第12讲 圆锥曲线离心率 几何坐标真给力（含解析）

【例2】设F是双曲线的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若2的离心率是()22【例3】已知双曲线的两个焦点为F1,F2,若P为双曲线上一点,且=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为()B.22【例4】已知双曲线的左焦点为F,若双曲线右支上存在点P,使得线段PF的中点Q仍在双曲线上,则双曲线离心率的取值范围是.22【例5】设P为双曲线上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,若△PF1F2的内切圆的直径为a,则双曲线C的离心率的取值范围为()B.CD.)【例6】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2,曲线C1,C2的一个交点为P,且PFPF2,则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是()强化训练221.如图12-8,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2=FF22.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且上则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()22是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若PQ=2,则该双曲线的离心率为() A.2A.2B.3C.2D.34.已知点P在y轴上,点A,F2分别为双曲线一的右顶点及右焦点,且PA与PF2的夹角为则此双曲线离心率e的最小值为_________.225.设F是双曲线一的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于点N,若3则双曲线C的离心率是.226.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若b2,则该椭圆的离心率的取值范围为.8.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点的直线交椭圆于P,Q两点,且OP丄OQ,则椭圆离心率的取值范围229.如图1210,A,F分别是双曲线的左顶点、右焦点,过点F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P,Q两点.若AP丄AQ,则C的离心率是() B.3段PF与圆2+y2=相切于点Q,.且则双曲线的离心率等于() 2211.已知F1,F2为双曲线的左、右焦点,P为双曲线C右支上一F2,PF1与y轴交于点Q,点M满足2,且MQ丄P则双曲线C的离心率为() B.322O的两条切线,切点分别为A,B,且满足上APB=600,则椭圆的离心率的取值范围是.________22解.22 【解法4】设椭圆的右焦点为F,，易知四边形AFBF,是矩形，令|AF|=m， 解.由题意得OA022 【点拨】利用椭圆上点到原点距离的变化趋势,结合极端情况,得到离心率的不等式巧解.【解法6】因为AF,丄AF,所以四边形AF,BF为矩形,AB又因为AB=2c,所以S△FAB=.2ccosθ.2csinθ=c2sin2θ,2tan45。=b2,所以c2sin2θ=b2,sin 【点拨】利用矩形面积转化成两个焦点三角形面积后确定参数范围.【赏析】【解法1】利用橢圆的对称性,将BF转化为AF,,将AF与AF,用角θ表示,再利用椭圆的定义将离心率e表示为θ的函数,进而求出离心率e的取值范围。应用【解法1】求解时应注意角θ的取值范围.【解法1】体现了函数思想,要求学生有较好的分析能力及化归能力.【解法2】将点A的坐标用角θ表示,然后代入椭圆方程解出cos22利用θ∈求出cos22θ的取值范围,得到关于e2的不等式,结合0<e<1得出e的取值范围.【解法2】利用了点在曲线上即点的坐标满足曲线方程的特征,解题过程中体现了方程思想与化归思想,对学生的运算能力及化归能力有较高的要求,利用余弦函数的有界性将问题转化为不等式问题是解题的关键.【解法3】将直线AB的方程y=kx与圆x2+y2=c2联立,求出x2,y2后代入粗圆方程解出k2后，再结合得出k2,建立关于a,b,c的不等式,结合0<e<1,求出e的取值范围.【解法3】与【解法2】类似,前者利用点的坐标,后者利用斜率k,两者的思想完全相同,恰当合理的转化是解决问题的关键.【解法4】将m,n用θ表示,利用椭圆的定义及△AFF,是直角三角形,将e表示为tanθ的函数,利用对勾函数求解.【解法4】与【解法1】类似,只是对的处理上有所不同.