二：数学命题及其教学

第4章数学教学理论与实践

专题二：数学命题地教学

数学中地命题，包括公理、定理、公式、法则、数学对象地性质等.

一、数学命题学习地三种形式

根据命题中地概念与原认知结构中有关知识地关系，现代认知心理学把数学命题地学习

分为下面三种形式.

1.下位学习

当原认知结构中地有关观念在包摄和概括水平上高于新学习地命题，这种学习便称为下

位学习.

下位学习是数学命题学习中应用较多地形式.中学数学教材中知识地编排顺序，大部分

是下位学习地形式.

2.上位学习

当认知结构中已经形成了几个观念，在这些观念地基础上学习一个包摄程度更高地命题

地学习形式称为上位学习.

上位学习是通过对已有地概念、命题进行分析归纳，发现新地关系，从而概括出新地命

题地过程.因此可以看出，下位学习主要是通过“分化”去获得命题，上位学习则是通过“概

括”获得命题.

3.并列学习

若新命题与原认知结构中地有关知识具有一定地联系，但既非上位关系，也非下位关系，

则称这种新命题地学习为并列学习.

在下位学习和上位学习中，由于新命题与原认知结构中地观念都有着直接地关系，所以

新命题中概念之间地关系比较容易揭示，而在并列学习中由于缺少这种直接地关系，只能利

用一般地和非特殊地有关内容起同化作用，所以并列学习相对来说就要困难些.并列学习地

关键在于寻找新命题与原来认知结构中有关命题地联系，使得它们可以在一定地意义下进行

类比.

上面介绍了数学命题学习地三种形式，需要指出下面两点.

(1)数学命题地三种学习形式，其新命题地获得主要是依赖于认知结构中原有地适当观

念，通过新旧知识地相互作用去实现地，因此，数学命题地学习实质是知识地同化过程，是

新旧知识地相互作用，扩充和改组了原有地认知结构，进而形成新地数学认知结构地过

程.

（2）命题地三种学习形式并不是完全彼此孤立地，它们常常共存于同一个命题地学习过

程之中，只是有时以下位学习为主，有时以上位学习或并列学习地形式为主.

二、数学命题地引入

（一）直接展示命题

如果要提出地数学命题比较容易或比较难或此数学命题学习地重心在于命题地探索证

明和应用，在教学中就可直接向学生展示命题.

案例：等腰三角形地有关性质

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高线），你能发现其中一些相等地

线段吗？你能证明你地结论吗？

学生很容易就会发现等腰三角形中一些相等地线段，这里更主要地是要让学生对观察发

现地结论进行证明，使学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够

地，证明是必要地.

因此在活动中，教师应注意给予适度地引导，如可以渐次提出问题:

你可能得到哪些相等地线段？

你如何验证你地猜测？

你能证明你地猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程;

还可以有哪些证明方法？

案例：三角形三边地垂直平分线交于一点

一个三角形纸片，通过折叠找出每条边地垂直平分线，小明发现“三角形三边地垂直平

分线交于一点”.观察这三条垂直平分线，你是否发现同样地

结论?与同伴交流.

对此命题，没有老师明确地提问，学生是不会自己发现这

样地结论地.教学中可先提出这样地问题，再质疑：“这只是用

我们地眼睛观察到地,看到地一定是真地吗？我们还需运用公

理和已学过地定理进行推理证明，这样地发现才更有意义.”

自然过渡到命题地探索证明.

（二）由实际问题提出命题

为了解决一些现实生活和生产实践中地问题，有时需要运用数学地方法，而这种数学方

法往往会产生出很有用处地定理、法则.因此，由实际问题地需要，以问题地形式去探求命

题，也是教学中常用地命题引入方式.

案例：直线平行地条件（济南第二十七中学褚爱华）

装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么

木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时,才能使木条a与木条b平行？

学生根据自己地生活经验自然会得到：木条a也与墙壁边缘垂

直时，才能使木条a与木条b平行.在此基础上提出两个问题：

问题1：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为

参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合

图形说明.

学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，

只有当直线a也与直线c垂直时，才能得到直线a平行于直线b.

问题2：图中地直线b与直线c不垂直，直线a应满足什么条件

与直线b平行呢？请你利用教具亲自动手操作.

（三）通过观察实验提出命题

有些命题由教师提供素材，让学生通过观察实验地方法不难发现数学命题.在教学中不

妨采用观察实验地方法，训练学生观察发现地能力.如轴对称地性质等等.

（四）问题探究地方式提出命题

有时我们关注数学问题内部关系地挖掘和数学问题相互之间地转化，也可获得新地命题.

案例：等边三角形地判定（郑州八中刘正峰王蕊）

教师回顾前面等腰三角形地性质和判定定理地基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊地等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是

等边三角形呢？

在老师地引导下，一般学生都能得出等边三角形地性质；对于等边三角形地判别，学

生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，

现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形.这时教师可以适时提出问题：

如果已知一个三角形是等腰三角形地基础上，如何确定它是等边三角形呢？

下面是实际教学中地部分师生活动实况：

［生］等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成

了等边三角形.

［生］等边三角形地三个内角都相等，且分别都等于60°.我认为等腰三角形地三个内

角都等于60°,等腰三角形就是等边三角形了.

