2025优化设计一轮第1讲　万有引力定律及其应用

第五章万有引力与航天第1讲万有引力定律及其应用基础对点练题组一开普勒行星运动定律1.科幻电影引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动,最终离开太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动,地球到太阳的最近距离仍为R,最远距离为7R(R为加速前地球与太阳间的距离),则在该轨道上地球公转周期将变为()A.8年 B.6年 C.4年 D.2年2.(2023浙江义乌高三三模)2023年4月14日,我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放,实现了数据共享,体现了大国担当。如图所示,“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动,圆的半径与椭圆的半长轴相等,两轨道相交于A、B两点,某时刻两卫星与地球在同一直线上,下列说法不正确的是()A.两卫星在图示位置的速度v1<v2B.两卫星在A处的加速度大小相等C.两颗卫星在A或B点处不可能相遇D.两颗卫星的运动周期相等3.北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球,地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气如图所示,下列说法正确的是()A.夏至时地球的运行速度最大B.从冬至到春分的运行时间为地球公转周期的1C.太阳既在地球公转轨道的焦点上,也在火星公转轨道的焦点上D.若用a代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,a3T2=k题组二万有引力定律4.有质量的物体周围存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律,因此我们可以用定义静电场的电场强度的方法来定义引力场的场强。由此可得,质量为m的质点在质量为m0的物体处(二者间距为r)的引力场场强的表达式为(引力常量用G表示)()A.Gm0r2 B.Gmr2 C.G5.某类地天体可视为质量分布均匀的球体,由于自转的原因,其表面“赤道”处的重力加速度为g1,“极点”处的重力加速度为g2,若已知自转周期为T,则该天体的半径为()A.4π2gC.(g2-题组三天体质量和密度的计算6.2022年8月10日,我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空,卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道,发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异,高度不同,通过测量发现,它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比,且比例系数为p。已知引力常量为G,由此可知地球的质量为()A.2πpG B.4πpG7.(2023天津宝坻二模)航天员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球,测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R,引力常量为G。忽略月球自转的影响,则下列说法正确的是()A.月球表面的重力加速度g月=ℎB.月球的质量m月=ℎC.月球的第一宇宙速度v=vD.月球的平均密度ρ=3综合提升练8.(2024福建福州模拟)某国际团队发现了3颗隐藏在太阳强光中的近地小行星,将其中一颗命名为2021PH27。在一年中的前5个节气间该小行星的位置如图所示。已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的215,一年近似取360天,可近似认为24个节气在一年内均匀分布。可能用到的数据:317=0.52,319=0.48,31A.1156∶25 B.169∶5C.961∶25 D.1521∶1009.假定地球为密度均匀分布的球体,球半径为R。某单摆在地面处做简谐运动的周期T1与在某矿井底部做简谐运动的周期T2之间满足T1=kT2(0<k<1)。忽略地球的自转,已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零,则该矿井底部离地面的距离为()A.(1-k)R B.1-C.kR D.kR10.已知地球半径为R,月球半径为r,地球与月球之间的距离(两球中心之间的距离)为L。月球绕地球公转的周期为T1,地球自转的周期为T2,地球绕太阳公转周期为T3,假设公转运动都视为圆周运动,引力常量为G,由以上条件可知()A.月球运动的加速度为a=4B.月球的质量为m月=4C.地球的密度为ρ=3D.地球的质量为m地=411.同步卫星距地面高度为h,地球表面重力加速度为g,地球半径为R,地球自转周期为T1,近地卫星周期为T2,引力常量为G,则下列关于地球质量及密度表达式正确的是()A.地球的质量为4B.地球的质量为gC.地球的平均密度为3D.地球的平均密度为312.(多选)(2023陕西汉中模拟)将“天问一号”绕火星表面的运动近似看成匀速圆周运动,它的运动周期为T;未来,航天员登陆火星,并在火星表面以大小为v0的速度竖直向上抛出一小球,小球经时间t落回抛出点,不计火星表面的空气阻力。若火星的半径为R,忽略自转的影响,引力常量为G。则下列判断正确的是()A.火星表面的重力加速度g=vB.火星的质量为m0=4C.火星的平均密度为ρ=3D.火星的第一宇宙速度v=213.