含参数的“一元二次不等式”解法-高三数学万能解题模板2022（试卷解析分析）

专题25含参数的“一元二次不等式”解法

根据二次项系数的符号分类

含参数的“一元二次不等式”解法|根据二次不等式所对应方程的根的大小分类

根据判别式的符号分类

【高考地位】

解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问

题的一个难点.在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.

类型一根据二次项系数的符号分类

万能模板内容

使用场景参数在一元二次不等式的最高次项

解题模板第一步直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；

第二步分别求出其对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

例1已知关于x的不等式依2—3x+2>0(aeR).

(1)若不等式ox?-3x+2>0的解集为｛x|x<l或x〉)｝,求a,6的值.

(2)求不等式ad—3x+2>5—ax(aeR)的解集

33

【答案】(1)a=l,b=2(2)①当。>0时，｛小〉一或％<-1｝②当一3vav0时，｛九一③

aa

当a=—3时，0④当a<—3时，｛乂―l<x<。｝⑤当a=0时，原不等式解集为卜,<—1｝

【解析】(D将x=l代入ax,—3x+2=0,则a=l,二不等式为/-34+2>0gp(x-lXx-2)>0

---不等式解集为｛乂x>2或x<1｝:6=2.

(2)第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0：

不等式为ax1+(〃一3)x-3>0,BP(ax-3)(%+1)>0

第二步，分别求出其对应的不等式的解集：

当。=0时，原不等式的解集为上|%<—1｝；

当awO时，方程(ax—3)(x+l)=0的根为玉=。,々=—1；

a

所以当a〉0时，|x>—或x<-lj>；

3.3

②当一3vav0时，一<一1,・・｛乂一

aa

a.

③当〃=—3时，一=—1,..0

a

④当。<—3时，->-1,・二｛耳一

aa

第三步，得出结论：

33

综上所述，原不等式解集为①当〃〉0时，｛%卜>2或XV—1｝；②当—3vav0时，｛X—<%<—1｝

aa

③当a=—3时，0；④当a<—3时，｛x|—l<x<』｝；⑤当a=0时，原不等式解集为砧;<—1｝.

考点：一元二次不等式的解法.

【点评】(1)本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知公2-3x+2=0的

两根为％=1必=〃，旦a>0,根据根与系数的关系，即可求出a,6的值.(2)本题考察的是解含参一元

二次不.等式，根据题目所给条件和因式分解化为(依-3)(x+l)>0,然后通过对参数。进行分类讨论，即

可求出不等式的解集.

【变式演练1】【湖北省黄冈市麻城市2020-2021学年模拟】已知二次函数f(x)=x1+2ax+2.

(1)若xe［l,5］时，不等式/(%)>3融恒成立，求实数。的取值范围.

(2)解关于x的不等式(a+l)*+%>/(%)(其中aeR).

【答案】(1)a<2夜：(2)①当a=0时，不等式解集为(2,+8)；

②当a>0时，不等式解集为1—8,一：1°(2,+co)；

③当—；<a<0时，不等式解集为［2,—：］；

④当。=—1时，不等式解集为0;

2

⑤当”一；时，不等式解集为[Q].

【分析】

(1)不等式/(x)>3ox转化为必―融+2>0,利用参数分离法得。<%+工，即+,再利

用基本不等式求函数的最小值即可.

(2)不等式(a+l)*+x>/(x),即(％—2)(以+1)>0,对。进行分类讨论，由二次不等式的解法，

即可得到所求解集.

【详解】

(1)不等式/(x)>3ax即为：x2-ax+2>Q^

rix2+22/2)

当XG1,5时，可变形为：a<^-^=x+-,即。<x+一.