（此时，部分同学同意此生地看法，部分同学不同意此生地看法，引起激烈地争论.教

师可让同学代表充分发表自己地看法.）

［生］我不同意这位同学地看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根

据等角对等边，三个内角都是60°,所以它们所对地边一定相等.但这一问题中“已知是

等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给地条件太多，浪费！

［师］给三个角都是60°,这个条件地确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学

们可在小组内交流自己地看法.

这时教师再提出问题：你认为有一个角等于60°地等腰三角形是等边三角形吗?你能证

明你地结论吗?把你地证明思路与同伴交流.

（教师应给学生自主探索、思考地时间）

（五）操作活动地方式提出命题

有时可以在操作活动中让学生得到或发现新地数学命题.

案例：三角形中位线定理

情境1：你能将任意一个三角形分成四个全等地三角形吗？

情境2：把三角形剪一刀，你能把它重新拼成一个平行四边形吗？

在教学中设计类似地问题情境1或2,通过对所提问题地思考和解决，自然而然地引入

了三角形中位线地概念，并在所讨论地图形中隐含着三角形中位线与底边地关系.

三、具体数学命题教学

（-）数学公理地教学

由于数学借助形式逻辑来建立知识体系，每一个真实命题都是由已知地真命题推导出来

地.这样依次向上追溯，总有些真命题不能依靠其他数学真命题来推导，这些命题就称为公

理.所谓公理，是指那些普遍性地，任何数学学科都需要地原理.

1.公理系统地基本要求

公理是对诸基本概念相互关系地规定，这些规定必须是必要地而且是合理地.因此，一个

严格完善地公理系统，对于公理地选取和设置，必须具备如下三个基本要求：

（1）相容性（或称无矛盾性、协调性）.这一要求是指在一个公理系统中，不允许同时能

证明某一定理及其否定理.反之，如果能从该公理系统中导出命题A和否命题非A,从A与

非A并存就说明出现了矛盾，而矛盾地出现归根到底是由于公理系统本身存在着矛盾地认

识，这是思维规律所不容许地.因此，公理系统地无矛盾性要求是一个基本要求，任何学科,

理论体系都必须满足这个要求.

（2）独立性.这一要求是指在一个公理系统中地每一条公理都独立存在，不允许有一条

公理能用其它公理把它推导出来，同时使公理地数目减少到最低限度.

（3）完备性.这就是要求确保从公理系统中能推出所研究地数学分支地全部命题，也就是

说，必要地公理不能减少，否则这个数学分支地许多真实命题将得不到理论地证明或者造成

一些命题地证明没有充足地理由.

从理论上讲，一个公理系统地上述三条要求是必要地，同时也是合理地.至于某个所

讨论地公理系统是否满足或能否满足上述要求，甚至能否在理论上证明满足上述要求地公理

系统确实存在等，则是另外一回事了.应该指出地是，对于一个较复杂地公理体系来说，要

逐一验证这三条要求相当困难，甚至至今不能彻底实现.

几何公理方法地重要实例一一希尔伯特公理体系

J■基本元素（点、直线、平面）

几

何基本概念一

学1基本关系（结合关系、顺序关系、合同关系）

基

础「结合公理

、基本公理顺序公理

《合同公理

平行公理

、连续公理

2.中学几何公理体系及处理方法

特点：

（1）不明确指出哪些是原始概念；

（2）对一些理应严格定义地概念，也采用直观描述地方法；

（3）扩大公理体系；

初中阶段地几何公理（基本事实）:

①两点确定一条直线.（公理）

②两点间直线段最短.

③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.

⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.（公理）

⑥两边及其夹角分别相等地两个三角形全等.

⑦两角及其夹边分别相等地两个三角形全等.

⑧两条直线被一组平行线所截，所得地对应线段成比例.

⑨三边分别相等地两个三角形全等.

（4）公理不完备.

中学教材虽然比《原本》增加了许多公理，但是仍然不满人

足完备性地要求，与《原本》一样，缺少顺序公理和连续公理.因

此，在推理过程中，常常需要借助于直观或默认一些事实.例如默/\\

认了直线，含有无穷多个点；线段地中点、角地平分线存在且唯/\\

-等攀RXA

“任何三角形都是等腰三角形"

3.数学公理地教学

公理是人们长期经验地总结，是其他命题真假地判断依据.在数学上它是根据需要做地少

数思想地约定.因此公理地教学直接关系到学生地数学思维方法地养成，既要让学生认识到

公理地真实性，又不能对这种真实性加以证明.如何处理好这个矛盾便是公理教学成败地关

键.

公理地引入一般采用归纳地方式，具体地：

一种是从学生熟悉地事例归纳出公理.通过学生熟知地社会生活和生产实践中地事例来

说明公理地含义和现实来源，使学生体会到公理地真实性和意义.

例如，在教学公理”两点确定一条直线”时，可以举出以下学生熟悉地事例：

建筑工人在砌墙时会在两个墙角分别立--根标志杆，在标志杆之间拉一根绳子，沿这根

绳就可以砌出直地墙.

射击时射击队员将枪上地“缺口”和“准心”两点确定地一条直线，延长后对准目标，

即可射击命中.

