人教A 版选择性必修第一册《L 4 空间向量的应用》练习卷

人教A版选择性必修第一册《L4空间向量的应用》练习卷（4）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知直线/过定点力（2,3,1）,且元=（0,1,1）为直线/的一个方向向量，则点P（4,3,2）到直线/

的距离为（）

A.巫B.立C.巫D.V2

222

2.已知正方体4BCD-EFGH的棱长为1,若尸点在正方体的内部且满足而=：布+;而+；荏,

423

则P点到直线A8的距离为（）

A.-B.叵C.回D,四

61266

3,设正方体43。。一4/1。14的棱长为4,则点G到平面4/D的距离是（）

A.立B,在C.逋D.随

3333

4.如图所示，在长方体ABCD中，AD=4%=1,AB=2,

点E是棱A3的中点，则点E到平面AC%的距离为（）

B.立

2

5.在直三棱柱ABC-A/】Q中，AB=AC=AAr=1,AB1AC,点E为棱441的中点，则点C1到

平面/EC的距离等于（）

A.|B.f7D.1

6.在棱长为1的正方体4BCD-&B1GD1中，平面力与平面&QD的距离为（）

C2V3D

A-TBT.3-f

7.在棱长为2的正方体ABC。一4/停1。，中，E,尸分别为棱

的中点，“为棱AB】上的一点，且4M=4（0<2<2）,设点N为

ME的中点，则点N到平面的距离为（）

A.V32B.立C.当

23DT

8.在正四棱柱力BCD-&BiGA中，AA!=2AB=2,则点&到平面AB/i的距离是（）

.2，「16

BC,TD-

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9.在长方体力BCD中,48=3,BC=3,441=4,则点。到平面&£»iC的距离是.

10.四棱锥P—ABC。的底面为正方形,PD，底面=20=1,

则点B到平面PAC的距离为.

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

11.如图，已知正方形ABCZ）的边长为1,PDABCD,且PD=1,E,尸分别为AB,8C的中

点.

（1）求点D到平面PEF的距离;

（2）求直线AC到平面PEF的距离.

12.如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PA。为等边三角形，且平面PAD1底面A8CD,AB=BC=

-AD=1,/.BAD=^ABC=90°.

2

(1)证明：PDLAB；

(2)取AD中点E,求点E到平面PAC的距离.

13.如图，长方体48CD—a/iGA中，E是棱。C中点，AB=4,BB「BC=2.

(1)求线段BiE的长；

(2)求点6到平面B1ED］的距离.

14.矩形A8C£＞中，AB=2AD=2,尸为线段DC中点，将AADP沿AP折起，使得平面4DP_L平面

ABCP.

(I)求证：AD1BP；

(□)求点P到平面ADB的距离.

D

15.在棱长为2的正方体4BCD-中，E,歹分别为A。，的中点.

(1)求证：DBi1CD1；

(2)求三棱锥B-EFC的体积.

16.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是边长为鱼的正方形，P41

BD.

(I)求证：PB=PD；

(兀)若£,尸分别为PC,AB的中点，EF_L平面尸C。，求点8到平面

尸8的距离.

17.如图，在正方体力BCD-力iBiQDi中，已知M、N分别为棱A。、的中点.

(1)求证：直线MN〃平面力

(2)若正方体的棱长a=2,求点儿到面AB1。1的距离.

-------答案与解析—

1.答案：A

解析：

本题考查了点到直线的距离，为基础题.

利用空间向量法求点到直线的距离公式进行解答.

解：PA=(-2,0,-1)，\PA\=y/5,或喘=一噂，

I九IN

则点P到直线I的距离为(|西|2-|对=呼.

故选A.

2.答案：A

解析：

本题以正方体中的向量为载体，着重考查了空间向量的数量积、长度公式和夹角公式的应用等知识，

属于中档题.

分别以AB、AD,AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系，可得向量荏，乔的坐标，可以分别计

算出它们的长度.然后根据向量数量积的坐标公式得到荏•荏=],再用向量的夹角公式得到

COS4PAB=瑞蔷=高，结合同角三角函数关系得到Sin/PAB=焉，最后可求出P点到直线AB

的距离为|都|•sinZ.PAB=|.

