圆与圆的位置关系 初中数学例题解析训练

圆与圆的位置关系

一、选择题

1.（2011浙江省舟山，5,3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该

几何体的左视图是（）

（A）两个外离的圆（B）两个外切的圆

（C）两个相交的圆（D）两个内切的圆

主视方向

（第5题）

【答案】D

2.（2011江苏扬州，4,3分）已知相交两圆的半径分别在4和7,则它们的圆心距可能是（）

A.2B.3C.6D.II

【答案】C

3.（2011山东济宁，5,3分）己知。与。。2相切，。01的半径为9cm,。。2的半径为2cm,则0。2

的长是（）

A.1cmB.5cmC.1cm或5cmD.0.5cm或2.5cm

【答案】C

4.（2011浙江台州，8,4分）如图，图2是一个组合烟花（图1）的横截面，其中16个圆的半径相同，

点。卜。2、。3、分布是四个角上的圆的圆心，且四边形OQ2O3O4正方形。若圆的半径为r,组合烟花

的高度为h,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（解缝面积不计）（）

A.26»rhB.24rh+"rhC.12rh—2%rhD.24rh+24rh

图1图2

【答案】D

5.（2011浙江温州，8,4分）已知线段AB=7cm.现以点A为圆心，2cm为半径画。4；再以点B为圆

心，3cm为半径画。8,则。A和。8的位置关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

【答案】D

6.（2011台湾台北，25）如图（九），圆A、圆8的半径分别为4、2,且而=12。若作一圆C使得三圆

的圆心在同一直在线，且圆C与圆A外切，圆C与圆8相交于两点，则下列何者可能是圆C

的半径长？

.（九）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

7.（2011台湾全区，25）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能

为此两圆的半径？

A.25公分、40公分B.20公分、30公分C.1公分、10公分D.5公分、7公分

【答案】B

8.（2011台湾全区，32）图（十四）中，CA.而分别切圆01于A、。两点，CB,而分别切圆。2

于8、E两点.若Nl=60°,N2=65°,判断而、CD.近的长度，下列关系何者正确？

A.AB>CE>CDB.AB=CE>CD

C.~AB>CD>CED.~AB=CD=CE

【答案】A

9.（2011福建泉州，5,3分）已知OOi和。Ch的半径分别为2cm和5cm,两圆的圆心距是3.5cm,则两

圆的位置关系是（）.

A.内含B.外离C.内切D.相交

【答案】D

10.（2011广东茂名，7,3分）如图，。0、相内切于点A，其半径分别是8和4,将。％沿直线04

平移至两圆相外切时，则点内移动的长度是

A.4B.8C.16D.8或16

【答案】D

11.（2011湖北襄阳，9,3分）在AABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,若。A,。8的半径分别

为1cm,4cm,则。A,的位置关系是

A.外切B.内切C.相交D.外离

【答案】A

12.（2011江苏盐城，5,3分）若。01、。。2的半径分别为4和6,圆心距002=8，则。。1与。。2的位

置关系是

A.内切B.相交C.外切D.外离

【答案】B

13.（2011重庆市潼南,7,4分）己知。01与。。2外切，的半径R=5cm,。。2的半径「=lcm,则

。01与。。2的圆心距是

A.1cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】D

14.

15.

16.

17.

18.

二、填空题

1.（2011浙江省，16,3分）如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为G;图②中的四个

圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等,

并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C3；……,依次规律，当正方形边长为2时，则

Ci+C2+C3+…G»+Cioo=

【答案】10100〃

2.（2011浙江义乌，13,4分）已知。0|与。。2的半径分别为3和5,且。O1与。。2相切，则01。2等于

▲.

【答案】2或8

3.（2011四川广安，14,3分）已知。功与0a的半径4、弓分别是方程/-6犬+8=0的两实根，若

与的圆心距d=5.则0a与oa的位置关系是

【答案】相交

4.（2011江苏南通，18,3分）己知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与

1=1线y=—相切，设半圆C［、半圆C2、半圆C3的半径分别是a、/2、小，则当a=1时，▲

>'A

x

【答案】9.

5.（2011广东肇庆，14,3分）已知两圆的半径分别为1和3,若两圆相切，则两圆的圆心距为A

【答案】4或2

6.（2011山东枣庄，17,4分）如图，小圆的圆心在原点，半径为3,大圆的圆心坐标为（a,0）,半径

为5.如果两圆内含，那么。的取值范围是.

