第5章9 和差公式-人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型练习（机构专用）

和差公式

考向一和差公式的直接应用

35

1、若a,户均为第二象限角，满足sin,cos^=-—，则cos(a+Q)=()

“331663、33

65656565

【答案】B

35

【解析】-.sina=-,cos|J="—,a、0均为第二象限角,

£~~4

/.cosa=a二一一,

sinp=^l-co?^=^|,

(4、531216二-

/.cos(a+p)=cosacosp-sinasinp=--!•(--)—=-—,故答案为B

2、sinl5°=()

A*+点g加+虚C#一应口

424

【答案】c

【解析】•.,15°=45。-30。，

/后应1m-应

sinl50=sin(45°-30°)=sin450cos300-cos450sin30°==X——X—=-------

22224

3、cos15。的值是（）

AA/6-y/2D\/6+5/2

A,-------------------D.-------------------

22

QA/6—DV6+>/2

44

【答案】D

【解析】

V2x/3V21V6+V2

cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos300+sin45°sin300=二X1X-=--------

22224

，故选：D.

12a

4、已知a为锐角，B为第三象限角，且cosa=E,sin/?==-1,则COS(a-夕)的值为

()

“6333-63r33

D.—

65656565

【答案】A

5

【解析】Qa为锐角，且cosa=n,/.sina=A/1-COS2«

"13,

•••£为第三象限角，且sin/=-y,

.,.cos/?=_J]_sin2Q=_g,

cos(a-尸)=cosacos^+sin«sin/?=y^x^-^+-^x(-1)

=-77.故选A.

5、若sina=-，且工，兀|，贝!jtan|a+2

512JI4

33

A.——B.-C.7D

4

【答案】D

3(i7tt,则cosa=-Jl-sin2a=-j4

【解析】若sina=《,B.ael-,7t

25

3

sina53

所以tana=------==——

cosa_44

-5

7t3.

tana+tan———+1

所以tan[a+?___________4_4

,兀

1-tanatan7

4

故选D.

6、已知：a,月均为锐角，tana=；,tan/?=1,则a+〃=

”71c兀一兀

A.-B.-C.一

643

【答案】B

【解析】由于a,夕均为锐角，tana=；,tan/7=1,

irTT

所以0<a+夕<5+5=71.

J1

所以tan(a+⑶Jana+ta4=冲=]

、71anatan,「1

6

IT

所以"「

故选B.

7、已知cos2cos(7t-tz),则tan1—+a

A.-3B.-C.--D.3

33

【答案】C

【解析】由COS兀-a），

得sina=-2cosa,即tanc=-2.

71

tan—+tana

兀41-2

tan—+a

U,nl-lx(-2)3

1-tantana

4

故选C.

4

8、若tana=3,tan「=§狈!]tan(d-0=

A.3B.-3c-iD-4

【答案】C

3T1

【解析】tan(a-0=t3n”T3n尸E产

1+tanatanB

3

9、若sinA=@,sinB-，且,

A,B均为钝角，则A+3的值为()

510

“7乃-7兀_3万-6乃

A.——B.—C.——D.—

3425

【答案】B

5•R_回

【解析】•/A,8均为钝角且sinA=2—,sin5=---/

510

2

cosA=一Jl-sin2A=-2f,cos/?=-Vl-sinB=-^^,

10

—

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

45M6c『冗八,71

----x=①，又二<A<乃，,—<B<TT,A+B<2乃②，由①②，知

5-10----2-------2

."7%

A+8=—.

4

故选：B

g=|,sin「=一1，求：

10、已知a,产为同一象限的角，且cos

(1)sina,cosj3；

(2)sin(&+后,cosQ一4)的值

【答案】⑴-II，(2)

OJ65

35

【解析】(1)因为冬尸为同一象限的角，且cosa=G>0,sm「=-F<0,

412

所以仪,乃都为第四象限角，所以sina=--,coS>5=—.

⑺°04123,5、63

(2)sin(a4-^3)=sinacos户+cosasin/3=-yX—+—x(--)=一石，

，6Q.Q312,4、，5、56

cos(a-p)=cosacosp+sinasmp=-x—+(—)x(--)=—.

