2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学二模试卷

2023年江苏省淮安市淮阴区中考数学二模试卷一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B． C．0 D．62．（3分）下列各式计算结果为a5的是（）A．a3+a2 B．a3×a2 C．（a2）3 D．a10÷a23．（3分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）A．220，220 B．210，215 C．210，210 D．220，2155．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A． B．1 C． D．26．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数为（）A．36° B．46° C．54° D．42°7．（3分）关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（）A． B． C．2 D．38．（3分）将一根16cm长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为xcm，底边长为ycm，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（3分）分解因式：2x2﹣18＝．11．（3分）已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是．12．（3分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同．以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，则1张奖券中奖的概率为．13．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为．14．（3分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝．15．（3分）如图，直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，若△OAC的面积为5，则k的值为．16．（3分）如图所示，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝8，则AC的长为．三、解答题。（本大题共11小题，共102分。）17．（8分）计算：（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）；（2）．18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．19．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图（不完整）．（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．20．（8分）4月9日，2023淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛（淮安站）在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为；（2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．21．（8分）点M、N分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CM＝CN，求证：AM＝AN；（2）判断命题“若AM＝AN，则CM＝CN”的真假，若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．（1）请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF＝180°（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AD＝12，AE＝5，则CF的长为．24．（10分）如图1，在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B、A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC，完成下列任务：（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．①若∠P＝20°，则∠BDC＝°；②若⊙O的半径为13，BE＝8，求PB的长．25．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；②若点P在y轴左侧时，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写出点P的坐标．27．（12分）【探究发现】（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接CH，由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为，位置关系为．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K，试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一动点，连接BE交AD于点F．①若BF＝AC，求AE的长度；②在射线AD上取一点G，且，连接BG，求4BE+5BG的最小值．参考答案与试题解析一、选择题。（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B． C．0 D．6【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得6＞＞0＞﹣2，故四个数中，最大的数是6．故选：D．2．（3分）下列各式计算结果为a5的是（）A．a3+a2 B．a3×a2 C．（a2）3 D．a10÷a2【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．a3×a2＝a5，故本选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；故选：B．3．（3分）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形；故选：D．4．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）A．220，220 B．210，215 C．210，210 D．220，215【解答】解：数据210出现了4次，最多，故众数为210，共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220，故中位数为（210+220）÷2＝215．故选：B．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（）A． B．1 C． D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC的度数为（）A．36° B．46° C．54° D．42°【解答】解：∵∠ADC＝54°，∴∠ABC＝∠ADC＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣54°＝36°，故选：A．7．（3分）关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（）A． B． C．2 D．3【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝3，∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），∵AB⊥y轴，∴B点的纵坐标为﹣3，将y＝﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3，得：﹣3＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝0，x2＝2，∴B（2，﹣3），∴AB＝2．故选：C．8．（3分）将一根16cm长的细铁丝折成一个等腰三角形（弯折处长度忽略不计），设腰长为xcm，底边长为ycm，则下列选项中能正确描述y与x函数关系的是（）A． B． C． D．【解答】解：由已知y＝16﹣2x，由三角形三边关系得：，解得：4＜x＜8，故选：D．二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣3．【解答】解：由题意得：3+x≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．10．（3分）分解因式：2x2﹣18＝2（x+3）（x﹣3）．【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）11．（3分）已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是18π．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为6的等边三角形，∴底面半径＝3，底面周长＝6π，∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18π．故答案为：18π．12．（3分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同．以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，则1张奖券中奖的概率为．．【解答】解：∵以每10000张奖券为一个开奖单位，设一等奖100名，二等奖300名，三等奖600名，∴一张奖券中奖概率为＝．故答案为：．13．（3分）如图，已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝45°），其中点B在直线n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为20°．【解答】解：作直线CE∥m，∵直线m∥n，∴直线CE∥m∥n，∴∠ACE＝∠2，∠BCE＝∠1＝25°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE+∠BCE＝45°，∴∠ACE＝20°，∴∠2＝20°，故选：20°．14．（3分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝．【解答】解：将代入原方程组得：，解得：，∴a﹣b＝﹣＝．