人教版九年级数学下册02 教学设计-相似三角形的性质

eeo

《相似三角形的性质》教学设计

c教学目标o

1.相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相

似比的关系.

2.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.

3.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.

4.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.

5.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.

1.相似三角形中对应线段比值的推导.

2.运用相似三角形的性质解决实际问题.

3.相似三角形的性质的运用.

4.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.

5.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.

6.相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.

多媒体课件

一、复习回顾

⑴什么叫相似三角形？

对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

eeo

(2)如何判定两个三角形相似？

①两个角对应相等；

②两边对应成比例，且夹角相等；

③三边对应成比例.

二、探究新知

相似三角形的性质

已知△ABCs△ABC,AABC与△ArBC的相似比为k.

(1)如果AD和AD，是它们的对应高，那么AD:AD，等于多少？

(2)如果AF和AF是它们的对应角平分线，那么AE:AE等于多少？

如果AE和AE是它们的对应中线呢?

探究1:相似三角形对应边上的高有什么关系呢？

右图△ABC,AD为BC边上的高，则利用方格把三角形扩大2倍,

得△AEC,并作出BC边上的高A'D'oAABC与乙

ABC，的相似比为多少?AD与AD，有什么关系？

B

eeo

,1AD1

k二一,——

2AD'2

(2)如右图两个相似三角形相似比为k,则对应边上的高有什么关系

呢？

AD-,K

AD'

说说你判断的理由是什么？

VAABC^AA'B'C

/.zc=zc

,/ZADC=ZA'D'C

.,.△ADC^AA'D'C

.DC_AC

D'C-AC-

归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。

探究2:相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢?

如右图△ABC,AF为NA的角平分线。则:(1)把三角形扩大2倍后得△

A'B'C,AF为NBAC的角平分线，AABC与△AEC'的

相似比为多少？AF与AF比是多少？

,1AF1

k=—,-----=-,

2A'F'2

2)如右图两个相似三角形相似比为k,则对应角的角平

分线比是多少？

3

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A'F'

说说你判断的理由是什么？

「△ABCs△ABC

，NC=NC,ZBAC=ZB'A'C

,/AF,AF分别是ZBAC,NBAC的角平分线

:.ZFAC^ZBAC,ZF'A'C^ZB'A'C'

：.ZFAC=ZF'A'C

,/NC=NC'

.,.△FAC^AF'A'C

■.■AF—AC—k,

AF'AC

归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。

探究3：相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？

如右图AABC,AE为BC边上的中线。则把三角形扩大2倍后

得△AEC,AE为BC边上的中线。AABC与△ABC的相似比为多少？

AE与AE比是多少？

,1AE1

K=一,二一

2AE2

(2)如右图两个相似三角形相似比为k,则对应边上的中线的比是多少

呢？

AE―zLJ

B'pC'

4

eeo

说说你判断的理由是什么？

VAABC^AA'B'C

AC_BC

正二酢

•••E,F分别是BC,BC，的中点，

.CEBCAC

'"CE~lrC~^C,

,/NC=NC'

「.△ACEs△ACE'

■.■CE—AC—k,

CE,AC

归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。

总结：相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似

比。

注意：

1、要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

2、反之，写在对应位置上的字母就是对应角的顶点.

3、由于相似三角形与其位置无关，因此，能否弄清对应是正确解答

的前提和关键.

探究4：如图，已知△ABCS^ABC,ZiABC与△ArBC的相似比

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为左;点D,E在BC边上，点D：E在BC边上.

⑴若NBA。=-ABAC,ZB'AD'=-ZB'AC,则等于多少？

33AD'

解：VAABC^AA'B'C

...ZBAC=ZB'A'C',ZB=ZB'

•/ABAD=-ABAC

3，

ZB'A'D'=-ZB'A'C'

3

二.NBAD=NB'A'D'

/.AABD^AA'B'D'

AD_AB

=k.

AD--AB*

BE=-BC,B'E'=-B'C

⑵若33

解：:△ABCs△ABC'

BABC

二./B=NB'

•;BE;LBC,B'E'=LB'C,

33

.BABE

/.△ABE^AA'B'E'

AEAB

=k

6

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总结：已知△ABCS/IABC,AABC与△AEC的相似比为k;点D,E

在BC边上，点D：E在BC边上.