【答案】-2<a<2

三、解答题

1.（2011江西，20,8分）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm,上面依次排列着大小

不等的五个圆（孔），共中最大圆的直径为3a”，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm.最大圆的左侧距工

具板左侧边缘1.5cm,最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm,相邻两圆的间距d均相等。

⑴直接写出其余四个圆的直径长；

⑵求相邻两圆的间距。

【答案】（1）其余四个圆的直径长分别为2.8a”,2.6a”,2.4cm,2.2a”；

（2）因为工具板长21cm,左、右侧边缘1.5C/W,

所以的五个圆（孔）及相邻两圆的间距之和为21-3=18（cm）.

d=[18-（3+2.8+2.6+2.4+2.2）]-4=（cm）.

2.（2011江苏南京，26,8分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,P为BC的中点.动

点Q从点P出发，沿射线PC方向以2an/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运

动的时间为ts.

⑴当t=1.2时，判断直线AB与。P的位置关系，并说明理由；

（2）已知。O为aABC的外接圆，若。P与。O相切，求t的值.

（第26题）

【答案】解：⑴直线与（DP相切.

如图，过点P作PD_LAB,垂足为D.

在Rt^ABC中，ZACB=90°,VAC=6cm,BC=8cm,

:.AB=VAC2+BC2=1Ocm.P为BC的中点，...PB=4cm.

VZPDB=ZACB=90°,ZPBD=ZABC./.△PBD^AABC.

:.经=空,即殁，

:.PD=2.4(cm).

ACAB610

当r=1.2时，PQ=2r=2.4(cm)

PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于。P的半径.

直线AB与。P相切.

（2）ZACB=90°,；.AB为△ABC的外切圆的直径.AOB^-AB^5cm.

2

连接OP.：P为BC的中点，/.OP^-AC^3cm.

2

•.•点P在。O内部，...（DP与。O只能内切.

5-2f=3或27-5=3,f=l或4.

...OP与。。相切时，t的值为1或4.

3.（2011湖北黄石，24,9分）已知。0|与。。2相交于A、B两点，点。।在。Q上，C为。2上一点（不

与4,B,Oi重合），直线C8与。01交于另一点。。

(1)如图(8),若AC是。Q的直径，求证：AC=CD

(2)如图(9),若C是。0］外一点，求证：0C1AD

(3)如图(10),若C是。。|内的一点，判断(2)中的结论是否成立。

【答案】(1)连接COi，AB

是。。2的直径

：.AB1BD,AD±CO\

：.AD经过点Oi

•.,AOi=OOi

：.AC=CD

(2)连接0|3，A01

'：0\O2-LAB

：.NAOG+NAG。|

：N0iAB=/C

又；ZZ>-ZAO1B=ZAO1O2

2

.,.ZC+ZZ>90°

：.0yC.LAD

(3)成立

直线与圆的位置关系

一、选择题

1.(2011湖北随州，13,3分)如图，AB为。。的直径，PD切。O于点C,交AB的延长线于D,且

CO=CD,则NPCA=()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

第13题图

【答案】D

2.（2011广东深圳，11,3分）下列命题是真命题的个数有（）

①垂直于半径的直线是圆的切线②平分弦的直径垂直于弦

r”1

③若】是方程x-or=3的一个解，贝!|a=T

Iy=2

④若反比例函数y=的图像上有两点（L,力），（1,丫2）,则》〈），2

x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

3.（2011贵州遵义，9,3分）如图，AB是。。的直径，BC交。。于点。，DELAC于点E,要使DE

是。0的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不本期的是

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC//OD

（9题图）

【答案】A

4.（2011吉林，15,3分）如图，两个等圆。A、。8分别与直线/相切于点C、D,连接A8与直线/相

交于点0,N4OC=30。，连接AC、BD,若AB=4,则圆的半径为（）

【答案】B

5.（2011山东枣庄，7,3分）如图，PA是。。的切线，切点为A,PA=2>/3,ZAPO=30°,则。。的半

A.1B.V3C.2D.4

【答案】C

6.（2011四川眉山，11,3分）如图，PA、PB是00的切线，AC是00的直径，LP=500,则NB0C的

度数为

A

C.40°D.60°

【答案】A

7.（2011湖北鄂州，13,3分）如图，AB为。O的直径，PD切OO于点C,交AB的延长线于D,且

CO=CD,则NPCA=（）

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

第13题图

【答案】D

8.（2011内蒙古包头，11,3分）已知AB是OO的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过点P作。