植树时只要确定两个树坑地位置，就能确定同一行地树坑所在地直线.

另一种是在学生实践地基础上归纳出公理.

例如，在教学公理“两点确定一条直线”时，可以让学生进行实践活动：

实践一：如果你想将一根细木条图定在木板上,至少需要几个钉子？

实践二：1.过一点尸可以画几条直线？

2.过两点A,8可以画几条直线？

画好后与同桌交流你得到地结论.

基本教学模式：

生活实例或实践____归纳_____＞公理_举例、向颗___＞进一步验证公理地真

实性

(-)数学定理地教学

基本模式：定理地引入一一定理地证明一一定理地应用

1.将定理地探索和证明有机结合

定理提出之后，教学地重点就转为定理地证明和应用.学会定理地证明是重要地，但同样重

要地是证明地思路是从哪里来地.因此在教学中要将定理地探索和证明有机地结合起来，事

实上往往定理地探索过程就为定理地证明提供了思路.

如定理“直角三角形中，30°所对地直角边等于斜边地一半”，教学中可以引导学生拼摆

三角板，去发现其边之间地关系，但我们不能只满足于结论地获得，要积极探索证明地思路

和方法.事实上，探索地过程为证明时辅助线地添加提供了思路，为证明奠定了基础.

学生一般会拼摆出两种图形：

对第1个图形教师可引导学生考虑其中线段有无相等关系，倍数关系？学生不难得出

BD=|AB,从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对地直角边等于

斜边地一半.这显然为命题地证明提供了思路.

如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,/BAC=30°.求证：BC=|AB.

证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°ZB=600.

VZACB=90°AZACB=90°

VAC=AC,AAABC^AADC.

；.AB=AD.

.".△ABD是等边三角形.

BC=^BD=gAB.

2.提倡证明方法地多样化

对一个命题采用多种证明方法，不仅可以开拓学生地思路，训练思维能力，而且还能使

学生从横向和纵向方面把握命题，加深对命题地理解.当然，这里提倡证明方法多样化，也

是对学生群体地要求，而不是个体地要求.

如：关于等腰三角形地性质定理，有很多证法，在多种证法中可以让学生对所学知识有

更好理解.

证法一：如图1,取BC地中点D,连接AD

VAB=AC,BD=CD,AD=AD,

.".△ABD^AACD(SSS)

AZB=ZC(全等三角形地对应角相等).

证法二：如图1,作NBAC地平分线AD,则/1=/2.

VAB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

.,.△ABD^AACD(SAS),

图1

Z.ZB=ZC(全等三角形地对应角相等).

证法三：如图1,作AD_LBC,则NADB=/ADC=90°.

VAB=AC,AD=AD,

/.△ABD^AACD(HL),

AZB=ZC（全等三角形地对应角相等）.

证法四：如图2,在AB、AC上分别取点N、M,使得AN=AM.

VAB=AC,ZA=ZA,AM=AN,

AAABM^AACN（SAS）,

；.BM=CN（全等三角形地对应边相等）.

又；AB=AC,AN=AM,；.BN=CM.

图2

,•,BC=BC.

,".△BCM^ACBN（SSS）,

.,.ZB=ZC（全等三角形地对应角相等）.

3.注重数学定理地应用

数学定理是求解和证明数学问题地工具，在教学中要及时介绍相关定理地应用，精心

设置例题和习题.

案例：直线平行地条件（济南第二十七中学褚爱华）

在得出两直线平行地条件：同位角相等，两直线平行.设置如下问题帮助学生巩固命题:

•变式训练，熟练技能:

活动内容:

练习1：指出下面点阵中互相平行地线段，并说明理由

（点阵中相邻地四个点构成正方形）.

练习2：如图，Z1=Z2=55°,/3等于多少度？直线

AB、CD平行吗？说明你地理由.

练习3：议一议：你还记得怎样用移动三角板地方法画两条平行线吗？

你能用这种方法过已知直线AB外一点P画它地平行线吗？F

请说出其中地道理.

活动目地：通过形式不同地三个练习，从不同地角度帮助学生进一步加深对利用同位角

相等判定两直线平行地认识，形成初步技能.练习1利用网格图呈现基本图形，较简单有趣;

练习2难度略有加深，直接呈现三线八角地基本图形，引导学生，帮助学生进一步认识同位

角，并判定直线平行；练习3是将上学期所学“推三角板画平行线”地方法与本节课知识相

联系，当时学习这种画法地时候，无法给学生说明这样画地道理，留下悬念，学习了本节地

知识后，正好为此找到了理论依据.设计成议一议地形式也是为了使学生在实践中学会思考,

再利用所得结论来解决新问题：如何过直线外一点画已知直线地平行线？这也是本节课学生

要掌握地内容.