【解法4】利用化切处理再结合均值不等式得解,体现了函数思想与化归思想,在数和式的处理上对学生提出了较高的要求.【解法5】利用极端情况,即上AOx=时的情况,将|OA|2的长度用a,b表示,再结合OA0OA=c得到e.事实上这里也利用余弦定理及勾股定理将AF,AF,用c表示,再结合椭圆定义得解.【解法5】采用“以静制动”的方式处理问题,要求学生具有较好的观察能力与推理能力.【解法6】利用S△AFB=S△AFF,,结合焦点三角形面积公式将sin2θ用-1表示,再利用sin2θ的有界性求出e的取值范围.【解法6】与【解法2】类似,这里利用了正弦函数的有界性,同样要求学生具有较好的分析、解决问题的能力和丰富的函数不等式的知识储备.22【例2】设F是双曲线的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若2AF=FB,则C的离心率是() B.2【解析】【解法1】不妨设直线AB的方程为.将直线AB的方程与渐近线方程联立求出A,B点的坐标,利用距离求解.联立.可得2或b22,【点拨】将直线AB的方程与渐近线方程联立求出A,B点的坐标,利用距离求解.【解法2】不妨设直线AB的方程为联立可得同理可得yB【点拨】将直线AB的方程与渐近线方程联立求出A,B点的坐标,利用纵坐标关系求解.【解法3】由双曲线的性质知,焦点F到渐近线的距离AF=b,因为2AF=FB,所以AB=3AF=,整理得a2【点拨】利用双曲线中a,b,c的几何意义,以及正切函数的定义得到a,b的关系式求解.【解法4】过点F向双曲线的另一条渐近线作垂线,垂足为D,则DF=b,BF=2b.【点拨】由双曲线的对称性,构造含30O角的直角三角形解决问题.【赏析】【解法1】利用坐标法求出直线AB:y=-与浙近线的交点坐标,再利用FB=2AF得到a,b的关系式,进而求出离心率e的值(注意对e进行检验).【解法1】利用———→———→———→——坐标法求解,将2AF=2FB转化为2AF=FB,利用两点间距离进行处理.解题过程中体现了方程思想的运用.本解法思路较为简单,对运算能力要———→———→———→——【解法2】首先求出直线AB与渐近线的交点坐标,然后利用得到yB=-2yA(这里也可以分别过点A,B向x轴作垂线得到),进而得到a,b,c的关系式,解出离心率e.【解法2】较之【解法1】降低了运算量,思路也更为自然,选择纵坐标的运算量明显少于选择横坐标的运算量.解题过程中体现了方程思想,要求学生有较好的运算能力.【解法3】首先将上AOF与上AOB的正切用a,b表示,再利用正切二倍角公式得到a,b之间的关系式,进而求出离心率的值.【解法3】利用了双曲线焦点到渐近线的距离为b的特征,结合图形,巧妙地利用了长度关系及双曲线的对称性.解题过程中体现了数形结合思想与方程思想,对学生的观察能力及分析问题的能力有较高的要求.【解法4】则通过添加辅助线,将“AF与BF”化到同一直角三角形中,利用AF与BF的长度关系及相似、双曲线渐近线的对称性得到上AOF的大小,进而求出离心率,构思巧妙,易于运算.【解法4】与【解法3】类似,但优于【解法3】,可谓把数形结合运用到了极致,对学生分析问题的能力要求很高.22【例3】已知双曲线的两个焦点为F1,F2,若P为双曲线上一点,且PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围为()【解析】当点P在右顶点A处时,θ=π,因为-1cosθ<1,所以(1,3]【点拨】利用双曲线的定义以及余弦定理求出离心率的表达式,由余弦函数的有界性求解.+PF2F1F2(当且仅当P,F1,F2三点共线时等号成立),【点拨】利用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意本题可以取到等号,因为可以三点共线.【点拨】利用焦半径公式,以及右支上的点的横坐标范围构建不等式,确定a与c的关系.【解法4】依题意可知点PF1PFPF2,PFPF1PFPF2PFPF2PF【点拨】利用双曲线右支上的点到焦点的距离的最小值为c一a,得到不等式求解.【点拨】由双曲线的定义,求出PF1=4a,PF2=2a,利用焦点三角形的面积公式通过算两次得到a,c以及两焦半径夹角之间的关系,再利用余弦函数的有界性求解.即3y22因为xa,所以a,解得e3.【点拨】利用两点间距离公式求解.【赏析】【解法1】首先将e表示为再利用余弦定理将iF1F2i用m表示,消去m后将e表示为θ的函数,结合cosθ的取值范围求出e的取值范围.【解法1】体现了函数与方程的思想,利用余弦函数的有界性求出离心率的取值范围,要求学生有较好的化归能力.【解法2】利用了三角形的三边关系.应注意利用两边之和与第三边的关系只能求出离心率的上界,不能求出下界,还要借助双曲线离心率大于1的特征得出离心率的取值范围.【解法2】的运算量较小,思路也较为简单,对本题是一种较为实用的方法.【解法3】利用㸚曲线焦半径公式,建立a,c的不等关系求解.