（1）若/64。=工/64。,/84。'='/笈4。'，

nn

则也=k.

A力'

⑵若BE=LBCW=LB，C,

nn

则任=左.

AE'

探究1:相似三角形的周长的关系

下图（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它

们都相似.

问题2.图（2）与图（1）的三角形的周长比为_2:1—，图（3）与图（1）

的周长比为3:1；

从上面可以看出当相似比=%时，周长比=—k—;

7

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猜想：相似三角形的周长比等于相似比。

验证猜想：

AB+BC+CAAB

已知:△ABCs△ABC',求证:

A'B'+B1C'+CA~^rB'

证明：:△ABCs△ABC'

.AB_BC_CA

''TB'-l;C-CA7

.AB+BC+CA_AB

'AB'+B'C+CA!~7CB'

结论：相似三角形周长的比等于相似比。

例1：如图，在AABC中，点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中

点，已知AABC的周长为20cm,求ADEF的周长.

解：..•点D,E,F分别是边AB,BC,AC的中点

.DFDE_EF_1

'BC~AC~AB~2

/.△EFD^AABC

BE

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c」__1

■-■-ADE

C/XABC2

.■二gx20=10(cm)

练习：

1.若△ABCS^A1B1C1(其中点A和Al,B和Bl,C和Cl分别对

应)，且AB=4,A1B1=6,则AABC的周长和△A1B1C1的周长之比是

(C)

A.9：4B.4：9C.2：3D.3：2

分析：相似三角形的周长比等于相似比。

2.如图，在AABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，DE〃:BC,

且AB=3AD,已知4ADE的周长为6cm，则AABCA的周

长为18cm.一¥

分析：VDE#BC,/.AADE^AABC；/

CAADE：CAABC—AD：AB=1：3；

CAABC-SCAADE=IS.

探究2：相似三角形的面积的关系

下图(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它

们都相似.

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问题1.图(2)与图(1)的三角形的相似比为_2:1，图(3)与图

(1)的相似比为_3:1；

问题2.图(2)与图(1)的三角形的面积比为4:1一图(3)与图

(1)的面积比为9:1—；

从上面可以看出当相似比=左时，面积比=_产

猜想：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

验证猜想：

已知：△ABCs^AEC',求证:

SAABC_

一诉

证明：分别过A、A',作

ADXBC于D,AD'_LBC'于D'

BCjDBC

-A'D'B'CAD

2

VAABC^AA'B'C

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.BC_ABAD_AB

A:D'~^B'

2

■S^BC_ABAB_AB

~^B'~AB'2

SAA'B'CAB'

结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点,

已知AABC的面积为100cm2,且丝=殁=。,求四

ACAB5

边形BCDE的面积.

解：VZBAD=ZDAE,—=—=-

ACAB5

：.AABC^AADE.

...它们的相似比为5：3,面积比为25：9.

又「△ABC的面积为100cm2,

「.△ADE的面积为36cm2.

二.四边形BCDE的面积为100-36=64(cm2)

例3.如图，将4ABC沿BC方向平移得到ADEF,AABC与ADEF

重叠部分(图中阴影部分)的面积是AABC的面积的一半，已知BC=2,

求AABC平移的距离.

解：根据题意，可得EG〃AB

NGEC=NB,NEGC=NA

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/.△GEC^AABC

S^GEC_(ECy_EC

即LEC2

2

:.EC^42

:.BE=BC-EC=2-42

即AABC平移的距离为2-V2.

练习:

如图，若△ADEs^ABC,DE和AB相交于点D,和AC相交于点E,

DE=2,BC=5,

SAABC=20,求SZkADE.

