高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练23拉格朗日教师版

专题23拉格朗日一、单选题1．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：假如函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．依据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】依据给定条件，求出导数，列方程求解作答.【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，则有，即，解得，所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故选：B2．英国数学家布鲁克泰勒，以发觉泰勒公式和泰勒级数而著名于世.依据泰勒公式，我们可知：假如函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，其中，（此处介于和之间）.若取，则，其中，（此处介于0和之间）称作拉格朗日余项.此时称该式为函数在处的阶泰勒公式，也称作的阶麦克劳林公式.于是，我们可得（此处介于0和1之间）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余项，当不超过时，正整数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知可得，依据可出正整数的最小值.【详解】解：由条件有，即因为，，所以的最小值为.故选：C.3．英国数学家泰勒以发觉泰勒公式和泰勒级数著名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，），其拉格朗日余项是．可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依据题意，得到不等式，结合阶乘的运算，即可求解.【详解】由题意，可得的，即，当时，；当时，，所以n的最小值是6．故选：B.4．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：假如函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（

）（参考数据：.）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【解析】【分析】利用中值点的定义分别求解两函数的中值点即可【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，则由拉格朗日中值定理得，，即，因为，所以，所以函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，设函数在区间上的“中值点”为，由，得，则由拉格朗日中值定理得，，即，作出函数和的图像如图所示，，当时，，由图可知，函数和的图像在区间上有一个交点，即方程区间上有1个解，所以函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以，故选：B5．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：假如函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，依据上述结论，函数在区间上的“中值点”的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数进行分析，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，由，可得，即，解得，所以在区间上的“中值点”的个数为.故选：B.6．英因数学家泰勒(B.Taylor，1685-1731)以发觉泰勒公式和泰勒级数著名于世.由泰勒公式，我们能得到(其中为自然对数的底数，，)，其拉格朗日余项是.可以看出，右边的项用得越多，计算得到的的近似值也就越精确.若近似地表示的泰勒公式的拉格朗日余项，不超过时，正整数的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】依据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可.【详解】依题意得，即，，，所以的最小值是6.故选：B7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：假如函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．依据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】依据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．【详解】函数，则，由，得，即，解得，所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：假如函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】依据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数进行分析，将问题转化为求在上的解的个数问题，再结合余弦函数的性质求解即可..【详解】由题意，函数，所以，所以，所以由拉格朗日中值定理得：，即，所以，由于时，所以在无解，在上有2解.所以函数在区间上的中值点的个数为2个.故选：B.9．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：随意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满意条件的有序数组的个数是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】【分析】分类探讨四个数的组成后，由计数原理求解【详解】明显a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行探讨．最大数为5的状况：①，此时共有种状况；最大数为4的状况：②，此时共有种状况；③，此时共有种状况．当最大数为3时，，故没有满意题意的状况．综上，满意条件的有序数组的个数是．故选：A10．拉格朗日定理又称拉氏定理：假如函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得.已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依题意可得在区间上随意两点连线的斜率大于，因此即对随意恒成立，进而可得结果.【详解】依题意可知，，且，不等式成立，它表示函数在区间上随意两点连线的斜率大于，即在区间上随意两点连线的斜率大于，所以即对随意恒成立，当时，（当且仅当时取等号），所以，即实数的最小值是.故选：C.11．拉格朗日中值定理：若函数在上连续，且在上可导，则必存在，满意等式，若，对，，，那么实数的最大值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意可得，即要求导函数的最大值，令，对求导推断它的单调性，从而求出最大值即可.【详解】由题意知，，，，使得．因为，则，令，则，令得.当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数．所以即，故实数的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：求函数的最大值.12．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变更率与区间某点的局部变更率的关系，其详细内容如下：若在上满意以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】用已知定义得到存在点，，使得，转化为探讨函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．【详解】函数，则，由题意可知，存在点，，使得，即，所以，，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，，只有一个解，即函数在，上点的个数为1个．故选：A13．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：假如函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，则函数在区间上的“中值点”的个数为（

）参考数据：，，.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】先化简再求出，由拉格朗日中值定理可得，故该方程根的个数即为函数在区间上的“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解.【详解】由，知.由拉格朗日中值定理：令，即，，，画出函数图像，如图由图可知，的图象在上有两个交点，所以方程在区间内有解，故在区间上的“中值点”有个，故选:B.【点睛】本题考查拉格朗日中值定理、函数的零点与方程的根的应用，考查理解辨析实力与运算求解实力，属于中档题.14．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：假如函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得．已知函数，，，那么实数的最大值为（

）A． B．0 C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即要求导函数的最大值，令，对进行求导推断它的单调性，从而求出最大值即可.【详解】本题考查导数的应用．由题意知，，，，使得．因为，则，令，则．当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数．所以，所以，所以实数的最大值为0故选：B【点睛】本题考查了导数的应用，关键要结合所给的定义解题，属于一般题.15．2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r满意方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，留意了阅读理解、数学式子的变形及运算求解实力的考查．【详解】由，得因为，所以，即，解得，所以【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是困难式子的变形出错．二、多选题16．对于一组数据，我们记，并称为这组数据的拉格朗日插值多项式．下列说法正确的有（