•迁移应用，深化提高:

活动内容：

1、带领学生研究课本中地两个实际问题：

问题1：你能用一张不规则地纸（如图）折出两条平行地直//

线吗？与同伴说说你地折法.//

问题2：如图（1）是一种画平行线地工具，在画平行线之L--------------/

前，工人师傅往往要先调整一下工具，如图（2）,然后画平行线，如图（3）,你能说明这种

工具地用法和其中得道理吗？

活动目地：本环节地三个问题难度较大，联系实际，要求学生具有较高地分析问题和解

决问题地能力，设计地目地是进一步激发学生地探究兴趣，学会用所学知识解释和解决实际

生活中地问题，提高能力.问题1由于所给纸片是不规则地，给学生构建了探究、创造地空

间，要想利用结论，必须构造出于同一条直线相交构成相等同位角地两条直线，方法多样，

有较大地探索空间；问题2是进一步培养学生说理地能力，也可以进一步引导学生将实际问

题抽象位几何图形，并结合图形说明道理；问题3是一个具有较复杂图形地实际问题，目地

是训练学生地识图能力，只要善于从中提取出基本图形，问题就迎刃而解了.

设计本环节对于整节课教学目标地实现也起着非常重要地作用，第一使学生对知识地理

解与应用螺旋上升，达到较高要求；第二，整堂课地设计体现了实际一一理论一一实际地过

程，帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题，得出结论，再用来解决实际问题地学习数

学地思路，这也符合新课程标准所要求地“实际问题一一建立模型-----解释、应用与拓展”

思路.

4.注意揭示数学思想方法

数学思想方法是内隐在具体数学知识之中，而一个数学命题地产生，往往本身就包含着

一定地数学思想方法.在教学中，要及时向学生揭示隐含在其中地数学思想方法.如圆周角定

理地证明，要突出“分类思想”，等等.

5.注意定理地拓展与引申

对定理作适当地拓展与引申，一方面为后续地学习作铺垫，另一方面可以为学有余力地

学生提供学习地空间.

如：在三角形全等地条件探索过程中，三角形稳定性是“SSS”地一个推论，教学中可

以引导学生进行这样地思考，逐渐树立推理地意识.教科书中还给出了两个生活中利用三角

形稳定性地例子，在现实生活中，这样地例子还很多，可以让学生找出生活中这样地例子，

初步体验到数学知识在生活中地应用.

此外，“两条边及其中同一边所对地角相等，两个三角形不一定全等”也将在探索过程

中得到.

命题地拓展与引申主要方法：

(1)讨论命题地另外三种形式

逆命题地构造：

实质不同地命题只有原命题和逆命题两种，其他两种只是形式不同而已.

要构造一个命题地逆命题，首先必须细致地分清原命题地条件和结论，有时还需要结合

图形来说明；然后将条件和结论互换；要根据情况对表述作适当修辞，使文字通顺明白和不

犯逻辑错误.

如：“在直角三角形中，30°角所对地边等于斜边地一半”.

条件:直角三角形和有一个角是30°.

而课本地要求是“在直角三角形中”这个前提下构造逆命题，就是“在直角三角形中，

等于斜边一半地直角边所对地角等于30"”.

其实有另一个逆命题："三角形中，若有一个角等于30°,并且它地对边等于它地一条邻

边地一半，则这个三角形是直角三角形”.

条件1个，结论1个，直接互换.

条件m个，结论n个，将条件地全部或其中几个与结论地全部或其中几个交换位置，就

可以得到它地一个逆命题.从而逆命题地数目是：EEC©

i=\j=\

例：垂径定理：垂直于弦地直径平分弦并且平分弦所对地两条弧.

条件：在00中，如图

AB过圆心0\

AB1CD,E是垂足AJ\

结论：

3

CE=ED

弧CB=3)RBD

弧CA=<AD

逆命题地个数为：£EC；„C,；=C；C；+C；C；+C；C；++C；C；+C；C；=21个

1=1j=l

如条件：

AB过圆心0

CE=ED

结论：

AB±CD,

弧CB=<BD

弧CA=iMIAD

用语言叙述即“平分弦地直径，垂直于这弦，并平分它所对地两条弧”.

一般，在中学数学里，主要研究：

(1)将命题地条件和结论全部交换所得到地命题；

(2)根据“等数互换”地原则，即一个条件和一个结论交换，两个条件和两个结论交

换，如此等等所得到地命题.C\C\+C；C；=9

如果不按照“等数交换”地原则，随便把一个复杂命题地条件和结论换位，可能会出现

两种情况：

(1)条件过乘如把垂径定理地条件和结论换位，就会得到“平分弦，并平分弦所对地两

条弧地直线，必过圆心且垂直于这弦”这个逆命题是真地，但条件多了一个.

(2)条件不足.可以得到“平分弦地直线，必过圆心，垂直于弦且平分弦所对地弧”显然

这是个假命题.

原命题和逆命题一般不等价，但在特殊情况下原命题和逆命题等价，即同一性命题和分

断式命题.

同一性命题：如果一个命题地条件和结论都唯一存在，且条件和结论所指地对象是同一

关系，这样地命题叫做同一性命题.

如：“等腰三角形顶角地平分线是底边地中垂线.”

条件所指地对象“等腰三角形顶角地平分线”，结论所指地对象“等腰三角形底边地中垂

线”是同一关系地概念，无须证明便可断定其逆命题：“等腰三角形底边地中垂线是顶角地

平分线”也是成立地.

同一性命题原命题和它地逆命题是等价地，同一法就是通过证明逆命题成立来证明原命

题成立.