解:分别以A8、AD,AE为x轴、y轴、z轴作出空间直角坐标系如图：

•••正方体48CD-的棱长为1

•••AB=(1,0,0)

•••AP=-AB+-AD+-AE,

423

--Q=G抬)可得国=」针+针+针=等

•••AB-AP=lx-+Oxi+Ox-=-,

4234

又荏•AP=画网cosNPAB,

一一3

AB-AP4_9

•••cosZ-PAB=

冏网―VW_V181

根据同角三角函数关系，得sin"4B=V1-cos2zPXB=磊.

.­.P点到直线AB的距离为|布|.sm^PAB=需•湍j=，

故选A.

3.答案：D

解析：

本题考查了利用空间向量求点、线、面之间的距离，属中档题.

以。为原点，DA,DC,DDi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，点到平面&BD的距离

是其毕，计算即可.

同

解：如图，以。为原点，DA,DC,DA所在直线为无，y,z轴建立空间直角坐标系，

则G(0,4，4),4(4,0,4),B(4,4,0),=(4,-4,0),DB=(4,4,0).

设平面4BD的法向量为元=(久,y,z),贝J元,吧二°,

In-DB=0

(4x+4z=0

•,(4%+4y=O'

令z=1,得元=1).

Q到平面&BD的距离d=叵票=*=券

故选D

4.答案:C

解析：

本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算，属于基础题.

先建立空间直角坐标系，再求出平面4CD1的法向量元=(2,1,2),再求点E到平面AC4的距离.

解：如图，以。为坐标原点，直线D4,DC,DDi分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则心(0,0,

1),£(1,1,0),2(1,0,0),C(0,2,0).

从而庠=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),丽=(—1,0,1),

设平面ACD1的法向量为元=(a力，c),

则竹堂。即「+240,

(n-ADr-0—a+c=(),

，二a=2b、人

得令a=2,则记=(2,1,2).

a—c.

所以点E到平面AC%的距离为

=\D^n\=2+1-2)

\n\RA

故答案为：C

5.答案:C

解析：

本题考查点到平面的距离的求法，考查利用空间向量解决点到面的距离问题，是中档题.

以A为原点，AB,AC,44i所在直线分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

点G到平面的距离.

解：•••在直三棱柱ABC—4/iG中，AB=AC=AAX=1,ABLAC,

・•・以A为原点，AB,AC,44i所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

,・•点E为棱441的中点，

・•・6(0,1,1),81(1,0,1),F(0,0,C(0,b0),

EC】=(0,1,1)>EB]=(1,0,|),=(0,1，-1),

设平面&EC的法向量元=(久,》z),

(n-EB；—x+-z=0

则《一J，取刀=1,得元=(1,—1,-2),

rn.■EC=y--z=0

.••点G到平面ZE。的距离为：

6.答案：B

解析：解：连接D/,与面4B1C与平面AQD分别交于M,N.

•••DDI1平面；.DD11AC,又,:AC1BD,AC1平

面OiDB

BD]1AC,

同理可证又4CnABi=4BD1\MABrC-,

同理可证，BD11面GAD；.MN为平面481c与平面41G。的距

离

•・•△2&C为正三角形，边长为企，三棱锥B-AB】C为正三棱锥,

M为△2%(?的中心，MX=yXV2=y

22

BM=<AB-AM=与同理求出=BM=~,又BD、=回：.MN=BD1-%N-BM=与

故选：B.

连接可以证明与面ABiC,面4GD都垂直，设分别交于M,N,MN为平面48道与平面的

距离.可求D]N=BM=争从而MN=BDi-BM-D1N=*

本题考查平行平面的距离计算,采用了间接法,转化为点面距离.本题中蕴含着两个结论①平面

与〃平面4G。②平面281c与平面面将体对角线分成三等分.