【解法3】体现了方程思想,借助双曲线性质中的范围,建立关于e的不等关系得到e的上界,再结合e>1得解.【解法3】思路较为简单,利用范围建立不等式的方法也是通法,学生较易想到此种方法.【解法4】由双曲线上任一点到焦点的距离的最小值为c-a,建立a,c的不等关系求解.【解法4】与【解法3】类似,只是将点的范围代换为PF2的范围,而这里PF2的范围则利用双曲线的定义得到.【解法4】也是常见的解题思路,只要掌握基础知识与基本方法即可.【解法5】首先利用双曲线的定义将PF1,PF2用a表示,然后利用焦点三角形面积及余弦函数的有界性求解.面积法也是解决圆锥曲线问题的常见方法,【解法5】对学生代数式的处理能力及三角恒等变换能力要求较高.【解法6】利用两点间距离公式及y20求出x的取值范围,再利用xa及e>1求出e的取值范围.有界性是处理离心率范围问题的常见方法.通过解不等式得到xa,这是建立不等关系的关键.22【例4】已知双曲线的左焦点为F,若双曲线右支上存在点P,使得线段PF的中点Q仍在双曲线上,则双曲线离心率的取值范围是.【解析】【解法1】设P(x,y),依题可知xa,因为F(-c,0),所以PF的中点Q的坐标为因为点Q在双曲线上,所以因为点P在双曲线上,所以两式联立消去y得解得,所以a,又因为整理可得e3.【点拨】利用点在双曲线上,以及右支上点的横坐标的范围求解.【解法2】因为Q为FP的中点,O为FF2的中点,结合双曲线的第一定义可得QF-QO=a,所以点Q在以F,O为焦点,长轴长为a的双曲线上,即点Q在双曲线向左平移个单位长度所得双曲线的右支上,其右顶点的横坐标为由题意知存在点P的条件是两条双曲线有交点,所以--a,解得e3.【点拨】利用双曲线定义、三角形中位线定理,以及两双曲线有交点的条件解题.【解法3】设双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F2,不妨设点F,P,Q在直线l上,依双曲线的对称性可知,只需考虑直线的斜率0<k<即可，直线l绕点F逆时针旋转,即当k从0逐渐增大时逐渐减小,若要满足Q仍为FP中点,则只需即可,即,解得e3.【点拨】利用几何动态变化,观测的变化趋势，得到不等式求解.由PQ+PF2QF2得m2a,即c-a2a,解得e3.【点拨】利用双曲线的定义以及三角形不等式求解.【解法5】设上PFx=θ,FQ=r,由双曲线的第二定义,两式相减消去r得cosθ=1,所以e3.e【点拨】利用双曲线第二定义,以及余弦函数的有界性求解.【赏析】【解法1】利用点在曲线上进行解答.条件中曲线上存在点满足关系式的题目均可使用此解法.【解析】【解法1】利用了坐标法,结合xa建立关于e的不等式后得解,是处理离心率取值范围问题的常见方法.【解法2】考虑Q点所满足的方程和双曲线方程的关系进而求解,方法独特.【解法2】体现了数形结合法的优越性,对能力要求较高.【解法3】利用直线斜率的变化情况,判断结论的临界取值,是解答小题的一种策略.【解法3】体现了数形结合思想.【解法4】有效利用平面几何中的三角形边长关系,简洁明快.两边之和与第三边的关系是建立不等式的常见思路.【解法5】利用双曲线的横坐标公式与余弦的有界性求解,运算量较小.22【例5】设P为双曲线上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,若△PF1F2的内切圆的直径为a,则双曲线C的离心率的取值范围为()B.CD.)【解析】【解法1】如图12-5,不妨设点P(x0,y0)在第一象限,设△PF1F2的内切圆I与三边分别切于点M,N,T,则有PM=PN,F1M=F1T,F2N=F2T,由双曲线定义有PF1-PF2=2a，2所以FM1FM-F2N所以FT-FT所以点T在双曲线上,即点T为双曲线的右顶点,所以内切圆圆心I横坐标为a,所以△PF1F2的内切圆圆心坐标为.当x0趋向无穷大时,PF1几乎与渐近线x平行,设渐近线x的倾斜角为θ,切线PF1的倾斜角为α,则α<θ. 5【点拨】利用双曲线定义,以及角的特点得到不等关系.【解法2】不妨先固定a,由【解法1】知内切圆切于顶点T(a,0),内切圆圆心为当焦点F2远离顶点T时,双曲线离心率越来越大,当焦点F2接近顶点T时,离心率越来越小,其临界状态为MF1//NF2.F2上IF1FF所以所以4c2-4a2=a2,【点拨】固定a,分析F2变化时离心率的变化规律，得到当MF1//NF2时为e的极小值位置(不能取到).【解法3】不妨设点P(x0,y0)在第一象限,因为△PF1F2的内切圆半径为,又PF1-PF2=2a,所以=c.y0,所以-a-c,又因为所以又点P(x0,y0)在双曲线上,所以=1,消去y0,有b2x2=a2b2,整理得到4b2-a2)x-2a3x0-a4-4a2b2=0.所以关于x0的方程(4b2-a2)x-2a3x0-a4-4a2b2=0在[a,+∞)上有解.