考向二逆用和差公式

HH7T"

1、式子85〈85/一S111±5111<的值为()

3636

A.--B.0C.1D.-走

22

【答案】B

7T7T7F7F7T7T7T

【解析】两角和余弦，得cos-cos—-sin—sm—=cos(—+-)=cos—=0，选B.

3636362

2、计算：sin23°cos22°+sin67°sin22°=

【答案】—

2

【解析】•••sin67°=sin(90°-23°)=cos23°

sin23°cos220+sin67°sin22°=sin23°cos22°+cos23°sin22°=sin(23°+22°)=sin45°=

2

故答案为：包

2

3、计算小!1137。8513。+85103。8543。的值等于（）

A,-B.更C.—D

232-4

【答案】A

【解析】sin137°cos13°+cos103°cos43°

=cos103°cos43°+sin(l80°-43°)sin(90°+13°)

=cosl03°cos430+sin43°.sinl03°

=cos(l03°-43°)=cos600=-.

2

4、cos7508sl50—sin75°sinl95。的值为()

A.0B.-C.—D

22-4

【答案】B

［解析】原式=cos75°cos150-sin75°sin(l80°+15°)

=cos75°cos150+sin75°sin15°

=cos(75°-15°)=cos60°=1.

5、sinl40cosl60+sin76°cos74°的值是()

A.—B.-C.-D.

2222

【答案】B

【解析】sin14°cos160+sin76°cos740

=cos76°cos160+sin76°sin16°

=cos(76°-16。)=cos60°=g

6、cos(a-35°)cos(a+25°)+sin(a-35°)sin(a+25°)等于()

A.-B,--C.—D.-

222

【答案】A

【解析】原式=85[(。-35。)一(。+25。)]=85(-60。)=8560。=’.

2

7、cos70°cos335°+sinll0°sin25°的结果是()

A.1B.—C.—D.-

222

【答案】B

[解析】原式=cos70°cos(360°-25°)+sin(l80°-70°)sin25°

=cos70°cos250+sin70°sin25°

=cos(70°-25°)=cos45°=.

8、计算$皿43。©0513。-8543%由13。的结果等于().

A.-B.立C.—D.—

2322

【答案】A

9、cos(a-/7)cos力一sin(a-；9)sin尸可以化为()

A.cos(a-2^)B.cosaC.cos£D.sin(2a-y3)

【答案】B

10、求值：①★★由15。+330。+1刖15。7血30。=；

②★★★(l+tan55°)(l-tanl00)=；

【答案】1；2

11、计算：(l)cos(—15。);

(2)cos15°cos105°+sin15sin1050.

【答案】Q)、：&；(2)0

4

121-石tan750

'V3+tan750-

【答案】-1

13、化简：cos20°cos(&-20°)-cos70°sin(a-200)=

【答案】cosa

【解析】cos20*cos20*j-cos70*sin20)

=cos20*cos(a-20")-sin20'sin(a-20*1

=cos(20°+a-20')=cosa故答案为:cosa.

14、下列计算正确的有.

(i)sinl580cos4804-cos22°sin48°=1；②sin20°cosll0°+cosl60°sin700=l；

@l+tarilt).@cos74°sin140-sin74°cosl4°=.

l-tanl?2

【答案】③④

【解析】①sinl580cos48°4-cos220sin48°=sin22°cos48°4-cos22°sin48°

=sin(22。+48°}=sin700,所以①错误

②sin200cosll00+cosl600sin700=sin200(-cos700)+(-cos200)sin70°

=-(sin20°cos70o+cos200sin70°)=-sin(20°+70°)=-1,所以②错误

③根据正切函数和角公式，化简得

l+tanl51

l-tanl7

tan45°+tan15°

1一tan45*tan15°

=tan(450+17)

=tan60"

所以③正确；④cos74°sinl40-sin74°cosl40=sin(14°-74°)

