2023-2024学年【首发】广东省深圳市中考数学最后一模试卷含解析_第1页
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文档简介

2023-2024学年【首发】广东省深圳市中考数学最后一模试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.方程组的解x、y满足不等式2x﹣y>1,则a的取值范围为()A.a≥ B.a> C.a≤ D.a>2.已知,则的值为A. B. C. D.3.已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20° B.30° C.45° D.50°4.由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图,如图所示,则搭成该几何体的小正方形的个数最少是()A.4 B.5 C.6 D.75.下列说法正确的是()A.“买一张电影票,座位号为偶数”是必然事件B.若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=0.3,S乙2=0.1,则甲组数据比乙组数据稳定C.一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5D.一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是56.《九章算术》中有这样一个问题:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”题意为:今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也能为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y,则列方程组为()A. B.C. D.7.如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是()A. B. C. D.8.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m<﹣1 B.m<1 C.m>﹣1 D.m>19.下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况,下列说法不合理的是()A.2011﹣2014年最高温度呈上升趋势B.2014年出现了这6年的最高温度C.2011﹣2015年的温差成下降趋势D.2016年的温差最大10.如图,AD为△ABC的中线,点E为AC边的中点,连接DE,则下列结论中不一定成立的是()A.DC=DE B.AB=2DE C.S△CDE=S△ABC D.DE∥AB二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则________.12.计算:___________.13.如图,在中,AB为直径,点C在上,的平分线交于D,则______14.因式分解:x2﹣4=.15.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为_____.16.计算:|﹣3|+(﹣1)2=.17.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……,依次下去.则点B6的坐标____________.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(0,4),B(2,0),C(-2,0)三点.(1)求二次函数的表达式;(2)在x轴上有一点D(-4,0),将二次函数的图象沿射线DA方向平移,使图象再次经过点B.①求平移后图象顶点E的坐标;②直接写出此二次函数的图象在A,B两点之间(含A,B两点)的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.19.(5分)将如图所示的牌面数字分别是1,2,3,4的四张扑克牌背面朝上,洗匀后放在桌面上.从中随机抽出一张牌,牌面数字是偶数的概率是_____;先从中随机抽出一张牌,将牌面数字作为十位上的数字,然后将该牌放回并重新洗匀,再随机抽取一张,将牌面数字作为个位上的数字,请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率.20.(8分)如图所示,平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数的图象与x轴交于、B两点,与y轴交于点C;(1)求c与b的函数关系式;(2)点D为抛物线顶点,作抛物线对称轴DE交x轴于点E,连接BC交DE于F,若AE=DF,求此二次函数解析式;(3)在(2)的条件下,点P为第四象限抛物线上一点,过P作DE的垂线交抛物线于点M,交DE于H,点Q为第三象限抛物线上一点,作于N,连接MN,且,当时,连接PC,求的值.21.(10分)在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,现将纸片折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,连接DF.(1)说明△BEF是等腰三角形;(2)求折痕EF的长.22.(10分)中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情,为了引导学生“多读书,读好书“,某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查,整理调查结果发现,学生课外阅读的本书最少的有5本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了不完整的图表,如图所示:本数(本)频数(人数)频率5a0.26180.1714b880.16合计50c我们定义频率=,比如由表中我们可以知道在这次随机调查中抽样人数为50人课外阅读量为6本的同学为18人,因此这个人数对应的频率就是=0.1.(1)统计表中的a、b、c的值;(2)请将频数分布表直方图补充完整;(3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数;(4)若该校八年级共有600名学生,你认为根据以上调查结果可以估算分析该校八年级学生课外阅读量为7本和8本的总人数为多少吗?请写出你的计算过程.23.(12分)综合与实践﹣﹣旋转中的数学问题背景:在一次综合实践活动课上,同学们以两个矩形为对象,研究相似矩形旋转中的问题:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它们各自对角线的交点重合于点O,连接AA′,CC′.请你帮他们解决下列问题:观察发现:(1)如图1,若A′B′∥AB,则AA′与CC′的数量关系是______;操作探究:(2)将图1中的矩形ABCD保持不动,矩形A′B′C′D′绕点O逆时针旋转角度α(0°<α≤90°),如图2,在矩形A′B′C′D′旋转的过程中,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;操作计算:(3)如图3,在(2)的条件下,当矩形A′B′C′D′绕点O旋转至AA′⊥A′D′时,若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的长.24.(14分)已知,在菱形ABCD中,∠ADC=60°,点H为CD上任意一点(不与C、D重合),过点H作CD的垂线,交BD于点E,连接AE.(1)如图1,线段EH、CH、AE之间的数量关系是;(2)如图2,将△DHE绕点D顺时针旋转,当点E、H、C在一条直线上时,求证:AE+EH=CH.