7.答案：D

Z

解析：解：以。为原点，D4为x轴，0c为y轴,

为z轴，建立空间直角坐标系，

E(2,0,1),M(2,尢2),N(2,号),A(0,0,2),F(2,2,

1)，

EF=(0,2,0),西=(—2,0,1),EN=(O.pj),

设平面DiEF的法向量元=(x,y,z),

则尸土2y=0，取久=1,得元=(1,0,

[n,ED]=—2x+z=0

，

2)X

・••点N到平面AEF的距离为：

,_\EN-n\_1_V5

故选：D.

以。为原点，ZM为x轴，OC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点N

到平面的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

8.答案：A

解析：解：AABiDi中，ABX=AD1=V5,BrDr=V2,

.■.A481%的边/Di上的高为J（遮）2_（m2=乎，

c1/7T3VI3

•••S—BWi=-Xv2X—=

设义到平面的距禺为h,则匕1TBl%=3I=2,

1111

又以!—3^Ai41B1D1,44]=,义5*1*1*2=],

解得八=|.

故选：A.

计算AABiDi的面积，根据唳1-4B1D1=匕-4笆0计算点41到平面48也的距离.

本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题.

9.答案:y

解析：

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，是中档题.

Z

以。为原点，D4为x轴，。。为y轴，DD1为A

z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出点D到平面4。停的距离.

解：以。为原点，D4为x轴，0c为y轴，DD1

为z轴，建立空间直角坐标系，

0(0,0,0),4式3,0,4),。式0,0,4),C(0,3,>v

x

0)，

D^D=(0,0,-4),Mi=0),D1C=(0,3,—4),

设平面&。道的法向量元=(z)，

则俨,M；=3久=0,

=4,得元=(0,4,3),

[n-DrC=3y-4z=0

二点D到平面a/iC的距离:

,|D7D-n|12

d=k=W

故答案为：装.

10.答案:省

3

解析：解：以。为坐标原点，以D4为x轴，以DC为y轴,

以。尸为z轴，

建立空间直角坐标系，

•••四棱锥P-4BCD的底面为正方形，

PD底面ABCD,PD=AD=1,

.•・4(1,0,0),0),

C(0,l,0),P(0,0,1),

AP=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),

AB=(0,1,0)，

设平面P4C的法向量元=(x,y,z),则元.都=0，n-AC^0,

(—x+z=0

n

{—x+y=0=(1,1,1),

.•.点B到平面PAC的距离d=曾=粤=包

\n\V33

故答案为：如.

3

以。为坐标原点，以为x轴，以。C为y轴，以。P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

能求出点B到平面PAC的距离.

本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题

时要认真审题，注意向量法的合理运用.

11.答案：解：(1)建立如图坐标系，皿4(1,0,0),

11

F61,0),P(0,0,1)

.・•前=(一义，,0)，P£=

设平面的法向量为元=(x,y,z),

f11

——%+-y=0

则2i2

x+-y—z=0

I2

故记=(2,2，3),

点。到平面PEF的距离d=臀=辞=卷内；

(2)vAC//EF

・・・直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离

,------->1

又AE=(0,5,0)

•••点A到平面PEF的距离为d=塔"=3=旦.

\n\V1717

解析：(1)建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点。到平面尸所的距离；

(2)禾!|用4C〃EF,可得直线AC到平面尸£尸的距离也即是点A到平面尸£尸的距离.

本题考查点D到平面PE尸的距离、直线AC到平面PEF的距离，考查向量知识的运用，考查学生分

析解决问题的能力，属于中档题.

z

12.答案：证明：(/)・•・平面PHD，平面ABC。，且平

面PADn平面4BCD=AD,

Xv^BAD=90°,ABI5?®PAD.

■：PDc[SjPAD

：.PDLAB.

(〃)以A。的中点E为原点，EC为x轴，ED为y

轴，EP为z轴，建立空间直角标系，

£(0,0,0),P(0,0,V3),4(0,—1,0),C(l,0,0),

X

PE=(0,0,-V3),PA=(0,-l,-V3)>PC=(1,0，

—V3),

设平面PAC的法向量元=Q,y,z),

则pt-~PA=-y-V3z=0

取2=1,得元=(V3,-V3,l)>

-PC=x—V3z=0

•・•点石到平面所的距离d=甯=却率

解析：(/)取的中点E,连结PE,CE,通过平面PAD1平面ABC。，推出B4〃CE,CE1PE,

证明BA1PE,然后证明BA1平面PAD,由此能证明P。1AB.