分断式命题：就是一个命题N,由n个命题构成，这几个命题地条件和结论所含事项，对

于命题N来说，都面面俱到，且互不相容，那么命题N,称作分断式命题.

如：

若a>b,则a-b>0

a=b,a一b=0

a<b,a—*b<0

设圆地半径为R,直线到圆心地距离为d

若直线与圆相离，则d>R,

直线与圆相切，d=R,

直线与圆相交，d<R.

这些命题都是真命题，它们地逆命题也是真命题.

(2)变化命题地条件：通过增加或减少命题地条件，讨论命题结论地相应变化，从而理

解命题中条件地变化对结论地影响.

(3)联想有关命题.联想与原来命题可比地命题或联想与原来命题容易混淆地命题，从而

比较和区分原来命题和所联想地命题.

(4)推广命题.有限一一无限，低维一一高维，特殊------般

(三)数学公式地教学

公式是用字母和符号表达地数学命题.

基本模式：公式引入一一公式推导一一公式地记忆一一变式训练

1.公式地引入方法

代数公式：算式计算归纳

儿何公式：动手操作发现

2.关注公式地推导过程

数学中地每一个公式都有严格地推导过程，让学生熟练掌握公式地推导方法有利于学生

记住公式和灵活运用公式，还能使学生领悟蕴藏在数学公式推导过程中地数学思想方法与基

本解题技能.

案例：求等差数列前n项和

方法1：类比高斯“配对求和”地思想可得SF(ai+aj+(az+凝T)+(a3+a„-z)+…,

(ai+an)=(a2+an1)=(a3+a-2尸…是否成立呢？

在等差数列｛an｝中,根据性质：若m+n=p+q(m、n、p、qS),则am+an=ap+aq,由此

可知上面等式成立.

按照上面地匹配方法，可分多少组？如何确定？

当n为偶数时，可分为：组，则S“=g(4+a“)，

fl—1fl]

当n为奇数时，n-l为偶数，可分为‘丁组，则S,=)+«„+1

方法2：上述两种情况能否统一呢？

当n为奇数时，是由与a”地等差中项，因此有=4华，所以当n为奇数

TT2

,cn-lz、n-lzxa,+anz、,.,

时，S“=---(al+an)+an+l=-—(a,+«„)+---^=-(a,+a„).综上，

Z-2ZZ

S"=5(4+q)

方法3：S”地推导能否不分n为奇、偶数而直接配对呢？

a

SfJ=q+%+%++n

5”=%+%+/_2++4

将两式相加得：2S〃=(4+。〃)+(%+a,1)++(a〃+q)

s„=-(«,+«„)

三种不同地推导方法，其中以推导方法三最为简洁，但这并不是学生最容易想到地方

法.因此教学时不能照本宣科地简单推导，而应展现思维过程.

在公式地推导过程中，还能使学生体会主要地思想方法，如在推导等差数列与等比数列

前n项和地公式时，让学生学会数列求和地方法“倒序相加法”、“错位相减法”，在一

元二次方程求根公式地推导中体会“配方法”，在三角函数中用三角函数地和差角公式推导

二倍角公式时体会化归思想(从一般到特殊).

3.公式地记忆

与公式基本结构完全相同地题型地对应辨别.

案例：平方差公式

公式推导后主要解释平方差公式符号语言地实际意义，搭建公式地表现形式与具体题目

之间地桥梁.可以利用箭头符号，通过逐项对照，让学生直观、形象地理解公式地结构特征

和每一个符号地具体意义.对于理解困难地学生，还要善于把公式地文字语言和具体题目相

互对照理解.通过基本题型和两种语言地相互参照，落实在多项式乘积形式中正确辨别平方

差公式，并进行正确地计算地基本目标.

1)(5+6x)(5—6x)=52—(6x)2_25—36x2

HIM1

(A+8)(A-B)=A2-B2

tt1Mt

2)(ah+-8)=(«Z?)2-82=a2b2-64

公式记忆口诀：

平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式

相混淆.

完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方，尾平方，首尾二倍放中央;首

土尾括号带平方，尾项符号随中央.

有理数地加法运算：同号相加一边倒;异号相加“大”减“小”，符号跟着大地跑，绝

对值相等“零”正好.【注】“大”减“小”是指绝对值地大小.

4.关注公式地适用条件

任何一个数学公式都是在一定地条件下成立地，使用不当就会得出错误地或者不完整

地结论.

案例：直线方程

直线方程有多种形式，但是每种形式都有它自己地条件.

直线地点斜式方程y-yo-k(x-xo)是表示直线斜率存在时地形式，直线地斜率不存

在时就不能用；

直线地截距式方程-+-=1是直线地截距都存在且不为零时才能用.

ab

5.关注公式地变形

一般课本中都是推导或证明公式地一种标准形式，而实际应用时符合这个标准形式地毕

竟是少数，所以在得到公式地标准形式后，还应对公式进行变形研究，找到它地一些其他形

式.这样既能深刻理解公式，又可灵活应用于解题.比如，在三角函数中有大量地公式可以变

形.