参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】

方程组两方程相加表示出2x﹣y,代入已知不等式即可求出a的范围.【详解】①+②得:解得:故选:B.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.2、C【解析】由题意得,4−x⩾0,x−4⩾0,解得x=4,则y=3,则=,故选:C.3、D【解析】

根据两直线平行,内错角相等计算即可.【详解】因为m∥n,所以∠2=∠1+30°,所以∠2=30°+20°=50°,故选D.【点睛】本题主要考查平行线的性质,清楚两直线平行,内错角相等是解答本题的关键.4、C【解析】试题分析:由题中所给出的左视图知物体共两层,每一层都是两个小正方体;从俯视图可以可以看出最底层的个数所以图中的小正方体最少2+4=1.故选C.5、C【解析】

根据确定性事件、方差、众数以及平均数的定义进行解答即可.【详解】解:A、“买一张电影票,座位号为偶数”是随机事件,此选项错误;B、若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=0.3,S乙2=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定,此选项错误;C、一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5,此选项正确;D、一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是,此选项错误;故选:C.【点睛】本题考查了必然事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.6、A【解析】

设甲的钱数为x,人数为y,根据“若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也能为50”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,此题得解.【详解】解:设甲的钱数为x,乙的钱数为y,依题意,得:.故选A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.7、A【解析】

由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,得出方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的根,进而得出函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点,根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=->0,即可进行判断.【详解】点P在抛物线上,设点P(x,ax2+bx+c),又因点P在直线y=x上,∴x=ax2+bx+c,∴ax2+(b-1)x+c=0;由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点,∴方程ax2+(b-1)x+c=0有两个正实数根.∴函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点,又∵->0,a>0∴-=-+>0∴函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=->0,∴A符合条件,故选A.8、B【解析】

根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m>0,解之即可得出结论.【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=(-2)2-4m=4-4m>0,解得:m<1.故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,熟练掌握“当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.9、C【解析】

利用折线统计图结合相应数据,分别分析得出符合题意的答案.【详解】A选项:年最高温度呈上升趋势,正确;

B选项:2014年出现了这6年的最高温度,正确;

C选项:年的温差成下降趋势,错误;

D选项:2016年的温差最大,正确;

故选C.【点睛】考查了折线统计图,利用折线统计图获取正确信息是解题关键.10、A【解析】

根据三角形中位线定理判断即可.【详解】∵AD为△ABC的中线,点E为AC边的中点,

∴DC=BC,DE=AB,∵BC不一定等于AB,∴DC不一定等于DE,A不一定成立;∴AB=2DE,B一定成立;S△CDE=S△ABC,C一定成立;DE∥AB,D一定成立;故选A.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、-1.【解析】

根据根的判别式计算即可.【详解】解:依题意得:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根,∴==4-41(-k)=4+4k=0解得,k=-1.故答案为:-1.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,当=>0时,方程有两个不相等的实数根;当==0时,方程有两个相等的实数根;当=<0时,方程无实数根.12、x+1【解析】

先通分,进行分式的加减法,再将分子进行因式分解,然后约分即可求出结果.【详解】解:=.故答案是:x+1.【点睛】本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.13、1【解析】

由AB为直径,得到,由因为CD平分,所以,这样就可求出.【详解】解:为直径,

又平分,

故答案为1.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆和等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了直径所对的圆周角为90度.14、(x+2)(x-2).【解析】试题分析:直接利用平方差公式分解因式得出x2﹣4=(x+2)(x﹣2).考点:因式分解-运用公式法15、4【解析】