O的切线，切点为C,/APC的平分线交AC于点D,则/CDP等于（）

A.30°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【思路分析】如图所示/CDP=/A+/DPA,ZCED=ZECP+ZCPD,由切线可得NPCE=NA,又NDPA=

NCPD所以NCDP=NCED,又AB为直径，故NACB=90°所以/CDP=45°

9.（2011福建漳州，8,3分）下列命题中，假命题是（）

A.经过两点有且只有一条直线B.平行四边形的对角线相等

C.两腰相等的梯形叫做等腰梯形D.圆的切线垂直于经过切点的半径

【答案】B

10.（2011贵州黔南，2,4分）下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.圆的切线垂直于经过切点的半径

D.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

【答案】C

11.

二、填空题

1.（2011贵州毕节，20,5分）如图，已知办、分别切。。于点A、B,点C在。。上，ZBCA=65°,

则/P=。

【答案】50°

2.如图，CB切00于点、B,C4交00于点。且A8为。O的直径，点E是财。上异于点A、。的一点.

若/O40。，则NE的度数为.

（第10题）

【答案】40

3.（2010湖南长沙，18,3分）如图，尸是。。的直径A8延长线上的一点，PC与＜3。相切于点C,若N

P=20°,贝％=°.

【答案】35°

4.（2011贵州遵义，16,4分）如图，＜30是边长为2的等边△ABC的内切圆，则的半径为▲

【答案】—

3

5.（2011江苏徐州，18,3分）已知。O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则。O上有且只有▲

个点到直线AB的距离为3.

【答案】3

6.（2011山东济南，21,3分）如图，△A8C为等边三角形，AB=6,动点。在AABC的边上从点A出发

沿AfC—B—A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以。为圆心、百为半径的圆在运

动过程中与AABC的边第二次相切时是出发后第秒.

【答案】4

7.（2011内蒙古赤峰，15,3分）如图，直线以过半圆的圆心O,交半圆于A、B两点，PC切半圆于点

C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为。

【答案】4

8.（2011四川自贡，15,4分）在RtZ\ABC中，NA=30°,直角边AC=6cm,以C为圆心，3cm为半径作

圆，则。C与AB的位置关系是.

【答案】相切

9.（2011年青海，4,2分）如图1所示，。。的两条切线PA和PB相交于点P,与。O相切于A、B两点,

C是。。上的一点，若NP=70°,则/4CB=。

【答案】55°

10.（2011广西玉林、防港，18,3分）如图，AB是半圆。的直径，以0A为直径的半圆U与弦AC交于点

D,OB/AC,并交OC于点E,则下列四个结论：①点D为AC的中点；②SAO.OE=』SAAOC；③自C=2^0；

2

④四边形OREO是菱形，其中正确的结论是.

【答案】①③④

11.（2011广西贵港，17,2分）如图所示，在aABC中，AC=BC=4,NC=90°,O是AB的中点，

OO与AC、BC分别相切于点D、E,点F是。O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线

于点G,则BG的长是。

【答案】20-2

三、解答题

1.（2011广东湛江,27,12分）如图，在R&BC中，NC=90°,点D是AC的中点，且NA+ZCDB=90°,

过点作口。，使圆心。在AB上，口。与交于点E.

（1）求证：直线8。与口O相切；

（2）若AO:AE=4:5,BC=6,求□O的直径.

c

【答案】（1）证明：连接0D,在AA。。中，OA=OD,

所以NA=N0D4,

又因为NA+NCO3=90°,

所以NOOA+NCDB=90",所以NB。。=180°-90°=90",即

所以BD与口。相切；

（2）由于AE为直径，所以NADE=90°,由题意可知。E〃3C,又点D是AC的中点，且

AD:AE=4:5,BC=6,所以可得AE=5,即口。的直径为5.