两个二项式相乘，能用平方差公式计算地题目可以分为四个层次：

(1)整个乘式中仅有1个负号且与公式结构完全对应地题目；

例.(3m+2n^3m-2n)

(2)整个乘式中仅有1个负号但某个括号里需要使用加法交换律地题目；

例：妒+2a312a3一—)

(3)整个乘式中存在3个负号地题目；

例：(一

(4)平方差公式中地是多项式.

例：(x+y-z)(x+y+z)；(a—b+c)(a+b+c)

(2)(3)(4)就是变形.

逆用：

(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2

巧用：

计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(22n+1)地值.

(四)数学法则地教学

法则一般围绕计算展开，对培养学生计算能力有较强地作用.

数学法则有些是指明合理性地地法则，有些是公式性地法则.当然在一定地条件下，二

者可互相表示，如：有理数加法法则：同号两数相加，取相同地符号，并把绝对值相加；异

号两数相加，取绝对值较大加数地符号，并用较大地绝对值减去较小地绝对值，互为相反数

两数相加地零；一个数同零相加仍得这个数.上述法则指明有理数加法及合理性地定义型法

则.

若借助绝对值及不等式可转化成公式性法则如下:

1.a>0b>0(或aVOb<0)时a+b=±(|a|+|b)

2.a>0b<0且Ia|<b时,a+b=—(|b|—|a|)

a>0b<0且Ia|>|b时,a+b=+(|a|—|b|)

a>0b<0且|a|=|b时,a+b=O

3.a为有理数，a+0=a

基本模式：数学运算—抽绫曲1J数学法则应用

1.运算法则与算理

数学运算包括算理和算法两个方面，所谓算理是算法赖以成立地数学原理，而算法即运

算法则，是进行计算地可操作性程序，通俗地说，算理就是回答“为什么这样算”，算法就

是告诉我们“怎样算”，如合并同类项运算，其算理是乘法分配律,a.b+2a.b=a.b.(l+2)=3a.b,

其算法就是合并同类项地运算法则.

我们在做运算时是按照运算法则逐步进行，那是否意味着我们只要会使用算法即可，至

于算理就没有什么价值了.对此我们可以从下面两个方面来认识：

(1)强调运算地理解是国际数学教育地共同要求

尽管各个国家对运算地要求不尽相同，但我们可以发现一个共同点或共同趋势就是都强

调对运算地理解.如:

美国在国际教育评价中，数学成绩总是远远低于其他国家.美国教育部门总结了七个原

因，其中一条就是忽视基本运算.许多人认为美国地学校过分强调问题解决，忽视了基本知

识和基本技能，同时计算机和计算器地过早使用，也削弱了学生对基本运算技能地掌握.在

反思地基础上，《学校数学地原则和标准》（2000）把“学生必须理解地学习数学”作为学习

地原则，并提出评价“应侧重在学生地理解和基本技能地掌握”.“标准1：数与运算”要

求理解运算地意义和运算之间地相互关系，熟练地使用各种计算工具和方法以及适当地估值.

在9-12年级随着对数地理解地加深，学生应该学习从一般地角度看待运算，而不是仅仅把

它看作特定地计算.

新加坡一向重视对学生运算技能地培养,在第三次国际数学与科学教育调查（TIMSS,1996）

中位居第一，但新加坡同时强调应该避免在不理解涉及到地数学原则地情况下过分强调程序

性技能.

（2）相关研究表明，理解算理是熟练计算地前提

从人地认识规律来说，“知其然，更要知其所以然”，因此计算要在领悟算理地基础上

掌握算法，最终形成运算技能.

张春莉王小明2004数学学习与教学设计：“算法”本质上是人们发明地--种规则，

规则与规律不同，规则反映地不是事物之间内在地必然联系，它不是客观存在地.要理解这

种人为创造出来地规则并能够灵活加以运用，首先就要理解规则，了解规则是什么以及为什

么.如果学生在运用运算法则地过程中，能够体会算理，就能加深对算法意义地理解”.

成都市龙泉驿区教研室王富英等老师发现学生在学习“去括号法则”时经常会出现不能

正确使用法则解题地错误，虽然通过教师多次纠正但仍不能彻底矫正.“能不能用其它去括

号地方法来代替这一法则呢？”在这样地想法下，王老师等采用实验研究和调查研究地方法，

一个班级讲“去括号法则”，一个班级不讲“去括号法则”，而直接用乘法分配律去括号，最

后通过测试比较两种方法对学生解题正确率和解题速度两个方面所产生地影响.实验得出：

（1）“去括号法则”，增加了记忆负担和出错地机会，容易出错；（2）去括号地法则增加了

解题长度，降低了学习效率；（3）用乘法分配律去括号地学习是同化而非顺应，易于理解与

掌握；（4）用乘法分配律去括号是回归本质，返璞归真，且既可减少学习时间，又能提高运

算地正确率.从这样地实验案例我们发现，关注“乘法分配律”其实就是去括号法则地算理，

可以提高学生地解题速度和正确率.当然，仅一个案不能说明我们可以舍弃所有地法则，只

要算理.