根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.【详解】∵∠C=90°,AB=6,∴,∴BC=4.【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中,,,.16、4.【解析】

|﹣3|+(﹣1)2=4,故答案为4.17、(-1,0)【解析】根据已知条件由图中可以得到B1所在的正方形的对角线长为,B2所在的正方形的对角线长为()2,B3所在的正方形的对角线长为()3;B4所在的正方形的对角线长为()4;B5所在的正方形的对角线长为()5;可推出B6所在的正方形的对角线长为()6=1.又因为B6在x轴负半轴,所以B6(-1,0).解:如图所示∵正方形OBB1C,∴OB1=,B1所在的象限为第一象限;∴OB2=()2,B2在x轴正半轴;∴OB3=()3,B3所在的象限为第四象限;∴OB4=()4,B4在y轴负半轴;∴OB5=()5,B5所在的象限为第三象限;∴OB6=()6=1,B6在x轴负半轴.∴B6(-1,0).故答案为(-1,0).三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)y=﹣x2+4;(2)①E(5,9);②1.【解析】

(1)待定系数法即可解题,(2)①求出直线DA的解析式,根据顶点E在直线DA上,设出E的坐标,带入即可求解;②AB扫过的面积是平行四边形ABGE,根据S四边形ABGE=S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK,求出点B(2,0),G(7,5),A(0,4),E(5,9),根据坐标几何含义即可解题.【详解】解:(1)∵A(0,4),B(2,0),C(﹣2,0)∴二次函数的图象的顶点为A(0,4),∴设二次函数表达式为y=ax2+4,将B(2,0)代入,得4a+4=0,解得,a=﹣1,∴二次函数表达式y=﹣x2+4;(2)①设直线DA:y=kx+b(k≠0),将A(0,4),D(﹣4,0)代入,得,解得,,∴直线DA:y=x+4,由题意可知,平移后的抛物线的顶点E在直线DA上,∴设顶点E(m,m+4),∴平移后的抛物线表达式为y=﹣(x﹣m)2+m+4,又∵平移后的抛物线过点B(2,0),∴将其代入得,﹣(2﹣m)2+m+4=0,解得,m1=5,m2=0(不合题意,舍去),∴顶点E(5,9),②如图,连接AB,过点B作BL∥AD交平移后的抛物线于点G,连结EG,∴四边形ABGE的面积就是图象A,B两点间的部分扫过的面积,过点G作GK⊥x轴于点K,过点E作EI⊥y轴于点I,直线EI,GK交于点H.由点A(0,4)平移至点E(5,9),可知点B先向右平移5个单位,再向上平移5个单位至点G.∵B(2,0),∴点G(7,5),∴GK=5,OB=2,OK=7,∴BK=OK﹣OB=7﹣2=5,∵A(0,4),E(5,9),∴AI=9﹣4=5,EI=5,∴EH=7﹣5=2,HG=9﹣5=4,∴S四边形ABGE=S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK=7×9﹣×2×4﹣×5×5﹣×2×4﹣×5×5=63﹣8﹣25=1答:图象A,B两点间的部分扫过的面积为1.【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数的图形和性质,二次函数的实际应用,难度较大,建立面积之间的等量关系是解题关键.19、(1)12;(2)1【解析】

(1)直接利用概率公式求解即可;(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率即可.【详解】(1)从中随机抽出一张牌,牌面所有可能出现的结果有4种,且它们出现的可能性相等,其中出现偶数的情况有2种,∴P(牌面是偶数)=24=1故答案为:12(2)根据题意,画树状图:可知,共有16种等可能的结果,其中恰好是4的倍数的共有4种,∴【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20、(1);(2);(3)【解析】