2.（2011广东珠海，21,9分）（本题满分9分）已知：如图，锐角三角形ABC内接于。O,ZABC=45°；

点D是R上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E,且DE〃BC；连结AD、BD、BE,AD的垂

线AF与DC的延长线交于点F.

（1）求证：△ABDsZiADE；

（2）记ADAF、Z\BAE的面积分别为SADAF、SABAE-求证：S&DAF>SABAE.

【答案】证明：（1）连结OD,YDE是。O的切线，.\OD，DE...•DE〃BC

/.OD±BC,/.BD=aD,.•.NBAD=NEAD,VZBDA=ZBCA,DE/7BC,

:.ZBDA=ZDEA.VZBAD=ZEAD,/.AABD^AADE.

AJiAF)

(2)过B作BG，AE于G,由(1)得一=——,BPAD=AB•AE

ADAE

设aABE的AE边上的高为h,则SAABE=-AE•h,h<AB.由ZABC=45",AD_LAF,

2

2

...△ADF为等腰三角形....SAAD产!AD.,.SADAF〉SABAE,

2

第21题图

3.(2011黑龙江省哈尔滨市，27,10分)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD

为菱形，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是(-6,0),AB=10。

(1)求点C的坐标；

(2)连接BD,点P是线段CD上一动点(点P不与C、D重合)，过点P作PE〃BC交BD于点E,过

点B作BQ1PE交PE的延长线与点Q。设PC的长为X,PQ的长为y,求y与x之间的函数关系式(直接写

出自变量x的取值范围)；

4

(3)在(2)的条件下,连接AQ、AE,当x为何值时,SABQE+SAAQE=-SADEP?并判断此时以点P为

圆心，以5为半径的。P与直线BC的位置关系，请说明理由。

(第27题图)

【答案】解：(1)如图1,过点C作CNLx轴，垂足为N,则四边形DONC为矩形

.•.ON=CD：四边形ABCD是菱形AB=10AAB=BC=CD=AD=10/.ON=10

ylAD2-AO2=7102-62=8

VA(-6,0).*.OA=6OD=.*.C(10,8)

(2)如图1,过点P作PH_LBC,垂足为H,则NPHC=NAOD=90。

四边形ABCD是菱形ZPCB=ZDAO

CHPH_PC

AAPHC^ADOA：,AO~DO~DA

CHPH_x

-xCH=-x

；.PH=55

3

BH=10——x

，5•.­PE〃BCBQ±PQ

ZPQB=ZQBC=ZPHB=90°

3

8H=10——x

•••四边形PQBH为矩形，PQ=5

3

y=10——x(OYXY10)

5

4

(3)如图2：过点P作PH5_LBC,垂足为H1则四边形PQBH，是矩形...BQnPH，—x

5

VPE/7BCAZPED=ZCBDVCD=CB/.ZCBD=ZCDB

AZCDB=ZPED.".PE=PD=10-xQE=PQ-PE=-|x

过点D作DG_LPQ于点G,过点A作AF1PQ交PQ的延长线于点F

AZDGF=ZAFG=90°VPQ//BC；.PQ〃ADAZADG=90°

，四边形AFGD为矩形,AF=DGPQ//BC

，ZDPG=ZC,/ZDGP=ZPH,C=90°ADGP^APH'C

.DPDG44

.•.AF=DG=-(10-x)=8-—x

••而一而5

111241248

SABQE+SAAQE=_EQ'BQ+—EQ-AF=一•-x,一x+一,—x(8—x)=—x

222552555

1142|SADER

SADEP--PE'DG=—(10-x),(8—x)=—x"—8x+40SABOE+SAAOE=

,2255

842

-x=—(—x2—8x+40)整理得x2-25x+100=0.-.X|=5X2=20

555

V0<x<10.,.X2=20不符合题意舍去/.x=5

44

，x=5时，SABQE+SAAQE=-SADEP.VPH,=yx=4<5，G)P与直线BC相交。

4.(2011湖北十堰，23,8分)如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CDLAB

交半圆O于点D,将4ACD沿AD折叠得到AAED,AE交半圆于点F,连接DF。

(1)求证：DE是半圆的切线；

(2)连接OD,当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。

【答案】证明：(1)如图，连接OD,则OA=OD,.\ZOAD=ZODA,Z\AED由4ACD对折得到，所以

ZCDA=ZEDA,

又CDJ_AB,/.ZCAD+ZCDA=ZODA+ZEDA=90°,D在半圆O上，

ADE是半圆的切线。

(2)四边形ODFA是菱形。

理由：如图，连接OF,OC=BC=|OB=1OD,在RtZXOCD中，NODC=30。，AZDOC=60°,

VZDOC=ZOAD+ZODA,?.ZOAD=ZODA=ZFAD=30°<)