故答案为：．15．（3分）如图，直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥AB交y轴于点C，若△OAC的面积为5，则k的值为8．【解答】解：作AD⊥y于点D，∵AC⊥AB，∴AD2＝OD•CD，∵直线y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，∴点A与点B关于原点成中心对称．设B（m，2m），则A（﹣m，﹣2m），∴AD＝m，OD＝2m，∴m2＝2m•CD，∴CD＝，∴OC＝，∵△OAC的面积为5，∴，∴m＝2（舍去﹣2），∴B（2，4），k＝2×4＝8．故答案为：8．16．（3分）如图所示，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝8，则AC的长为6．【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝8，∴DF＝4，AF＝＝4，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC＝AF＝×4＝6．故答案为：6．三、解答题。（本大题共11小题，共102分。）17．（8分）计算：（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）；（2）．【解答】解：（1）（a﹣1）2+a（2﹣a）＝a2﹣2a+1+2a﹣a2＝1；（2）＝1+（﹣2）+2＝1+（﹣2）+2＝1．18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．【解答】解：＝÷﹣＝•﹣＝﹣＝＝，当a＝5时，原式＝＝．19．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成统计图（不完整）．（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；（3）若该校共有学生4000人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．【解答】解：（1）交通监督所在扇形的圆心角度数是：360°×＝97.2°；（2）200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人），补全折线统计图如下：（3）4000×（1﹣30%﹣5%﹣）＝1520（人），答：估计该校选择文明宣传的学生人数有1520人．20．（8分）4月9日，2023淮安西游乐园淮安马拉松赛暨大运河马拉松系列赛（淮安站）在淮安举办，15000名跑者共同组成春日淮安“醉美”的一道风景．赛事共有三项：A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”．小华和小明参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“健康跑”项目组的概率为；（2）请利用树状图或表格求小华和小明被分配到不同项目组的概率．【解答】解：（1）∵从A．“马拉松”、B．“半程马拉松”、C．“健康跑”3种等可能出现的结果中，小明被分配到“健康跑”项目组的只有1种，∴小明被分配到“健康跑”项目组的概率为，故答案为：；（2）画树状图法如下：共有9种等可能出现的结果，其中小华和小明被分配到不同项目组的有6种，所以小华和小明被分配到不同项目组的概率为＝．21．（8分）点M、N分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CM＝CN，求证：AM＝AN；（2）判断命题“若AM＝AN，则CM＝CN”的真假，若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【解答】解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACM＝∠ACN，在△ACM与△ACN中，，∴△ACM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，（2）当AM＝AN＝AN'时，CM≠CN'，如备用图，所以命题“若AM＝AN，则CM＝CN”是假命题．22．（10分）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG＝＝＝0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．23．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．（1）请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF＝180°（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AD＝12，AE＝5，则CF的长为．【解答】解：（1）过C作CF⊥DE于F，如图：点F即为所求；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵∠EFC＝90°，∴∠BEF+∠BCF＝360°﹣90°﹣90°＝180°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝12，∠A＝90°，∴DE＝＝＝13，∴cos∠ADE＝＝，∵∠ADE＝90°﹣∠CDF＝∠DCF，∴cos∠DCF＝，∴＝，∴CF＝．故答案为：．24．（10分）如图1，在⊙O外取一点P，作直线PO分别交⊙O于B、A两点，先以点P为圆心，PO的长为半径画弧，再以点O为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点Q，连接OQ，交⊙O于点C，连接PC，完成下列任务：（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，继续作点C关于直线AB的对称点D，连接CD，交AB于点E，连接BD．①若∠P＝20°，则∠BDC＝35°；②若⊙O的半径为13，BE＝8，求PB的长．【解答】解：（1）由题意得：OP＝PQ，OQ＝AB，连接PQ，∵AB是直径，∴OQ＝AB＝2OC，即点C是OQ得中点，又∵OP＝PQ，即△OPQ是等腰三角形，∴∠PCO＝90°（三线合一），∴PC与⊙O相切；（2）①∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∵点C与点D关于AB的对称，∴CD⊥AB，OC＝OD，∴∠BOC+∠OCD＝90°，点D在圆上，∴∠PCD＝∠BOC，∵∠BOC＝2∠BDC，∴∠PCD＝2∠BDC；又∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD＝90°，∵∠P＝20°，∴∠PCD＝70°，∴∠BDC＝∠PCD＝35°，故答案为：35；②∵OB＝13．BE＝8，∴OE＝OB﹣OE＝5．∵∠OCP＝∠OEC＝90°，∠COP＝∠EOC，∴△OCP∽△OEC，∴，即，∴OP＝，∴PB＝OP﹣OB＝﹣13＝．25．（10分）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出（20a+200）顶，由题意得：（120﹣a﹣80）（20a+200）＝12000，解得a＝10或a＝20，当a＝10时，售价为120﹣10＝110＞108，不符题意，舍去，当a＝20时，售价为120﹣20＝100＜108，符合题意，答：每顶头盔应降价20元；（2）设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可售出[20（120﹣x）+200]顶，且80≤x≤108，由题意得：w＝[20（120﹣x）+200]（x﹣80），整理得：w＝﹣20（x﹣105）2+12500，由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x＝105时，w取最大值12500，12500×4＝50000（元），答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是50000元．26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；②若点P在y轴左侧时，直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（1，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+x+c，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3；（2）设P（t，t2+t﹣3），则D（t，0），①∵点P在第三象限，∴PD＝﹣t2﹣t+3，过点C作CE⊥PD于点E，如图1，则∠PEC＝90°，∵C（0，﹣3），∴CE＝﹣t，PE＝﹣3﹣（t2+t﹣3）＝﹣t2﹣t，∵＝tan∠CPD＝，∴PE＝2CE，即﹣t2﹣t＝﹣2t，解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴P（﹣，﹣）；②在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，得x2+x﹣3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（﹣4，0），∵C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，设点P（m，m2+m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），当点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，如图2，∵点E与E′关于PC对称，∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠E′CP，∴∠ECP＝∠EPC，∴PE＝CE，∵EF∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝﹣m，∵PE＝（﹣m﹣3）﹣（m2+m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，∴P（﹣，﹣）；当点P在第二象限时，同理可得：m2+3m＝﹣m，∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，∴P（﹣，），综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．27．（12分）【探究发现】（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接CH，由∠ADB＝∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为AB＝CH，位置关系为AB∥C