解：VAADE^AABC

探究3：相似多边形的周长、面积和相似比的关系

已知如图，四边形ABCD相似于四边形ABCD，，相似比为k,它们

的周长比是多少，面积之比分别是多少？

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解：,/四边形ABCDs四边形A'B'C'D'

.ABBCCDDA

■"AR一-CD'_D'A

C四边形4BCD_尤+BC+CD+DA_AB_卜

C四边形APCD—AB'+B'C+CD'+D'A~^B'~

连接AC,AC

四边形ABCDs四边形A'B'C'D'

「.△ABCs△ABC',△ACDS^A'C'D'

S—BC卜2,4“2

^NA'B'C'

OAA'C'D'

Sl\ABC~kSAA®C"SAACD=kS^C，D，

=+

SAABC+^AACDk(^AA'B'C^AA'C'D'

■°四边形ABCD_,2

•■-K

口四边形A/，。。'

归纳：两个相似的n边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的

平方。

练习:

1.若两个相似多边形的面积之比为1：4,则它们的周长之比为（B）

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A.l:4B.l:2C.2:lD.4:l

分析：两个相似的多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的

平方。故选B.

2.一个五边形的边长分别为2,3,4,5,6,和它相似的另一个五边

形的最长边为24,则较大五边形的周长为—80—.

分析：根据题意得：较小的五边形与较大的五边形的相似比为1：4,

分别计算出较大的五边形的边长为8,12,16,20,24,故其周长为80.

三、例题讲解

例1.若△ABCS^A'B'C,AD,A'D'分别是△ABC,AAZ

B1C的高，AD:A'D'=3：4,AAZB'C的一条角平分线B'E'

=16cm,则AABC与之对应的角平分线BE=9_cm.

解：根据相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都

等于相似比，可得

AD_BE

AD'~^E'

AT)3

.".BE=——・8E=—xl6=9.

A'D'4

例2.已知△ABCS^DEF,BG、EH分AABC和ADEF的角平分线,

BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.

解：,/AABC^ADEF,iD

GH

BE

eeo

.BGBC

''EH-EF

.4.86

■■-----——

EH4

解得,EH=3.2(cm).

答：EH的长为3.2cm.

例3.如图，AD是AABC的高AD=/i,点R在AC边上，点S在AB

1_1一

SR=-BC

y_L_，士/j3~~HJHJkvO/U•

解：VSR±AD,BC±AD,

/.SR//BC,

二.NASR=NB,NARS=NC

/.△ASR^AABC

.AE_SRBD

''AD~BC

AD-DESR

n即n-------=——

ADBC

当=寸，得上=L,解得。£=!比

2h22

当SR=」6CH寸，=-2

，解彳导DE=——

3h33

四、巩固练习

£

1.两个相似三角形的相似比为5，则对应高的比为—2,则对应

15

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中线的比为_5_.

2.两个三角形的对应边的比为3:4,则这两个三角形的对应角平分线

222

的比为—了—,对应边上的高的比为—4_,对应边上的中线的比为_了_.

3.如图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm,那么

它在暗盒中所成的像CD的高度为16cm.

分析：VAABO^ACDO

45cm

.AB_45_94

'CD"20-4

B

XVAB=36

20cm

，CD=16.

如图，已知△ABCS/XBDC,E,F分别为AC,BC的中点，已知AC

=6,BC=4.2,DF=2,求BE的长.

解：VE,F分别为AC,BC的中点

/.BE和DF分别是△ABC和ACDB的中线

XVAABC^ABDC

.ACBE

'"BC~~DF

.6BE

■■

4.22

16

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._20

■・DBZE7——.

7

五、拓展提高

1.如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30m的地方，

把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已

知手臂长约60cm,小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出

VBC/7EF,

/.AMXBC于M,

/.AABC^AAEF,E

AB-J

,BCAM

'EF-ANq」"「N

•.•A4=0.6,AN=30,BC=0.18卜W二二-J尸

BC*AN_0.18x30

.'.EF==9(m)

AM—0.6

故电线杆的高度为9m.

2.如图，口ABCD中，AE：EB=2：3,DE交AC于点F.(l)求证：△

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AEF^ACDF；(2)求AAEF与ACDF周长之比；(3)如果ACDF的面积为

20cm2,求AAEF的面积.

(1)证明：...四边形ABCD是平行四边形,

/.DC//AB,

二.ZCDF=ZFEA,ZDCA=ZFAE,

/.△AEF^ACDF；

(2)解：•..四边形ABCD是平行四边形,

，DC=AB,

而AE:EB=2：3,设AE=2a,则BE=3a,DC=5a,

VAAEF^ACDF,

cAE2a_2

■----

□XCDFDC5a5

解：VAAEF^ACDF,

q

■°XCDFCD.