.♦.OD//AF,ZFAO=60°,又：OF=OA,△FAO是等边三角形，；.OA=AF,.*.OD=AF,

•••四边形ODFA是平行四边形，VOA=OD,，四边形ODFA是菱形.

3

5.(2011江苏常州27,9分)在平面直角坐标系*0丫中,一次函数^=1犬+3的图象是直线4，/2与*轴、y轴

分别相交于A、B两点.直线4过点C(a,0)且与4垂直，其中a>0,点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射

线AB运动，速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.

(1)写出A点的坐标和AB的长；

(2)当点P、Q运动了t秒时，以点Q为圆心,PQ为半径的。Q与直线4、y轴都相切,求此时a的值.

【答案】(l)A(-4,0),AB=5.

APAO

(2)由题意得：AP=4t,AQ=5t,—=-=t，又NPAQ=NQAB,；.AAPQ^AAOB.

AZAPQ=ZAOB=90°»

•••点P在4上，.•.OQ在运动过程中保持与4相切0

①当。Q在y轴右侧与y轴相切时，设/|与。Q相切于F,由△APQs^AOB得

PQ4+PQ

=,；.PQ=6,

连接QF,则QF=PQ,ZXQFCsaAPQsZXAOB得”=如

OAAB

.PQ_QC6_QC1527

••--------,——-----------,*.L/C,d-UQ十---------.

OAAB4522

②当(DQ在y轴左侧与y轴相切时，设4与。Q相切于E,由△APQsaAOB得

PQ_^-PQ.po_3

3

连接QE,则QE=PQ,由△QECsaAPQs/^AOB得”=史，，"=如，2=生，

OAABOAAB45

153273

QC=—,a=QC-OQ=-..".a的值为一和一。

8828

6.(2011辽宁大连，22,9分)如图9,4B是。。的直径，C。是。。的切线，切点为C,BEA.CD,垂足

为1E,连接AC、BC.

(1)ZXABC的形状是,理由是

(2)求证：BC平分NABE；

(3)若NA=60°,0A=2,求CE的长.

【答案】(1)直角三角形；直径所对的圆周角是直角;

(2)证明：连接0C

•・・c。切。。于C

：.OC±CD

*：BE.LCD

：.OC//BE

：./OCB=/EBC

9：0C=Z0B

：,/OCB=/OBC

：.ZEBC=ZOBC

・・・8C平分NABE

(3)过A做CF_L4B于尸

・・・48是。0的直径

・・・ZACB=90°

'：NA=60。

・・・ZABC=30°

：.AC=-AB=OC=2

2

在RtZ\AC/中，NA=60。，

冬2X—

♦.•8C平分NABE,CFVAB,'：CE±BE

CE=CF=K

7.(2011陕西，23,8分)如图，在△ABC中，NB=60°,。。是△ABC的外接圆，过点A作。。的切线,

交CO的延长线于点P,CP交。。于点D.

(1)求证：AP=AC；

(2)若AC=3,求PC的长.

【解】(1)证明：连接A。，则AO_L池.AZAOC=2ZB^\20°.二/人。片60。,

.,.ZP=30°.又：OA=OC,AZACP=30°.：.ZP=ZACP.：.AP=AC.

(2)在RtZ\B4O中，ZP=30°,PA=3,AO=PA•tan30°=百.APO=273.

,/CO=OA=6，六PC=PO+OC=273+V3=3A/3.

8.(2011天津，22,8分)

已知AB与。。相切于点C,OA=OB,OA、0B与。0分别交于点D、E.

（I）如图①，若。。的直径为8,AB=10,求0A的长（结果保留根号）；

（II）如图②，连接CD、CE,若四边形ODCE为菱形，求竺的值.