XXIxJmin

又X+2N21=2&,当且仅当x=2,即X=0w[l,5]时，等号成立，...x+2=2、份，即。<20

二实数。的取值范围是：a<2j5

(2)不等式(a+l)*+%>/(%),即(a+l)]?+x>x?+2依+2,

等价于ar?+(1-2a)x-2>0,即(x-2)(ar+l)>0,

①当a=0时，不等式整理为x—2>0,解得：%>2；

当awO时，方程(x—2)(ax+l)=0的两根为：％=—：,x2=2

②当a>0时，可得—!<0<2,解不等式(x—2)(3:+1)>0得：%<--或%>2；

③当—；<a<0时，因为—L〉2,解不等式(x—2)(G:+1)>0得：2<x<—4；

④当。=—；时，因为一；2,不等式(x—2)(依+1)>0的解集为0；

⑤当a<—,时，因为—<2,解不等式(％—2)(tzx+1)>0得：—<x<2；

综上所述，不等式的解集为:

①当a=0时，不等式解集为(2,转)；

②当a>0时，不等式解集为1—8,—］D(2,+CO)；

③当—；<a<0时，不等式解集为［2,—：］；

④当a=—1时，不等式解集为0；

2

⑤当a<—；时，不等式解集为［Q］.

类型二根据二次不等式所对应方程的根的大小分类

万能模板内容

使用场景一元二次不等式可因式分解类型

解题模板第一步将所给的一元二次不等式进行因式分解；

第二步比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；

第三步,得出结论.

例2解关于x的不等式以2—(a+l)x+l〉0(。为常数且a/0).

【答案】a<0时不等式的解集为(工,1)；0<。<1时不等式的解集为(—吗1)1^^,+8)；。=1时不等式

aa

的解集为(-00,1)U(L+8)；a>l时不等式的解集为(-00,1)u(l,+oo)..

a

若。>1,0<,<1,不等式的解集为(―oo,1)U(l,+oo)

aa

试题分析：ax2-(^+l)x+1>0<»a(x——)(九一1)>0,先讨论a<0时不等式的角军集；当〃>0时，讨论1

a

与的大小，即分〃=1,分别写出不等式的解集即可.

a

【解析】第一步，将所给的一元二次不等式进行因式分解：

原不等式可化为a(x--)(%-1)>0

a

第二步，比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论：

(1)a<0时，不等式的解集为(工,1)；

a

(2)。＞0时，若0＜。＜1,-＞1,不等式的解集为(—00,1)U(L,+00);

aa

若〃=1,不等式的解集为(—8,1)U(L+8)

若。＞1,0＜-＜1,不等式的解集为(—00,4)UQ,+00);

aa

第三步，得出结论：

。＜0时不等式的解集为(工,1)；0＜。＜1时不等式的解集为(_oo,i)u(工,+oo)；a=1时不等式的解集为

aa

(-oo,l)IJ(1,+8)；a＞l时不等式的解集为(-00,-)U(l,+oo)

a

若。＞1,0＜-＜1,不等式的解集为(―oo,L)U(l,+oo)

aa

考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.

【变式演练2】【北京市第八中学2019-2020学年高三下学期期末】设77/GR,不等式

加？-(3m+l)x+2(7篦+1)＞0的解集记为集合尸.

(1)若。=卜卜1＜尤＜2},求加的值；

(2)当加＞0时，求集合尸.

【答案】(1)m=(2)答案见解析.

2

【分析】

(1)由题意可知，关于x的方程〃a2-(3相+1)1+2(机+1)=0的两根分别为—1、2,利用韦达定理列

等式可求得实数加的值；

|1M/jI1

(2)解方程初d—(3m+l)x+2(m+l)=0可得x=——＞0或％=2,对——与2的大小进行分类讨

mm

论，结合二次不等式的解法可求得集合尸.

【详解】

(1)由题意可知，关于x的方程3；2—(3m+l)x+2(7篦+1)=0的两根分别为—1、2,

3m+11

------=—1+2

所以，m^Q,由韦达定理可得《1、，解得根=一'

^「l=-lx22

m

(2)当相＞0时，由mx?—(3加+1)%+2(小+1)＞。可得(mx—相一1)(%—2)＞0,

VVl|

解方程(mx一小一1)(%一2)=0,可得x=---->0或％=2.

m

①当----<2时，即当机>1时，P=\xx<-----或x>2｝；

m[m

②当生±1=2时，即当m=1时，原不等式为2)2>0,则p=｛乂》/2｝；

H7+1

③当---->2时，即当0<加<1时,尸={%[%<2或x>

m

772+]

综上所述，当时，P=\xx<-----或%>2｝；

m

当m=1时，则。=｛%,72｝；

m+1

当0<m<1时，P={x|x<2或x>

m

类型三根据判别式的符号分类

万能模板内容

使用场景一般一元二次不等式类型

解题模板第一步首先求出不等式所对应方程的判别式；

第二步讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；

第三步得出结论.