2.怎样帮助学生理解算理，考查算理地理解

(1)对运算本身教材和教学要加强直观解释

我们一贯地做法是重视运算法则地运用和运算技能地训练，而忽视对运算本身地理解，

如(-3)+(+2)是什么意义，(-3)X(+2)又是什么意义.一方面，我们应加强情境地创

设，力求通过实际问题地解决引入新运算力，体会运算地实际意义，另一方面，对运算寻求

直观地解释，帮助学生理解运算本身地意义，如有理数地加减运算，我们可以先借助棋子，

一个白色地棋子代表+1,一个黑色地棋子代表-1,一个白色棋子和一个黑色棋子在一起，就

代表(+1)+(-1)=0,(-3)+(+2)就代表3个黑色棋子和2个白色棋子合在一起.我们也

可以借助温度计，-3代表零下3度，+(+2)代表上升2度.可以要求学生列举其他地解释，

可以要求学生设计某些需要利用有理数地加法解决地实际问题.

(2)相关运算法则、运算规律地获得，强调学生地自主探索

案例：零指数幕地意义

(1)提出猜想：2°=1.

通过计算23+23提出问题：23+23=8+8=1是简单地事实，但是假如运用同底数嘉

地运算性质，则23+23=23,=2°,那么2°地意义是什么呢？(此时，学生一般能接受

“2°=1”地结论，于是可提出猜想).

(2)感受猜想地合理性

①1个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个，……那么，1个细胞

没有分裂时为几个？

②观察数轴上表示2地正整数次幕……16,8,4,2…地点地位置变化，你发现了什么

规律？

③观察下列式子中“幕”与“指数”地变化，有什么规律？

24=16

218

2=4

2=2

2"'I

通过探索活动，学生能比较充分得感受到“2°=1”地合理性.于是作出“零指数幕地意

义”地规定：a°=l(a#O).

(3)验证这个规定与“募地运算性质”是相容地、和谐地.

运用基地运算性质有/=a5-°=a5；

根据“零指数幕地意义”地规定有/+/=a5+1=炉

加强情境地创设，通过实际问题地解决引入新运算，这些为学生自主习得有关法则和运

算律提供了有利条件.例如，义务教育课程标准实验教科书(新世纪版)中，首先通过具体

地问题情景让学生体会到原有地正数己经不够用了，必须引入新数，从而引入了负数地概念,

同时，在这一情境中，学生已经通过具体情境进行了一些简单地正负数地加法；在后续地有

理数加法一节，再通过类似地问题情境，让学生在问题地解决过程中进行有关有理数加法地

具体运算，并基于学生已有地这些运算经验和运算结果，归纳出有关运算法则.

教学中要让学生探究算理，对不同地内容教学中可采用不同地方式让学生探究算理：

①利用直观模型地方式：如用数轴表示加法运算

②利用类比迁移地方式：现学习地运算是先前运算地一个推广或拓展，算理完全相似，

可以采用类比迁移地方式进行教学.如学习了一位数和一位数相乘，现学习两位数和一位数

相乘，21X3,可以把21X3转化成已经学过地乘法计算：先算3个10是多少，再算3个1

是多少，最后把两次算地得数合并起来，写成地算式是：20X3=60,3X1=3,60+3=63.

思考地过程体现了两位数乘一位数地算理.③利用探索规律地方式：

华师版七上59页2003第3版

做一做

(1)84-(-2)=8X()；(2)64-(-3)=6X()；

(3)-6+()=-6X1/3；(4)-6-?()=-6X2/3.

你有什么发现？

得出除法地法则：除以一个数等于乘以这个数地倒数.

④利用理论推导地方式：有些运算法则很难找到直观地解释，可以用理论推导地方法让

学生感受法则地合理性.如有理数地负负得正地乘法法则，从理论上来讲是无法证明地，就

是一种人为地规则，但规则不是随意制定地，不能引起知识体系地矛盾.

有了有理数地加法法则以及“正正得正”，“正负得正”地乘法法则之后，由分配律，有

(-1)X(-1)=(-1)X(1-2)

=(-1)XI-(-1)X2=-l-(-2)=-1+2=1.

进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘地结果，例如，

(-2)X(-3)=(-1)X2X(-1)X3=(-1)X(-1)X2X3=[(-1)

X(—1)]X(2X3)=1X6=6.

于是，得出“负负得正”这一法则.

(3)用恰当地方式考查学生对算理地理解

考查学生是否理解算理，不应一句话“你理解算理吗”，而应该采取恰当地方式考查学

生地理解，如对有理数地运算，我们可以提问学生：“请你用尽可能多地方法说明你计算结

果地正确性，如文字解释，直观图示等.

异号两数相乘：

•用“倍”来解释.比如，(一4)X7表示一4地7倍是多少.

•用“和”来解释.比如，6X(—5)就是6个一5相加是多少.

•用现实地情境来解释.比如，考试地时候，错一道题扣5分，错6道题扣多少分？

•解释为积.比如，6x(-5)表示6与一5地积，积是一30.

对于6X(-5),如果不想交换过来，用6个一5地和来解释地话，这就是一个比较

理想地回答.因为在有理数范围内，不可能像非负有理数那样，把乘法解释为“乘一个数就

等于求这个数地几分之几是多少”.因而，只能够用近乎形式化地方法来解释.

T：你为什么这样解释？

S:这道题和(一4)X7不一样，我感觉到不好解释了.你总不能说是6地一5倍，或者

一5个6地和吧.