图①图②

第（22）题

答案：解：（I）如图①，连接OC,则OC=4,

VAB与。O相切于点C

.\OC±AB

.•.在△OAB中，OA=OB,AB=10

在Rt^COA中，由勾股定理，

得OA=yl0C2+AC2=V42+52=V41

（n）如图②，连接oc,则OC=OD

图②

:四边形ODCE是菱形

.\OD=DC

...△ODC为等边三角形，有NA0C=60°

由（I）知N0CA=90°

AZA=30°,/.OC=-OA

2

.OD1

.・---=一

OA2

9.（2011北京市，20,5分）如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。。分别交ACBC于点D、

E,点E在AC的延长线上，且NCBF=」NC48.

2

（1）求证：直线3厂是。。的切线；

(2)若A3=5,sinZCBF=—,求BC和3尸的长.

5

【答案】证明：（1）证明：连结AE.

是。0的直径，

ZAEB=90°.

/.Zl=Z2=90°.

'：AB=AC

/.Z1=|ZCAB.

NCBFqNCAB,

：.N1=NCBF

：.ZCBF+Z2=90°.

即ZABF=90°

是。。的直径，

直线8尸是。。的切线.

(2)解：过点C作CGLA8于点G.

・・•s・in/CBF=g,N'1=N"CRBFF,

../I木

..sinZ1=^

VZAEB=90°,A8=5,

BE=ABsinNlM

\"AB=AC,ZAEB=90°,

：.BC=2BE=2下

在RtAAfiE中，由勾股定理AE=V而二7诟=2小

sinZ2=^y5八型

一，CQSA2=^~.

在RtZkCBG中，可求得GC=4,GB=2,

：.AG=3.

'JGC//BF

：./\AGC^AABF.

GCAG

~BF=AB'

.GC-AB20

-'BF~AG-3

10.(2011广东清远，22,8分)如图7,AB是。。的直径，AC与。O相切，切点为A,力为。。上一点,

A。与OC相交于点E,且NZMB二/C.

(1)求证：OC//BD：

(2)若AO=5,A£>=8,求线段CE的长.

【答案】解：（1）与。O相切，

：.AC±AB.

"：ZDAB=ZC,

；.NDAB+NCAE=90：

：.ZCEA=90°,

即OCLAD.

又...AB是。。的直径，

：.BDLAD.

：.OC//BD.

（2）'：ZDAB=ZC,ZCEA=^ADB=90°,

.♦.△CE4s△ADB.

.CE_AE

又：AO=5,AD=S,OC//BD,

：.AE=4,AD=8,B£>=6,

.CE4

•«---=一

86

•CF16

3

11.（2011四川达州，21,6分）如图，在Z\ABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=3,点D从点A以每秒1个

单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DE〃BC交AC于点E.以DE为直径作。0,

并在。0内作内接矩形ADFE,设点D的运动时间为t秒.

(1)用含f的代数式表示4DEF的面积S：

(2)当f为何值时，。0与直线BC相切？

【答案】解：(1)；DE〃BC,AZADE=ZB=60°

在4ADE中，VZA=90°

：.tanZ.ADE=—

AD

■:AD=1X/=/,AE=V3/

又•.•四边形ADFE是矩形，

SADEF=S&ADE=5A。xAE——xtx2厂(0<r<3)

V3,

：.S=—t2(0<r<3)

2

(2)过点。作0GJ_BC于G,过点D作DH_LBC于H,

：DE〃BC,.,.0G=DH,ZDHB=90°

DH

在△DBH中，sin8=——

BD

VZB=60°,BD=AB-AD,AD=f,AB=3,

ADH=y-(3-r),.,.0G=^y(3-Z)

当OG=4OE时，。。与BC相切，

2

AD1

在4ADE中，VZA=90°,ZADE=60°，：.cosZADE=——=一，

DE2

VAD=Z,；.DE=2AD=2t,

n

：.2r=y-(3-r)x2,

：.t=6y/3-9

...当r=6百一9时，。0与直线BC相切

12.(2011湖南娄底，25,10分)在等腰梯形4BCD中，AD//BC,且AD=2,以C。为直径作。。i，交

8c于点E,过点E作EF_LAB于F,建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A,8两点的坐标分别

为40,2百)，B(-2,0).

(1)求C,。两点的坐标.

(2)求证：EF为OOi的切线.