例3设集合A={x|x?+3k242k(2x—1)},B-{x\x2—(2x~l)k+k2^0},且A^B,试求k的取值范围.

【答案】左上0或一14左<0.

【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式:

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式A=4左2—4(左2+幻=—4k,

⑴当k=0时，A<0,xe7?.

(2)当k>0时，△<(),XGR.

(3)当k<0时，△>0,x〈左一J-4或iXNk+V—k.

第二步，讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集：

故：当归上0时，由B=R,显然有

3k-]<上一J—k

当k<0时，为使AqB,需要<——nkN—1,于是kN—1时，AoB.

k+l>k+y/-k

A={x\[x-(3k-l)][x-(k+l)]>0},比较次一+1的大小，

因为(3Z—1)—(4+1)=2(左一1),

(1)当k>l时，3k—l>k+l,A={x|x23k—1或x〈左+1}.

⑵当k=l时，XGR.

⑶当k<l时，3k—l<k+l,A={x|x»左+1或x<3左+1}.

第三步，得出结论：

综上所述，k的取值范围是：左20或一14左<0.

【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对△进行分类，或利

用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式△的符号分类.

【变式演练3】在区间(1,2)上,不等式---7加-4<0有解，则根的取值范围为()

A.m>YB.m<—^C.m>—5D.m<—5

【答案】C

【解析】对于方程一x2一尔-4=0,A=m:-16,

当A40即-4S刑44时，二次函数卜=-1一射一4与x轴无交点，又函数图像开口向下，那么不等式

一/一的一4<0解为实数解K；

当A20即加<-4或桁>4时，二次函数=与x轴有两个交点，记再二加一变,

—2

巧=竺孚，若在区间(L2)上不等式一小一的-4<0无解，则有[项解得泄4-5,从而知若在区

-2[x2<2

间(L2)上不等式一丁一亡-4<0有解则刑>一5；则-44泄44或冽>一5得刑>-5.从而选C.

考点：一元二次不等式定区间定轴问题.

【变式演练4H2020湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学(文)试卷】若存在xG[-2,3],使不等式2%-

x2>a成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,1]B.(—8,-8]C.[1,+8)D.[-8,+8)

【答案】A

【解析】

试题分析：设/(久)=2比—/=—1)2+1w1,因为存在xe[-23],使不等式2支—/>a成立，可知

a«f(x)二,所以aSl,故选A.

【高考再现】

1.12015高考江苏，71不等式2,f<4的解集为.

【答案】(-1,2).

【解析】由题意得：无2一天<2n_1<》<2,解集为(T2).

【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式

【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程

。/+/^+。=0(。〉0)的解集，先研究八=/一.,按照△>(),A=0,,△<0三种情况分别处理，

具体可结合二次函数图像直观写出解集.

2.[2012年福建卷】已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.

【答案】(0,8)

【解析】试题分析：因为不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立.

.*.△=(-a)2-8a<0,解得0Va<8

故答案为：(0,8)

考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题

3.12015高考广东，文11][2008年高考广东卷理科数学试题】已知aeR,若关于x的方程

x2+x+a---1■同=0有实根，则a的取值范围是______________o

411

【答案】0,-

_4

【解析】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于元的二次方程有实根，那么

(]、1；|+问<|2"；,从而2”；<工，解得。

A=l-4a——+|。|N0即a——+V—，而a—

411411444

4.12015高考上海，文16】下列不等式中，与不等式，八°—<2解集相同的是().

%-+2x+3

A.(x+8)(x2+2x+3)<2B,x+8<2(x2+2x+3)

12%?+2x+31

C.----------<-----D.---------->——

x+2x+3x+8x+82

【答案】B

【解析】因为X2+2x+3=(x+1)2+2“>o,X+8可能是正数、负数或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)

可得，*8、<2,所以不等式二<2解集相同的是x+8<2(V+2x+3)，选B.