(1)把A(-1,0)代入y=x2-bx+c,即可得到结论;(2)由(1)得,y=x2-bx-1-b,求得EO=,AE=+1=BE,于是得到OB=EO+BE=++1=b+1,当x=0时,得到y=-b-1,根据等腰直角三角形的性质得到D(,-b-2),将D(,-b-2)代入y=x2-bx-1-b解方程即可得到结论;(3)连接QM,DM,根据平行线的判定得到QN∥MH,根据平行线的性质得到∠NMH=∠QNM,根据已知条件得到∠QMN=∠MQN,设QN=MN=t,求得Q(1-t,t2-4),得到DN=t2-4-(-4)=t2,同理,设MH=s,求得NH=t2-s2,根据勾股定理得到NH=1,根据三角函数的定义得到∠NMH=∠MDH推出∠NMD=90°;根据三角函数的定义列方程得到t1=,t2=-(舍去),求得MN=,根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】(1)把A(﹣1,0)代入,∴,∴;(2)由(1)得,,∵点D为抛物线顶点,∴,∴,当时,,∴,∴,∴,∴,∴,∴,将代入得,,解得:,(舍去),∴二次函数解析式为:;(3)连接QM,DM,∵,,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,设,则,∴,同理,设,则,∴,在中,,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴;∵,∴,,∵,∴,即,解得:,(舍去),∴,∵,∴,∴,当时,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,,,过P作于T,∴,∴,∴.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,平行线的性质,三角函数的定义,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.21、(1)见解析;(2).【解析】

(1)根据折叠得出∠DEF=∠BEF,根据矩形的性质得出AD∥BC,求出∠DEF=∠BFE,求出∠BEF=∠BFE即可;(2)过E作EM⊥BC于M,则四边形ABME是矩形,根据矩形的性质得出EM=AB=6,AE=BM,根据折叠得出DE=BE,根据勾股定理求出DE、在Rt△EMF中,由勾股定理求出即可.【详解】(1)∵现将纸片折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,∴∠DEF=∠BEF.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,即△BEF是等腰三角形;(2)过E作EM⊥BC于M,则四边形ABME是矩形,所以EM=AB=6,AE=BM.∵现将纸片折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,∴DE=BE,DO=BO,BD⊥EF.∵四边形ABCD是矩形,BC=8,∴AD=BC=8,∠BAD=90°.在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2,即(8﹣BE)2+62=BE2,解得:BE==DE=BF,AE=8﹣DE=8﹣==BM,∴FM=﹣=.在Rt△EMF中,由勾股定理得:EF==.故答案为.【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点,能熟记折叠的性质是解答此题的关键.22、(1)10、0.28、1;(2)见解析;(3)6.4本;(4)264名;【解析】

(1)根据百分比=计算即可;(2)求出a组人数,画出直方图即可;(3)根据平均数的定义计算即可;(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可;【详解】(1)a=50×0.2=10、b=14÷50=0.28、c=50÷50=1;(2)补全图形如下:(3)所有被调查学生课外阅读的平均本数==6.4(本)(4)该校八年级共有600名学生,该校八年级学生课外阅读7本和8本的总人数有600×=264(名).【点睛】本题考查频数分布直方图、样本估计总体等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.23、(1)AA′=CC′;(2)成立,证明见解析;(3)AA′=【解析】

(1)连接AC、A′C′,根据题意得到点A、A′、C′、C在同一条直线上,根据矩形的性质得到OA=OC,OA′=OC′,得到答案;(2)连接AC、A′C′,证明△A′OA≌△C′OC,根据全等三角形的性质证明;(3)连接AC,过C作CE⊥AB′,交AB′的延长线于E,根据相似多边形的性质求出B′C′,根据勾股定理计算即可.【详解】(1)AA′=CC′,理由如下:连接AC、A′C′,∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∠CAB=∠C′A′B′,∵A′B′∥AB,∴点A、A′、C′、C在同一条直线上,由矩形的性质可知,OA=OC,OA′=OC′,∴AA′=CC′,故答案为AA′=CC′;(2)(1)中的结论还成立,AA′=CC′,理由如下:连接AC、A′C′,则AC、A′C′都经过点O,由旋转的性质可知,∠A′OA=∠C′OC,∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是矩形,∴OA=OC,OA′=OC′,在△A′OA和△C′OC中

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