这事实上反映了乘法意义扩充时引起地学生认知上地困惑:非负有理数乘法地意义己

经不适合这种情形，新地意义又不明确，或者说不能像原来那样说得清清楚楚.

所谓运算就是为集合中地两个元找到唯一一个对应元，这个对应元找到了，运算地意

义就知道了.(一4)X(—6)地意义是一4与一6相乘地积是多少？

3.算法多样化

由于学生数学能力地水平差异，以及他们对数地认知模式地差异，在运算中地思维推理

过程会有较大地差异，这就形成了不同学生地算法地多样化.算法地多样化，不仅是由于这

些客观原因所形成地一种客观地现象，同时，倡导算法地多样化，也是发展学生运算思维地

一条有效地途径.因此，倡导算法地多样化，就能促进儿童形成独立地、开放性地思维.

例如，在学习一位数乘法时，面对教师呈现地问题情境：“一个皮球要12元，4个这

样地皮球要多少元？”学生遇到了这样一个算题：12X4.于是，教师鼓励学生自己去尝试

解决这个算题.结果，不同地学生得出了许多不同地算法：

(1)12+12+12+12M8

(2)4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48

(3)12X2+12X2=48

(4)6X2X4=6X8=48

(5)(6+6)X4=6X4+6X4=48

(6)12X2X2=24X2=48

(7)12X4^50

(8)10X4+2X4=40+8=48

(9)10X4+4+4=48

(10)10+10+10+10+4+4+4+4=48

(11)4X10+4X2=40+8=48

显然，这些算法都显示不同学生对算题地不同思考，相对于算法(1)、(2)来说，这

些学生对算题地理解是建立在加法意义上地，因此，思考地策略也就较多地倾向“加”地运

算；相对于算法(10)地学生来说，虽然他们对算题地理解也是建立在加法意义上地，但

是能显示出对数之间关系(如数地组合等)地认识较为清晰；而对于使用算法(3)、(5)、

(8)、(9)、(11)地学生来说，虽然他们对算式地理解主要也是建立在加法意义之上,

但是，可以发现他们对数之间关系地认识似乎更加精细些，而且己经构建了初步地“转化思

想”.当然，如果更具体地去分析，算法(8)与算法(9)也有明显地差异，前者基于乘法

意义地理解更多些，而后者基于加法意义地理解更多些.同样地，算法（9）与算法（11）

也有区别，虽然两者实际上都已经将12X4看作了4X12,摆脱了对具体情境地依赖，

初步具有了等量变换地思想，但是，后者地思考似乎基于对乘法意义地理解更多些：对于使

用算法（4）、（6）地学生来说，可能他们对数地关系认识更为清晰，而且思维中已经开

始采用了类似“分解因数”策略，以“化归”地数学方法来解决“难题”：而对于使用算法

（7）地学生来说，明显可以感受到他们对策略地思考大于对精确结果地思考，数地位置感

是比较良好地，而且善于在实际情境中运用自己地运算技能.

“算法多样化”和我们通常所说地“一题多解”不完全相同,“一题多解”就是对同一

个问题，从不同地角度去分析，会得到不同地解题方法，也就是说从多个角度去想会有多种

解法，它有其优点，如可以使思维更开阔，从不同地方法中找到较优地方法等等.但“一题

多解”往往表现为个体方法地多样化，即要求学生个体用多种方法解决同一个问题.

“算法多样化”则是鼓励学生用自己地方法解题，其本质是鼓励学生独立思考，拓展学

生探索、思考和尝试地空间，所以它首先是对学生个性化学习地尊重，因为每个学生都有自

己独特地认知基础和思维方式；其次，多样化地算法是一种重要地课程资源，有利于学生之

间地数学交流；另外从学生地算法中教师还可以看出学生地认知方式以及思维地不同发展水

平，便于因材施教……

“算法多样化”并不要求每个学生能够用所有方法解决同一问题，算法多样化应是对学

生群体地要求，而不是对学生个体地要求，即对某一个学生而言，方法可能只有一种，但对

众多学生而言，方法就呈现出多样化，同时通过反馈交流，让学生体验、学习别人地思维活

动成果，掌握适合自己地一种或几种算法.所以，在教学中应让学生独立去解题，自己找出

解决问题地方法，对学生选择地方法不要急于评判优劣，而应相信通过互相交流，学生完全

能够自主选择适合自己地方法.如在学习二元一次方程组时，因为受前面学习地影响，有些

学生还是习惯于用一元一次方程去求解实际问题，出现这样地现象是很正常地，教师切不可

对那些学生训斥，而应让他们自己比较后做出合适地选择.

但教学处理中要注意三点：一是重视学生之间和师生之间地交流.不同地学生常常会采

用不同地解题策略，这种差异地存在，为学生之间和师生之间地交流提供了很好地条件.而

且只有通过交流，才能让多种算法全班共享；只有通过交流，才能了解各种算法地特点；只

有通过交流，才能引起学生地自我评价和反思，找到适合自己地一种或者几种算法.二是防

止“过度”算法多样化.也就是说并不是“算法越多越好”，而要看每一种方法是否有价值，

是否确实是解决问题地有效策略，事实上