X2+2x+3X2+2X+3

【考点定位】同解不等式的判断.

【名师点睛】求解本题的关键是判断出必+2%+3=(%+1)2+222〉0.本题也可以解出各个不等式，再

比较解集.此法计算量较大.

【反馈练习】

1.【浙江省嘉兴市2020届高三模拟】已知函数f(x)=/+a%+b,集合2={x|f(x)W0},集合B=

{x|/(/(x))W》，若A=B40,则实数a的取值范围是()

A.[V5,5]B.[-1,5]C.[V5,3]D.[-1,3]

【答案】A

【解析】设B={%|/(f(x))<={x\m</(%)<n],(巾,兀为f(x)=的勺两根)，因为A=BH0,所以n=0

且mW/ininOO，A-a2-4b>0,于是/'(几)=f(0)=J，b=J,A-a2—5>0QaW—有或。2遍，

44

令t=f(x),/(/■(%))<|^>/(t)<|^>t2+at+|<j^-a<t<o,即B={x|f(f(%))W}={x|mW

/(%)<n]={x|-a<f(x)<0]=>m=一a,所以一a<筛也⑺，即一a</(-1)=>ae[-1,5],即ae[V5,5],

故选A.

点睛：本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；设集合

B={x|/(/(%))<^}=[x\m</(x)<n],根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系结合4=B手

0,得出b和??1=-a,即可求出实数a的取值范围.

2.【湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考】设p：实数x满足

x2-(a+l)x+«<0(0<a<5),q：实数x满足lnx<2,则p是g的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

分类讨论求出集合A,结合充分性、必要性的定义进行求解即可

【详解】

本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力.

A=1x|x2—(«+l)x+a<0|=<0},

当0<a<1时，A=[a,l]；

当a=1时，A={1}；

当l<a<5,A-\\,a\,

B=|x|lnx<2}=1x|0<x<e21,

因为AB,所以p是q的充分不必要条件.

故选：A

3.【河南省2020届高三6月联考全国1卷阶段性测试】关于x的不等式(x-a)(x-3)>0成立的一个充分

不必要条件是则。的取值范围是()

A.a<—1B.a<0C.a>2D.a>\

【答案】D

【分析】

由题意可知，(-1,1)是不等式(X—a)(x—3)>0解集的一个真子集，然后对。与3的大小关系进行分类讨

论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数。的取值范围.

【详解】

由题可知(-1,1)是不等式(x—a)(x—3)>0的解集的一个真子集.

当a=3时，不等式(1—。)(》—3)>0的解集为3"3},此时(—1,1){巾73}；

当a>3时，不等式(x—a)(x—3)>0的解集为(―8,3)u(a,s),

••1(-1,1)(f,3),合乎题意；

当”3时，不等式(x—a)(x—3)>0的解集为(―8,a)u(3,y),

由题意可得(—1,1)(—8,。)，此时lWa<3.

综上所述，a>l.

故选：D.

4.【吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测】若关于％的方程(In%-ax)lnx=M存在三个不等实根,

则实数Q的取值范围是

A.(一8己一十)B.(*一十，°)C.(一8*—？)D.-e,0)

【答案】C

【解析】原方程可化为(手)2-詈-1=0,

令则/—

t=—X,at—1=0.

设丫=岑，则得，

当OV%<e时，y'>0,函数单调递增；当工〉e时，y'<0,函数单调递减.

故当％=e时，函数有极大值，也为最大值，且ymax=j-

,关于久的方程(In%-ax)lnx=/存在三个不等实根，

；・方程/—at—1=。有两个根，且一正一负，且正根在区间(03)内.

令g(t)=t2—at—1=0,

(9(0)=-1<01

则有［八、1a1、八，解得a<—e.

(叱)=7_:1>0。

实数a的取值范围是(一8,9—e).选C.

点睛：

解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根

的分布情况再转化成不等式的问题解决.对于本题中的t2-at-1=0根的情况，还要根据数形结合根据两

函数图象交点的个数来判断.