=-sin60°=-^,所以④正确综上，正确的为③④

2

考向三利用和差公式化简求值

2cos100-sin20°

1、的值是（)

sin70°

A\B.与c.GD.>/2

【答案】C

2cosl00-sin20o2cos(300-200)-sin200

【解析】

sin70°―cos20。

_2(cos30°cos200+sin30°sin20°)-sin20°

cos20°

_Gcos20。+sin20。-sin20。_Geos20。_6

cos20°cos20°

r一c——sin7°+cos15°-sin8°

2、不用计算器，求值：cosk-sinFsina

【答案】2-百

【解析】

。+。。。

sin7cos15•sin8_sin(15°-8°)+cosl5°-sin80_sin150•cos80_(5

cos70-sin15°-sin8°-cos(15°-8°)-sinl5o-sin8°-cos15°-cos8°—

i6

tan450-tan30°

tanl50=tan(45°-30°)=—1=2-6

1+tan450-tan30°1+是

3

3、求下列各式的值：

tan43°+tan17°.

1-tan43°tan170'

i5冗

1+tan

(2)

1-tan

12

【分析】（1）利用两角和的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可求解;

（2）利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，诱导公式即可求解.

解：⑴黑鬻需山43*7。）-；

15万715万

1+tan—tan+tan

247trr

(2)12412=tan(—+——)=tan——=-tan—=73.

15万1%5441233

1-tan——1-tan—tan—

12412

.,2sin500+cos10°(1+>/3tan100)

4、化间--------------------------------

cos35°cos400+cos50°cos55°

2sin500+cos10°(1+底植。。)

解：原式二-------------------世皿一

cos35°cos400+sin400sin35°

_2sin50o+cosl()o+GsinlO。

cos50'

2sin500+2sin40°2&sin95°2£.

cos5°cos5°

考向四与诱导公式，同角公式结合凑角求值

absinasin/?Vio，公伯

L定义运算=ad-bc若sina二一5，a

cdcosacos尸一记

则夕=

_371

ATB.四C.-D.—

6434

【答案】B

、，sinasin。

【解析】因为\=sinacos/3-cosasin/3=sin(<z-=~~~，

cosacos/7

r-rpi/3'\/10

所以：cos(a-£)=--;

sina=

5,

所以：cosa=2叵

「・sin/?=sin[a—(a—4)]=sinacos(a-一cosasin(cr-/?)

因为夕€0,5

所以：力=ir:.

4

故选B.

2、已知cosa=2^5,cos（〃一a）,且0＜。＜/＜三，求夕的值

,71_7t_71_571

A.—B.—C.—D.—

64312

【答案】B

2R

【解析】由于0＜a＜/?＜5，故0＜夕一,cosa=—^―.

所以sina.

cos（£—a）=^^，所以sin（£-a）=^^,

所以354=（：05]（〃-0）+0]=（：05（4一口/050-5布（£一々）0由0=丫

所以夕=T;T.

4

故选B.

3、若a,力€（0,兀）,cos（a-，）=-j|,sin[|=|-,则sina；）二

“3333/63、63

A.—Bn.——C.—D.——

65656565

【答案】C

【解析】由于a,PG（0,7T）,

所以。〈苫，一兀（一，（。，。4苦，

^.-n<--/3<—,--<a~—<n,

2222

口.(a々I4

且sin|-----B=—,cosa-2=上

122"J5213

故85(三一,)=13.sina"二

5213

所以

a+尸、cosf--/?、63

sinsin=sin-cos

、2>765

故选c.

35

4、已知a,夕都是锐角，sina=g,cos(<z+/?)=--,则sin/?=

,33c63

ATB,4Ic.—D.——

656565

【答案】D

412

【解析】由题可知，cos(z=-,sin(a+4)=5,

所以

sin/?=sin[(a+/?)-a]=sin(a+/?)coscr-cosI…Sina』：一金.

')13513565

故选D.

L1“r.，兀无I1/八兀71、r.1,1.I77T

5、已知sin——a=-(0<a<—),则sm一+a

\3)3322v6

【答案】-亍

【解析】因为sin[g_a]=：(O<a<£),

UJ32

、

Tl

——a

137

272

故答案为：-

亍

6、已知a为锐角，sin(a—g)=g，贝！|cosa=

丫状一、2A/2-y/3

［答案］->-

6

【解析】因为a为锐角，所以a—?无兀,!兀

则

12亚-下>

—X-------=----------------------

326

,,2\/2-y/3

故答案M为：—