1,y1),B(x2,y2).11-2x2所以x12可化为222 62x2x22(2)(33,(33,【点拨】两函数联立,得到一元二次方程,利用韦达定理得到两根和与积,对锐角分两种情况求范围.,t2,代人椭圆方程2x2+y2=1得22=1,整理2-AB2>0,即a2即解得.综上知【点拨】利用直线的参数方程与椭圆联立得到t1,t2,再对锐角分类讨论.【解法3】由椭圆方程代人直线方程得两式相减得sina-sinβ=，对(*)中两式相加得2a=(sina+sinβ)-(cosa+cosβ), 即-cos(a+β)+cos(a-β)+sin(a+β)<0,从而cos(a-β)<,综上知【点拨】直线的参数方程与椭圆的参数方程联立,利用三角函数求解.综上知【点拨】极端值;当上OAB=90O时,利用OA的直线方程与椭圆方程联立求出A点坐标,得到A方程,又得a的另一极端值.【赏析】【解法1】和【解法4】用的是分类讨论的方法,讨论最大角的情况,不同的是【解法1】用的是解析法,联立方程利用韦达定理解题.【解法4】用的是临界的方法,适合选择题或填空题.【解法2】和【解法3】用的是参数法,【解法2】用的是直线参数方程,【解法3】用的是椭圆的参数方程.不管是哪种解法,都要讨论两种情况,对学生来说有一定的难度.【解法3】更是要求学生熟练运用和差化积、积化和差公式,对三角变换基本功较差的学生并不适用,但数学问题参数化,是值得推广的方法.【例4】已知点P是椭圆上的一动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是上F1PF2的角平分线上的一点,且则-M.________【解析】【解法1】取点P在第一象限,延长PF2线,F1M所以M为A中点,因为O为中点,且所以p【点拨】由垂直、角平分线想到构造等腰三角形,利用三角形中位线定理、焦半径公式解决问题.【解法2】取点P在第一象限,延长PF2,F1M交于点A,由三角形三线合一知PF1i=PA,且,所以OM=a-PF2.【点拨】由垂直、角平分线想到构造等腰三角形,利用椭圆定义得到PF与OM的关系式,再用焦半径的范围求解.【解法3】P→B(左右顶点),则OM→OF1;P→D(上下顶点),则OM→0,所以.).【点拨】极限法.利用动点P的两个特殊位置及右顶点与上顶点,得到两端点求解.【赏析】【解法1】通过构造等腰三角形,结合中位线将OM表示为再利用焦半径公式将OM用P点的横坐标xp表示,进而求出其取值范围.事实上,将OM表示为后可以通过对点P位置的分析求出其取值范围,考虑两个极端情况即可,当P点为短轴端点时=0;当P点为长轴右顶点【解法2】与【解法1】类似,在处理|OM|的长度时,【解法2】借助椭圆的定义,将OM表示为a-PF2,结合PF2∈(a,a-c)(注意P点在第一象限)很容易得解.如果将PF2表示为a-exp,则与【解法1】完全相同.【解法3】通过对点P的极端位置进行分析,得出点M的极端位置,进而求出OM的取值范围,数形结合使用得非常精妙,给我们一种“一切尽在图形中”的感觉.三种解法都要求学生能准确画出图形,以形助数寻找解题的突破点.【例5】已知双曲线C:x2-=1,过点P的直线l交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q:与C的顶点不重合且时,求Q点的坐标.【解析】由韦达定理得所以【点拨】直接联立直线与双曲线的方程,消去y,根据横坐标之间的关系求解.所以,得联立直线与双曲线得,消去x得y2-24k2y+48k2-3=0,由韦达定理得【点拨】根据题意,联立直线与双曲线的方程,消去x,根据纵坐标之间关系求解.【解法3】设直线l的倾斜角为Q,则l的方程为将直线l的参数方程代人x2-=1得(3cos2Q-sin2Q)t2-8sinQ.t-19=0,由韦达定理得【点拨】运用直线的参数方程,从参数的角度联立直线与双曲线的方程求解.【赏析】直线与圆锥曲线相交于两点,通法即联立直线与圆锥曲线方程,运用韦达定理结合已知条件进行坐标运算.【解法1】联立方程消去x,【解法2】联立方程消去y,两解法均属通法通解,要求学生熟练掌握;【解法3】另辟蹊径,利用直线参数方程中参数的意义解决长度问题,此方法值得学习.强化训练+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by由题意知2-3→tanktan→θ,故直线l的倾斜角θ的取值范2.设双曲线两焦点为F1,F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过点F1作上F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹为()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.拋物线的一部分D.圆的一部分【解析】由答图13-1可知，OP=a，所以点P的轨迹为圆的一部分，故选D.3.已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于点A和 A.2B.2-2C.4D.8【解析】设等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0),y2=16x的准线l:x=-4，因为C与抛物线y2=16x的准线l交于A，B两点，将A点坐标代入双曲线的方程得a2=(-4)2-(2)2=4，所以a=2,2a=4，故选C.4.已知点F为椭圆=1(a>b>0)的右焦点,椭圆的离心率为,过点F的直线l交椭圆于A,B两点(点A在x轴的上方),且AF=3FB,求直线l的斜率.设直线l的方程为为参数，θ为倾斜角且为钝角)，代入x2+4y22→cos2θ+4sin2θ)t2+2ccosθt所以→tanθ=所以直线l的斜率为.5.已知是椭圆C:=1的左、右焦点,P是椭圆C上的动点,则+的取值范围是.所以当且仅当PF1=2,PF2= 26.已知椭圆C:a+(a>b>0)的离心率为,若以N(0,2)为圆心且与椭圆