5.[2020浙江省高三五校联考】若"0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]<0"的充分而不必要条件，则实数a

的取值范围是()

A.[—1,0]B.(—1,0)

C.(—co,0]U[l,+oo)D.(-00,-1)U(0,+oo)

【答案】A

【解析】试题分析：依题意0<x<1=aWxWa+2,.,/f-1<a<0.

la+2>1

考点：充分必要条件.

6.【2020届山东省兖州市上学期期中】不等式加+法+2>0的解集是(-巳彳)，则a+6的值是()

A.10B.-10C.-14D.14

【答案】C

【解析】

11

试题分析：根据题意，由于不等式ax2+bx+2>0的解集是(-/),那么说明了2*3是ax2+bx+2=0

11211b>e

----x—=—:_a=—12,——H—=一二-b=T

的两个根，然后利用韦达定理可知23a23a则a+b的值是一14,故选

C.

考点：一元二次不等式的解集

点评：主要是考查了二次不等式的解集的运用，属于基础题。

7.设常数awR,集合A={x|(x-l)(x-q)>0},B={x[%<a-1},若AD3=A,则0的取值范围为()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(-0°,2]D.[2,+oo)

【来源】专题06等式与不等式-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典(单项选择专练)

【答案】B

【分析】

根据题意先简化A,对参数。进行分类讨论，分别求出当«=1,。<1时的集合4根据=

分别求出a的取值范围，综合即可得答案.

【详解】

集合A={%|(x—l)(x—Q)>o},3={小《。—1},由Au5=A,可知B=A

当a>l时，A=[x\x>a^x<l],-.BoA,

।)AC>

a-11口

结合数轴知：Q-lvl,解得〃<2,即得1<”2；

当a=l时，A={x\x^l},B={x\x<0}f满足50A,故a=l符合;

当〃<1时，A={x\x>X^x<a},-.BoA,

■*

a-\01

结合数轴知：a-\<a,解得aeR,即得a<l

由①②③知a<2.

故选：B.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用由集合关系求参数，解题的关键是由Au3=A推出B=A,结合数轴得到关于a

的不等式，考查了学生的逻辑推理与分类讨论思想，属于基础题.

x"—2x—8>0

8.已知关于x的不等式组仅有一个整数解，贝必的取值范围为（)

2x2+(2左+7)尤+7%<0

A.（-5,3）u（4,5）B.[-5,3）u（4,5]C.（-5,3]u[4,5）D.[-5,3]u[4,5]

【来源】专题01集合与常用逻辑用语-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（单项选择专练）

【答案】B

【分析】

解不等式f—2x-8>0,得x>4或％<-2,再分类讨论不等式2/+（2左+7）x+7上<0的解集，结合集合关

系求得参数左的取值范围.

【详解】

解不等式/_2尤-8>0,得x>4或x<-2

/7

解方程2/+(2左+7)%+7々=0,得玉二-/,x2=-k

77

(1)当k/,即一左〈一,时,不等式lx2+(2k+7)x+7左<0的解为：-k<X<-l

222

d—2x—8>0

此时不等式组的解集为

2%2+Qk+7)x+7左<0

若不等式组的解集中仅有一个整数，则-5W-即4<人45；

77

(2)当斤<],即一女>—万时，不等式2丁+(2左+7)%+7左<0的解为:-l<x<-k

2

无~—2x—8>0

此时不等式组的解集为

2》2+(2%+7)尤+7左<0

若不等式组的解集中仅有一个整数，则-3<-左45,即-5V左<3；

综上，可知上的取值范围为[-5,3)"4,5]

故选：B

【点睛】

关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论

解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中

档题.

9.若a<0,则关于x的不等式(依-1)(%-2)>。的解集为()

x2<x<—B.x—<x<2

aa

C.{%[%<—或%>2}D.{%|x<2或无>—}

aa

【来源】湖南省跨地区普通高等学校对口招生2021届高三下学期3月二轮联考数学试题

【答案】B

【分析】

结合含参一元二次不等式的解法即可.

【详解】

解：方程(女-l)(x-2)=0的两个根为x=2和x

a

因为。<0,所以!<2,

a

故不等式(依-1)(*-2)>0的解集为卜

故选：B.

