相似-比例线段1学

第5讲：相似三角形1:比例线段

一、基础知识

1.比例线段的概念

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做成比例线段，简称比

例线段.若a:b=b:c，则。叫做a,c的比例中项

2.比例的基本性质的证明和应用

(1)若q=£,则〃=秘

bd

小、clia+bc+d....

(2)若:=[,51!]——=——(合比性质)x

bdba

/c、c.ci—bc—d....,

(3)若丁=1,则「一二「一(分比性tt质)

haba

cia+bc+d/人八

(4)若7=1,则--=——-(合分比性质)

baa—bc-a

z_xCITl,.八[〃+C+…+机Cli」、

(5)若一——=...=—，且a。+d+...+〃W0,则n------------——(等比性质)

hdnb+d+...+nb

3.平行线分线段成比例定理

⑴定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

已知：如图h〃h//13

ABDE

求证:~BC~^EF（利用面积）

证明：S^ABE^S\DBE而坐竺0ABSM)BE

S\BEF标’SkBEF

ABDE

从而:~BC~~EF

还可以得到以下比例式:

AB_DEBC_EFBC_EF

~BC~~EF''AC~~DF''AB~~DE

DAFDF

(2)推论：如图，如果£>E〃BC,则A吆=空=也

ABACBC

A

4x+2y_3z弘公

【例1】已知2='=三,求------——的值

4733x-y-2z

【例2】（1）若土=』，则D的值为（）

y5x-y

3

A.4B.-4c

-15

,、.a+bb+cc+a

(2)已知----=-----=-----求a:b:c.

101115

【例3】（1）如图5-4,直线/1〃/2〃4,另两条直线分别交4、0、A于点A、B、C及D、E、F,且

AB=3,DE=4,EF=2,贝！］

BC1BC2

nC.BCDE=6D.BCDE=8

DE2DE3

（2）如图5-5,AABC的面积为18cm2,点D、E、F分别位于AB.BC、CA上，且AD=4cmf

DB=5cm,如果aABE的面积和四边形OBEF的面积相等，则△A6E的面积是（）

A.8cmB.9cm2C.lOcm2D.12cm2

AE24,,..

【例4】如图,已知AD//EG//BC,AD=6,BC=9,---=—＞求GF的长.

AB3

E

F

【例5】如图，/ABC中，DE〃BC,BE与CD交于点D,AO与DE、BC分另U交于点N、M,求证：(1)

ANON

(2)BM=MC

【例6】图中AD是/ABC的中线，E是AD上的点，且AE=2DE,连结BE并延长交AC于F.(1)求

.BF

证：AF=FC;(2)求---的值;

EF

【例7】如图5—2,在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，

AD与BE交于点F,若AE：EC=3：4,BD：DC=2：3,求BF：EF的值.

图5-2

【例8】如图5-3,A、C、E和B、F、D分别是NO的两边上的点，且AB〃ED,BC/7FE.

求证：AF/7CD.

图53

[例9]如图5-7,A\B\C分别是在aABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且

1

AA，〃BB，〃CC，.求证：-----1---=

AArBB'CC7

图5-7

【例10】如图5-11,夕ABCD中，M为BC上的一点，DM的延长线交AB的延长线于N.

BCAB

求证:

图5-11

【例11】梯形ABCD中，AB/7CD,对角线交点为O,OE〃AD、OF〃BC分别交AB于E、F.

求证：AE=BF.

AB

EF

【例12］如图，四边形ABCD中，NBAD的角平分线交BD于E点，EF〃CD交BC于F点.

【例13］如图，梯形ABCD中，DC〃AB,AC、BD交于P,过P作MN〃AB交AD于M,交CB于N,

112

求证:--1------

ABCDMN

【例14］如图，/ABC中，AD是角平分线，且NBAC=120°,求证：—+—

ABACAD

【例15】已知在/ABC中，ZBAC=90",ABDE和ACFG是正方形，CD交AB于K,BF交AC于L,

求证：AK=AL.

【例16］在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O,直线1平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC

的延长线分别相交于点M、N,R、S和P,求证：PMPN=PRPS；

练习

“2元yz加/3x+2y.“皿

1.若一=一=一，那么------=____9若x+y+z=26,则尢=____9y=,z=

3464z—2x

2.已知m2：〃2=］：9,则机：

3.若7x—8y=0,则^^=

2x+y

4.下列各级线段中，能成比例的是（)

A.3,6,7,9B.2,5,6,8C.3,6,9,18D.1,2,3,4

5・若ac=bd#O,则()

丸adB.瞑c

A.—=——

bcbb

Cabc

C.—=一D.—=

cdd~h

6.如图5-14,在AABC中，DE〃BC,DF〃AC,则以下比例式中，正确的是（）

DEADAEBF

A.-----=------B.-----

BCBDEC~~FC

八DFCEECFC

C.-----=------D.一

ACACAE~~BF

A

图5-14

7.如图5-15,在Z7ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F,若BE：BC=4：9,贝！|BF：FD

等于（）

A.4：5B.4：10C.5：9D.4：9

8.如图5-17,RtAABC中，NC=90。，正方形DEFC内接于△ABC,DE〃AC,EF〃BC,AC:BC=1:

2,则AF：FC等于（）

A.1：3B.1：2C.1：4D.2：3

图5-17

9.如图5—19,梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,MN经过点O,且MN〃AD〃BC,已知

图5-19

AnAF

10.D、E分别是/ABC的边AB、AC上的点,已知一=——，那么下列各式正确的是（）

ABAC

ADDEABAE一DBABADAE

A.-----=------B.-----=------C.-----=------D・-----

DBBCADACECACDBAC

11.如图，已知AD〃EF〃BC,EF过AC、BD的交点O,则下列结论中错误的是（）.

OEOFOEOF

A,------B.—