(2024北京西城模拟)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化,怀疑地下有空腔区域,进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气,如图所示,假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ,天然气的密度远小于ρ,可忽略不计,如果没有该空腔,地球表面正常的重力加速度大小为g;由于空腔的存在,现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1),已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为d,则此球形空腔的体积是()A.kgdGρ B.C.(1-k14.某实验小组设计了用单摆测量海底深度的实验。在静止于海底的蛟龙号里,测得摆长为l的单摆,完成N次全振动用时为t。设地球为均质球体,半径为R,地球表面的重力加速度大小为g。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。则下列说法正确的是()A.此海底处的重力加速度大于地球表面的重力加速度B.此海底处的重力加速度为无穷大C.此海底处的深度为h=4πD.此海底处的重力加速度大小为4

参考答案第五章万有引力与航天第1讲万有引力定律及其应用1.A解析由开普勒第三定律得R3T2=R+7R232.A解析v2为椭圆轨道的远地点,速度比较小,v1表示匀速圆周运动的速度,故v1>v2,故A错误;两卫星在A点,所受万有引力提供向心力,即Gm0mr2=ma,解得a=Gm0r2,故加速度大小相等,故B正确;椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同,根据开普勒第三定律可知,两卫星的运动周期相等,则不会相遇,故3.C解析由开普勒第二定律可知,地球在近日点运行速度最大,在远日点运行速度最小,夏至时地球在远日点,运行速度最小,A错误;根据对称性可知,从冬至到夏至的运行时间为地球公转周期的一半,由开普勒第二定律可知,从冬至到春分的运行速度大于从春分到夏至的运行速度,故从冬至到春分的运行时间小于地球公转周期的14,B错误;地球和火星都是绕太阳运行的行星,由开普勒第一定律可知太阳既在地球公转轨道的焦点上,也在火星公转轨道的焦点上,C正确;若用a代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,由开普勒第三定律可知,所有绕太阳运行的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等,即a3T2=k,地球和火星都是绕太阳运行的行星,对应的4.B解析万有引力公式与库仑力公式是相似的,分别为F引=Gm0mr2,F电=kQqr2,真空中,电荷量为Q的点电荷在距它r处所产生的电场强度被定义为试探电荷q在该处所受的库仑力与其电荷量的比值,即E=F电q=kQr2,与此类比,质量为m的质点在距它r处所产生的引力场场强就可定义为质量为m0的物体在该处所受的万有引力与其质量的比值,即5.C解析在“极点”处有mg2=Gm0mR2;在其表面“赤道”处有Gm0mR2-mg1=m6.C解析卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,有Gm0mr2=mr2πT2,又由开普勒第三定律可知r37.D解析根据平抛运动规律有L=v0t,h=12g月t2,联立解得g月=2ℎv02L2,故A错误;由mg月=Gmm月R2得,m月=g月R2G=2ℎv02R2L2G,8.C解析一年共有24个节气,则相邻两节气的间隔约15天,故立春到清明总共相差约60天,又小行星2021PH27在椭圆轨道上绕太阳运动,则小行星的运动周期约为120天。小行星2021PH27和地球均绕太阳运动,设小行星轨道的半长轴为a,地球的轨道半径为R,由开普勒第三定律有a31202=R33602,可得a=319R=0.48R,已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的215,即r近=215R,则小行星2021PH27远日点到太阳的距离约为r远=2a-r近=2×0.48R-215R=629.A解析球壳部分对物体的万有引力为0,则矿井内重力加速度g=Gm井(R-d)2,其中m井=ρ·43π(R-d)3,则g=43πρG(R-d),地面处重力加速度g0=43πρGR,则gg0=R-dR,根据单摆周期公式可知T1=2πLg0,T2=2πL10.A解析由月球绕地球做圆周运动有Gm地m月L2=m月a=m月4π2T12L,解得a=4π2LT12,故A正确;根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去,所以无法求出,故B错误;由月球绕地球做圆周运动有Gm地m月L2=m月4π2T111.B解析同步卫星周期与地球自转周期相同,为T1,则有Gm0mR+ℎ2=m4π2T12R+ℎ,解得地球质量m0=4π2R+ℎ3GT12,则地球的平均密度ρ=m0V=m04πR33=3πR+ℎ3GT12R3,故12.BD解析由竖直上抛时间的对称性可知,上升时间为t2,火星表面的重力加速度g=v0t2=2v0t,故A错误;设天问一号的质量为m,由Gm0mR2=m2πT2R,解得m0=4π2R3GT2,故B正确;忽略火星自转,质量为m1的物体,火星表面重力和万有引力相等,m1g=Gm0m1R2,13.D解析如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值,因此,如果将空腔填满,地面质量为m的物体的重力