10.已知不等式分2+旅+2>0的解集为{x[T<*<2},则不等式2元2+乐+4<0的解集为()

A.{x\-l<x<-^]\B.{x|尤<-1或x>；}C.{R-2Vx<1}D,{x|x<-2或x>l}

【来源】预测08不等式-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关(新高考专用)【名师堂】

【答案】A

【分析】

根据不等式分2+法+2>0的解集求出。乃，代入不等式2/+for+a<0中，化简求出不等式的解集.

【详解】

•••不等式⑪2+Z?x+2>0的解集为{xT<x<2},

h2

二.以2+/%+2=0的两根为—1,2,且avO,即-1+2=,(—1)x2=—,解得〃=—1,b=l,

?aa

则不等式可化为21+x-1<O,解得-1<x<；,则不等式2Y+法+0的解集为{.x|-1<x<g}.

故选:A

11.设p:2/—3X+1W0,4：炉-(20+1)》+°(°+1),,0,若F的必要不充分条件是则实数。的取值范围

是()

A.0,|B.]o,；C.(-co,0)up+co^jD.(-co,0)u[g,+<»)

【来源】2021年秋季高三数学(理)开学摸底考试卷03

【答案】A

【分析】

首先解出命题P中不等式的解集，由r的必要不充分条件的逆否命题可得。的取值范围.

【详解】

p:2/—3X+1V0,解得;4x41,

q:a<x<a+l,

若r的必要不充分条件是刃,则q是p的必要不充分条件，

L<1

即-2且等号不能同时成立,

\<a+\

解得：.

故选：A.

【点睛】

结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：

(1)若〃是q的必要不充分条件，则q对应集合是。对应集合的真子集；

(2)。是4的充分不必要条件，则”对应集合是q对应集合的真子集；

(3)。是q的充分必要条件，则。对应集合与q对应集合相等；

(4)P是4的既不充分又不必要条件，q对的集合与。对应集合互不包含.

12.(多选)对于给定的实数4，关于实数X的一元二次不等式。(x-a)(x+l)>0的解集可能为()

A.0B.C.(a,-1)D.(―oo,—1)U(a，+°°)

【来源】黄金卷06-【赢在高考?黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷(江苏专用)

【答案】ABCD

【分析】

首先讨论。=。，。>。，々<。，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集.

【详解】

对于一元二次不等式。(丈-。)卜+1)>0,则°片0

当a>0时，函数y=a(x-a)(x+l)开口向上，与天轴的交点为,

故不等式的解集为xe(f,T)U(a,笆)；

当a<0时，函数y=a(x-a)(x+l)开口向下，

若。=-1,不等式解集为0；

若-l<a<0,不等式的解集为，

若"-1,不等式的解集为(。,-1),

综上，ABCD都成立，

故选：ABCD

【点睛】

本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于中档题型，本题的关键是讨论。的取值范围时，要讨论全面.

13.【天津市十二校2020届高三二模联考】已知a>b,二次三项式a/+4%+Z?>0对于一切实数久恒成立，

又三乂0eR,使ax。？+4*o+b=0成立，则“十;的最小值为__________.

uuua_b

【答案】4V2

2

【解析】分析：x+4x+b>0对于一切实数万恒成立，可得ab>4；再由三通eR,使axj+4x0+b=0成

立，可得防<4,所以可得ab=4,Y可化为《学，平方后换元，利用基本不等式可得结果.

a-ba——

详解：•・,已知a>b,二次三项式a/+4x+h>0对于一切实数久恒成立,

a>0,且/=16—4ab<0,・•.ab>4；

再由GR,使a&2+4%o+b=0成立,

可得4=16—4ab>0,ab<4,

M64

令a2+=t>8,-=(t-8)+16+—>16+16=32

a乙

(当t=16时，等号成立)，所以，(号Y的最小值为32,

\a-b7

故老乎的最小值为原=4V2,故答案为4&.

a-b

点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求

最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，

其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要

注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用2或W时等号能否同时成立).

14.【江西省吉安市安福二中、吉安县三中2020-2021学年10月联考】已知函数

/(x)-x~~(a+2)x+2a(aeR).