令f(x)=(4b2-a2)x2-2a3x-a4-4a2b2,5,此时f=-2a3x-a4-4a2b2<0恒成立,方程f(x)=0在[a,+∞)上无解,故舍去;当4b2-a2<0时,f(x)=(4b2-a2)x2-2a3x-a4-4a2b2<0恒成立,方程f(x)=0在[a,+∞)上无解,故舍去;当4b2-a2>0时,注意到f(a)=-4a4<0,抛物线开口向上,此时f(x)=0在[a,+∞)上有选A.【点拨】利用函数与方程思想,转化为方程解的问题.【赏析】如果题目涉及焦点三角形,常常运用圆锥曲线的定义,结合图形借助平面几何知识寻求不等关系,如【解法1】利用角度之间的关系,结合三角恒等变换,得到a,c的不等关系.【解法1】体现了数形结合思想与方程思想,对能力要求较高.极端分析就是将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而迅速解决问题.对于计算量大的题,有时采用极端分析,就能较快地解决问题,如【解法2】.利用圆锥曲线横坐标或纵坐标自身的限制条件,例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕“在曲线上存在一点”展开,则可考虑将该点坐标用a,b,c表示,且点坐标的范围限制就是求离心率范围的突破口,或转化为一元二次方程在某个区间内有解,如【解法3】.【例6】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2,曲线C1,C2的一个交点为P,且PFPF2,则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是()【解析】【点拨】采用特例排除法解题.【解法2】不妨设椭圆C1的方程为双曲线C2的方程为=1,点P在第一象限,半焦距为c,,所以PF12+PF22=4c2,【点拨】利用椭圆与双曲线的定义,借助勾股定理求解.【解法3】设椭圆C1的方程为双曲线C2的方程为如图12-7,由焦点三角形的面积公式,在椭圆中有:在双曲线中有:故选D.【点拨】利用椭圆、双曲线焦点三角形的面积公式求解.Fθ,则故选D.利用椭圆及双曲线的定义及正弦定理.【赏析】【解法1】取特例,对选项进行检验排除,可以快速地得到答案.作为选择题,如果能用特例进行排除,可以提高准确率.【解法1】体现了特殊化方法的优势.【解法2】是求解圆锥曲线离心率的常用方法,利用圆锥曲线定义结合平面几何知识,从几何关系寻求a,c的关系式.分析图形的几何特征,利用几何关系建立关于a,b,c的方程是解决离心率问题的常见策略.【解法2】体现了方程思想的运用,对代数式的恒等变形能力要求较高.【解法3】利用椭圆与双曲线焦点三角形的面积公式,得到曲线之间的关系.椭圆焦点三角形面积:S△P=b2tan体现了方程思想与化归思想的运用,要求学生具有较好的分析、解决问题的能力.【解法4】对代数式的恒等变形要求较高.强化训练221.如图128,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2MF=FFFF C.2 D.3【解析】易得直线F1B的方䅣为x+b,则Q则PQ的中点N的坐标为中垂线方程为由题意得2.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且上则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()由余弦定理得s2=m2+n2-m223.如图12-9,已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,F1F2=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若PQ=2,则该双曲线的离心率为() A.·2B.3C.2D.3【解析】如答图12-1所示,设直线AF1,AF2与A.·2B.3C.2D.3由F224.已知点P在y轴上,点A,F2分别为双曲线一的右顶点及右焦点,且PA与PF2的夹角为则此双曲线离心率e的最小值为_________.【解析】如答图12一2,以AF2为半径作圆M,上AM.欲使y轴上存在点P,使得即3ac,所以e3.故离心率e的最小值为3.225.设F是双曲线一的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于点N,若3则双曲线C的离心率是.【解析】由题意得右焦点F(c,0),设一渐近线OM的方程为y=x,则另一渐近线ON的方程为x,设M所以c,n=2c,M 226.已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若【解析】点A与B关于原点对称,所以点B在椭圆上,AF'+|AFAF'+|AF|O为RtΔABF的斜边中点,所以|AB|=2c,又因为|AF|=2ccosα(2把(2)(3)代人(1)得2csinα+2ccosα=2a,所以·2·6所以e.