《信号与系统分析》高教出版社教学课件

1第6章连续信号的傅里叶级数分析三角型和指数型傅里叶级数。理解周期信号频谱的概念。绘制周期信号的单边和双边离散频谱。周期信号的分解与合成以及吉布斯现象。确定傅里叶系数与周期信号对称的关系。应用傅里叶级数分析系统。16.1三角型傅里叶级数傅里叶系数的计算2周期信号可分解为是n

的偶函数是n

的奇函数基波频率周期三角型傅里叶级数简洁形式3或是n

的偶函数是n

的奇函数n次谐波分量直流分量任意周期信号可以分解为直流和各次谐波之和

例6.1

求如图所示周期信号的傅里叶级数。4解基波频率，f(t)的平均值是每个周期的平均面积，即例6.15傅里叶单边频谱傅里叶级数幅度An与n的关系图称为幅度频谱,相位

n与n的关系图称为相位频谱。两个图合称为单边频谱。n正比于频率n

0，所以频率的间隔是基波频率

0。这种频谱图是离散的。

例6.2

一个周期信号表示成三角型傅里叶级数为画出f(t)的幅度频谱和相位频谱。解首先将同频率的正弦信号合并，即将sin项转换成cos项，有例6.2例6.3

求如图所示周期信号的简洁三角型傅里叶级数。解

周期T0=

，基波频率

0=2/T0=2rad/s，所以

例6.3因此，简洁三角型傅里叶级数为例6.3计算出前4次谐波的表达式是计算机例题C6.1用MATLAB的符号计算方法可计算例6.3的傅里叶系数，根据计算出的系数画出单边幅度频谱和相位频谱。程序symstna0=1/pi*int('exp(-t/2)',0,pi);a_0=subs(a0);an=2/pi*int('exp(-t/2)*cos(2*n*t)',0,pi);bn=2/pi*int('exp(-t/2)*sin(2*n*t)',0,pi);n=1:10;a_n=subs(an);b_n=subs(bn);A_n=sqrt(a_n.^2+b_n.^2);P_n=atan2(-b_n,a_n)*180/pi;n=[0,n];A_n=[a_0,A_n];P_n=[0,P_n];subplot(2,1,1);stem(n,A_n,'fill');ylabel('An');xlabel('n')subplot(2,1,2);stem(n,P_n,'fill');ylabel('\phi_n(度)');xlabel('n')disp('nAn(幅值)相位(度)');disp([num2str([n',A_n',P_n'])])程序运行结果傅里叶系数>>nAn(幅值)相位(度)00.50428010.244611

-75.963820.125096-82.87530.0837563-85.236440.0629122-86.423750.050365-87.137660.0419869-87.614170.035997-87.954680.0315021-88.210190.0280047-88.4089100.0252061-88.5679周期信号的分解与合成计算机例题C6.2考虑例6.1的傅里叶级数，当最高谐波次数为3，9和17的合成波形。n_max=[3917];N=length(n_max);t=linspace(-1,1,500);f=square(2*pi*t)w0=2*pi;fork=1:Nn=[];n=[1:2:n_max(k)];b_n=4./(pi*n);

x=b_n*sin(w0*n'*t);

subplot(N,1,k),plot(t,f,'r:',t,x,'linewidth',2);title(['最高谐波次数=',num2str(n_max(k))]);endxlabel('Time(sec)')例6.1波形傅里叶级数的部分和156.2指数型傅里叶级数16偶函数；奇函数6.2指数型傅里叶级数17令：表明任意周期信号可以表示成的线性组合，加权因子为。称为指数型傅里叶系数

傅里叶系数间的关系18指数型傅里叶系数

傅里叶系数间的关系19傅里叶级数的各系数的关系为

：周期信号的对称性与傅里叶系数的关系纵轴对称（偶函数）20只含常数和余弦项。为偶函数；为奇函数；周期信号的对称性与傅里叶系数的关系原点对称（奇函数）21为奇函数；为偶函数；只含正弦项。周期信号的对称性与傅里叶系数的关系22半周镜象对称（奇谐函数）无偶次谐波，只有奇次谐波

0=2/T0周期信号的对称性与傅里叶系数的关系半周重迭（偶谐函数）23无奇次谐波，只有直流(常数)和偶次谐波。实际周期T0/2傅里叶级数包括了基波频率

0的偶倍数次周期信号的对称性与傅里叶系数的关系删除直流分量可显示隐藏的对称性24根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。补充例题1周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。

(A)

余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。25偶函数：只含余弦项；半周重叠：只含偶次谐波和直流C补充例题2周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。

(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。

26奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：只含奇次谐波B补充例题3

已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；27解：波形纵轴对称；半周重叠。补充例题3

已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；28解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。补充例题3

已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波；29解：波形纵轴对称。周期信号的功率与Parseval定理30

这就是Parseval定理的定义6.3周期信号的频谱分析31若周期信号为f(t)，周期为T0，其指数形式为称为f(t)的频谱;显然，在处有意义，即不连续，故称为离散频谱。频谱的概念将各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律用图形的形式表示出来，这就是频谱图。通常称Fn或An为f(t)的频谱。幅度频谱和相位频谱描述的是每个谐波的幅度与相位。单边频谱指的是当n>0时(正频率)An和

n的图形表示双边频谱指的是当n为任何值时(所有频率，正的和负的)Fn和

n的图形表示32计算机例题C6.4用MATLAB的符号计算方法计算例6.3的指数型傅里叶系数，根据计算出的系数画出双边幅度频谱和相位频谱。程序symstnFn=1/pi*int('exp(-t/2)*exp(-j*2*n*t)',0,pi);n=-10:10;F_n=subs(Fn);Fm=abs(F_n);Fp=angle(F_n)*180/pi;subplot(2,1,1);stem(n,Fm,'fill');ylabel('|Fn|');xlabel('n')subplot(2,1,2);stem(n,Fp,'fill');ylabel('\angleFn(度)');xlabel('n')disp('nFn(幅值)相位(度)');disp([num2str([n',Fm',Fp'])])MATLAB画出的双边频谱图补充例题4已知时间函数画频谱图35