(1)求不等式/(x)<0的解集；

(2)若当xeR时，/(x)2-4恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】⑴见解析；⑵«e[-2,6]

【分析】

(1)不等式/(%)<。可化为：(x—2)(x—a)<。，比较a与2的大小，进而求出解集.

(2)4恒成立即r2—(a+2)x+2a+420恒成立，则A=(a+2)2—4(2a+4)<0,进而求得答

案.

【详解】

解：(1)不等式/。)<。可化为：(x—2)(x—a)<0,

①当a=2时，不等/(x)<0无解；

②当a>2时，不等式/(x)<0的解集为｛x[2<x<a｝；

③当a<2时，不等式/(%)<0的解集为｛x\a<x<2｝.

(2)由/(x)2—4可化为：/―(a+2)x+2a+420,

必有：A=(a+2)2—4(2a+4)<0,化为6―4a—1240，

解得：aG[—2,6].

15.【江苏省无锡市青山高级中学2020-2021学年上学期期中】已知函数/■(£)=/+bx+c(b,ceR),

且/(x)W0的解集为[-1,2]

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)解关于x的不等式时(x)>2(x—m—1),其中,心0

【答案】⑴/(X)=X2-X-2；⑵根=0时，0<加<2时，(一双1)。1'，+°°]；片2时，

(―co,l)u(l,+co)；根〉2时，[一双一]u(l,+力)

【分析】

—1+2=—b

(1)由题意可知，-L2是方程/+法+c=。的两个根，然后利用根与系数的关系可得《，从

-1x2=c

而可求出仇c的值，进而可得函数的解析式；

(2)由(1)可得“td-〃〃+2)x+2〉0,然后分机=0,0<m<2,m=2,m>2四种情况解不等式

即可

【详解】

解：⑴因为〃力<0的解集为[一1，2],

—1+2=—b

所以—1,2是方程f+陵+°=。的两个根，所以《,解得人=-l,c=-2,

-lx2=c

所以/(x)=*—x—2；

(2)由(1)可得巩/一1一2)>2(%一加一1),BPmx2-(m+2)x+2>0,

当根=0时，—2x+2>0,解得x<l,

当相。0时，不等式加/一(加+2)%+2>0可化为(1—1)(如-2)>。，

22

①当一>1,即0<加<2时，解得x<1或%>一，

mm

2

②当一二1,即%=2时，解得元W1,

m

22

③当一<1,即机>2时，解得%<—或%>1,

mm

综上，根=0时，不等式的解集为(—8,1)；0<加<2时，不等式的解集为(-双1)。]\，+，|；根=2时，

不等式的解集为(f)，l)u(l，+8)；m>2时，不等式的解集为[一8，\]。(1，+”)

16.【上海市实验学校2020-2021学年上学期期中】设关于x的不等式——(2。+1)%+(。+2)(。—1)>0和

(x-fl2)(x-G)<0的解集分别为A和瓦

(1)求集合A；

(2)是否存在实数a,使得AU3=R?如果存在，求出。的值，如果不存在，请说明理由；

(3)若AcNw。，求实数。的取值范围.

【答案】(1)A=｛x[x>a+2或x<a—l｝；(2)不存在；理由见解析；(3)0<a<l.

【分析】

(1)解一元二次不等式能求出集合A.

(2)由A|jB=R，根据8=｛a[a<x</｝和2=俗|片<》<4｝分类讨论，得到不存在实数。，使得AUB=R-

(3)由40|3片0,根据2=｛a[a<x</｝和2=｛口/<尤<矶分类讨论，能求出实数a的取值范围.

【详解】

解：(1)不等式％2一(20+1)%+(0+2)(4—1)>0可化为[*一(。+2)][*-(°-1)]>0,

解得x<a—1或x〉a+2,所以不等式的解集为4=｛》1%<。一1或x>a+2｝；

(2)当a=0时，不等式(x-/)(x-a)<0化为了2<。，此时不等式无解，

当a<0时，a2>a>不等式(x-a2)(x-a)<0的解集为｛x[a<x<a2｝,

当0<Q<1时，a2<a不等式(元一。2)(工一〃)<0的解集为｛x[〃2<%<〃｝,

当a=l时，a2=a，不等式(％-