(〃)以A。的中点E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EP为z轴，建立空间直角标系，利用向量法能

求出点E到平面PAC的距离.

本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

13.答案：解：(1)以4为原点，以所在直线为无轴，以4

所在直线为y轴，以所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，则有4(4,0,0),。式0,2,0),D(0,2,

2)，

C(4,2,2),E(2,2,2),6(4,2,0),...(2分)

B^E=(-2,2,2),…(3分)

\B^E\=V(-2)2+22+22=2V3....(5^)

(2)^^=(—4,2,0),享=(—2,2,2),=(0,2,0),

设平面&ED1的法向量元=(x,y,z),

贝/元,B]D；=-4x+2y=0,

In-BrE=-2x+2y+2z=0

取x=1,得元=(1,2,-1),

•••点的到平面/ED]的距离d=叵第=2=乎.

解析：(1)以41为原点，以A/1所在直线为尤轴，以所在直线为y轴，以4遇所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|瓦后|.

(2)求出平面ZE/的法向量，利用向量法能求出点G到平面BiEDi的距离.

本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法

的合理运用.

14.答案：(1)证明：：48=24。=2,则有4P=a,BP=42,

满足4P2+BP2=4^2,BPLAP,

•.•平面4DP1平面ABCP,平面力DPn平面ABCP=AP.

BP1平面ADP,

•••ADu平面ADP,BPLAD.

（口）解：以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系P-久yz,如图,

21(72,0,0),。(鄂，亨),B(0,V2,0),P(0,0,0),

则a=(:0,—产)，丽=(—日,/,—孝)，DP=(-^,0,-f),

设平面ABD的法向量元=(x,y,z),

n-1)A=-x——z=0

则122，取Z=l,得元=(1,1,1),

^.pB=__x+V2y-Tz=0

.•.点P到平面ADB的距离d=喀=噌=理

解析：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

（1）推导出8。1小5,从而8PL平面ADP,由此能证明BP14D.

（n）以P为原点，PA、PB为X轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系P-xyz,利用向量法能求出点

尸到平面ADB的距离.

15.答案：（本小题满分12分）

证明：（1）在棱长为2的正方体A8C。一月iBiGA中，

B1C11面"也。，CD1u面CC也D,CD11B©,

CCi。1p是正方形，•••DCr1CD1,

又DC]CBig=C1,CDrJ"平面DBiG，

又DBiu平面DBG，•••DBi1CD"...（6分）

解：（2）F到平面BEC的距离BBi=2,

1一

S^BEC=5、2*2=2,

三棱锥B-EFC的体积/_EFC=VF-BEC=j-ShBEC-BBr=*...（12分）

解析：(1)推导出CD】1BiG，DGlCDi，从而CD11平面DBiG，由此能证明。当1

(2)三棱锥B-EFC的体积/_EFC=/_BEC•由此能求出结果.

本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中

线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.

16.答案：证明：(1)连接AC,BD交于点O,连结P0.

•.•底面A8CD是正方形，

AC1BD,OB=OD.

又PAJ.BD,PAu平面P4C,ACu平面PAC,PACiAC=A,

BD_L平面PAC,■■■POu平面PAC,

：.BDA.PO.

又。B=OD,

PB=PD.

解:(2)设尸。的中点为0,连接A。，EQ,

贝“EQ//CD,EQ=|CD,XAF//CD,AF=^AB=\CD,

：.EQ//AF,EQ=AF,

四边形AQE尸为平行四边形，••.EF〃4Q,

•••EF1平面PCD,：.AQ1平面PCD,

・••4Q1PD,•••Q是尸。的中点,

AP=AD=V2.

•••AQ1平面PCD,,­,AQ1CD,

又力。1CD,AQCtAD=A,

CD_L平