）．A．对于数据，，，其拉格朗日插值多项式为B．对于随意一组数据，点都在曲线上C．对于随意一组数据，点都大致分布在曲线两侧D．若点共线，则确定为一条直线【答案】ABD【解析】【分析】依据拉格朗日插值多项式的定义逐一分析推断各个选项即可得出答案.【详解】解：对于数据，，，有，，∴，A选项正确．易知，则，∴对随意一组数据，点都在曲线上，B选项正确，C选项错误．若点共线，由题意易知该直线的斜率必定存在，不妨设该直线的方程为．又是一次数不超过的多项式，不妨设，由B选项正确知点为与的公共点．∴方程至少有n个根，即方程有n个根．若该方程每项的系数不全为0，则该方程至多有个根，不成立．∴，则，因此确定为一条直线，D选项正确．故选：ABD．17．以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：假如函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（

）(参考数据：，，，.)A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】先求出的导函数，由拉格朗日中值定理可得，故该方程根的个数即为函数在区间上的“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解，同理由拉格朗日中值定理可得：即的实数根的个数即为函数在区间上的“中值点”个数，从而得出答案.【详解】设函数在区间上的“中值点”为由，则由拉格朗日中值定理可得：又即所以，作出函数和的图象,如图1.由图可知，函数和的图象在上有两个交点.所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”.所以又，函数在区间上的“中值点”为，则由拉格朗日中值定理可得：即，作出函数与的图象，如图2,当时，由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点.即方程在区间上有1个解.所以函数在区间上有1个“中值点”，即故选：BC【点睛】本题考查函数导数中的新定义问题，考查方程是实数根的个数的推断，解答本题的关键是将问题转化为方程在区间上的实数根的个数和方程在区间上的实数根的个数问题，数形结合即可，属于中档题.18．拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：假如函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上“中值点”的个数为，函数在区间上“中值点”个数为，则有（

）（参考数据：，，，.）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】先求出由拉格朗日中值定理可得数形结合推断该方程的隔壁的个数即为“中值点”的个数的值，对于由拉格朗日中值定理可得数形结合推断方程的根的个数即为“中值点”的个数的值，即可得正确选项.【详解】设在闭区间上的中值点为，由，由拉格朗日中值定理可得：，因为，所以，可得，，即作出函数和的图象如图：由图可知，函数和的图象在上有两个交点，所以方程在上有两个解，即函数在区间上有个中值点，所以，，函数在区间上“中值点”为，由拉格朗日中值定理可得：，因为，，所以作出函数与的图象如图：当时，，由图可知函数与的图象在区间上有一个交点，即方程在区间上有一个根，所以函数在区间上有个“中值点”，所以，故选：BC【点睛】方法点睛：推断函数零点（方程的根）个数的方法（1）干脆法：令，假如能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连绵起伏的曲线，并且，还必需结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，依据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则须要求出在一个周期内的零点个数，依据周期性则可以得出函数的零点个数.三、填空题19．2024年1月3日嫦娥四号探测器胜利实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆须要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，放射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，依据牛顿运动定律和万有引力定律，r满意方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．【答案】【解析】【分析】由推导出，进而可得.【详解】由，得，由，得，将代入，得，有，所以，则，所以.故答案为：.20．英国数学家泰勒以发觉泰勒公式和泰勒级数著名于世．由泰勒公式，我们能得到（其中e为自然对数的底数，，，其拉格朗日余项是．可以看出，e的表达式右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项，且不超过时，则正整数n的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】依据题意，列出关于的不等式，结合阶乘的运算，即可求得结果.【详解】由题意，可得，即．当时，；当时，，所以n的最小值是5．故答案为：.21．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，详细如下．假如函数满意如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”________．【答案】【解析】【分析】先求，结合拉格朗日中值的定义，可得求得的值即可.【详解】由可得，所以，由拉格朗日中值的定义可知，即，所以．故答案为：.22．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变更率与区间内某点的局部变更率的关系.其定理表述如下：假如函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一个点使得等式成立，其中称为函数在闭区间上的中值点，函数在闭区间上的中值点为________【答案】【解析】【分析】依据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，求出函数的导数，由“中值点”的定义可得：，求出的值，即可得答案．【详解】解：依据题意，设函数在闭区间，上的中值点为，函数，其导数，所以，则有，即，又由，则；故答案为：．23．在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，假如函数f（x）区间[a，b]上连绵起伏，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为__________________.【答案】【解析】【分析】由拉格朗日中值定理可得,求导函数，代入计算即可得出结果.【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得＝，∵f'（x）＝ex+m，∴+m，即，∴.故答案为：.24．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：假如函数满意如下两个条件：（1）其图象在闭区间上是连绵起伏的；（2）在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值