(3)探究：如图13,线段C。上是否存在点尸，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果

存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)连结。E,•••CZ)是。。|的直径,

.".DE1BC,

：.四边形ADEO为矩形.

：.OE=AD=2,DE=A0=273.

在等腰梯形A8CZ)中，DC=AB.

：.CE=BO=2,CO=4.

/.C(4,0),0(2,2>/3).

(2)连结O|E,在。Oi中，O|E=O1C,

ZOiEC=ZO1CE,

在等腰梯形ABCD中，ZABC=ZDCB.

：.O\E//AB,

又•：EFU8,

：.O[ELEF.

在48上，

为。。|的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P.

如右图，过P作PM_Ly轴于M,作尸N_Lx轴于N,依题意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM,

设ON=x,贝i]PM=PC=x,CN=4-x,

tanZASO—=—=>/3.

BO2

ZABO=60°,

，NPCN=NABO=60°.

在RtAPCN中，

cosZPCN=-=-,

PC2

即上」，

x2

:.PN=CN-tanNPCN=（4-g）•G=空.

满足条件的尸点的坐标为（|,殍）.

解法二：存在满足条件的点P,

如右图，在RtAuAOB中，AB=U0z+BO2=7（2>/3）!+22=4.

过P作轴于M,作PNJ_x轴于N,依题意得PC=PM,

在矩形0MPN中，0N=PM,

设ON=x,贝ijPM=PC=x,CN=4-x,

"：ZPCN=ZABO,NPCN=NA0B=9G。.

：.4PNCs4AOB,

.PC=CN刖x4-x

••--------9IA|J-=..

ABBO42

解得

3

又由△/WCs/\A03,得

8

里=上,即段=3,

AOAB2百4

：.PN=

3

.•.满足条件的P点的坐标为（g,殍）.

13.（2011内蒙古呼和浩特市，24,8分）如图所示，AC为。。的直径且PALAC,BC是。0的一条弦，直线

DBDC_2

PB交直线AC于点D,DPDO3.

(1)求证：直线PB是。。的切线;

(2)求cos/BCA的值

【答案】（1）证明：连接OB、0P..................................................................................................................（1分）

DBDC_2

・.・DPDO3且ND二ND

・・・ABDC^APDO

JZDBC=ZDP0

:.BC/70P

JZBC0=ZP0A

ZCB0=ZB0P

:OB=OC

・・・Z0CB=ZCB0

・・・ZB0P=ZP0A

又：OB=OAOP=OP

・•・ABOP^AAOP

:.ZPBO=ZPAO

又•:PA±AC

・・・ZPB0=90°

・•・直线PB是OO的切线..........................（4分）

（2）由（1）知NBCO=NPOA

设PB=〃，则BQ=2a

又：PA=PB=a

/.AD=2A/2«

又；BC/70P

生=2

・・・CO

DC=CA=—x242a=

：.2

OA=­a

：.2

OP=^-a

/.2

g

：.cosZBCA=cosZPOA=3...................................(8分)

14.(2011福建莆田，21,8分)如图，在Rt^ABC中，/C=90°,0、D分别为AB、BC上的点，经过

A、D两点的。O分别交AB、AC于点E、F,且D为比'的中点。

(1)(4分)求证：BC与。O相切

(2)(4分)当AD=2VJ,NCAD=30°时，求的长。

【答案】⑴证明：连接OD,则OD=OA

.*.Z0AD=Z0DAV0>E=Z0AD=ZCAD/.Z0DA=ZCAD

.,.0D//ACXVZC=90°/.Z0DC=90°BPBC±0D

.•.BC与。。相切

(2)解：连接DE,贝！UADE=90°VZ0AD=Z0DA=ZCAD=30°AZA0D=120°

AAD2拒“

在RSADE中，AE=---------------^——=4

cosZEAD<3

T

二。。的半径r=2

.•.助的长七四注=±乃

1803

15.(2011广西南宁，25,10分)如图11,已知CD是。0的直径，ACJ.CD,垂足为C,弦DE〃OA,

直线AE、CD相交于点B.

(1)求证：直线AB是00的切线；

(2)如果AC=1,BE=2,求tanNOAC的值.

(1)【答案】证明：如图，连接OE,•.•弦DE〃OA,/.ZCOA=ZODE,ZEOA=ZOED,VOD=OE,

ZODE=ZOED,