2024年高中数学专题4-5重难点题型培优精讲对数学生版新人教A版必修第一册

专题4.5对数1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，假如=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：依据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.

用图表示为：2．常用对数与自然对数3．对数的运算性质假如a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：4．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．对数的实际应用在实际生活中，常常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，找寻量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学探讨中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要留意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型1对数的运算性质的应用】【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).【例1】（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【变式1-1】（2022·天津·高考真题）化简(2logA．1 B．2 C．4 D．6【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）计算：2lgA．10 B．1 C．2 D．lg【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）化简1ogA．-log62 B．-【题型2换底公式的应用】【方法点拨】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最终再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知a=lg2，b=lg3，则A．2a+2C．2-2【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知log23=m，logA．mn+3mn+1 B．m+【变式2-2】（2022·安徽·安庆市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log36A．2a+2b1-a【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（）A．45 B．35 C．5【题型3指数式与对数式的互化】【方法点拨】依据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.【例3】（2021·全国·高一课时练习）下列对数式中，与指数式7xA．log7x=9 B．log9【变式3-1】（2021·江苏·高一专题练习）已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【变式3-2】（2021·全国·高一专题练习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（

）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与91C．8-13=12与log812=-1【变式3-3】（2022·湖南·高一课时练习）将13A．log913C．log139=【题型4指、对数方程的求解】【方法点拨】解指数方程：将指数方程中的看成一个整体，解（一元二次）方程，解出的值，求x.解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，依据真数相同转化为关于x的方程求解；其次种类型的对数方程可整理成关于的（一元二次）方程，解出的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模拟）方程lnlogA．1 B．2 C．e D．3【变式4-1】（2021·全国·高一专题练习）方程log2A．12 B．14 C．2【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【变式4-3】（2022·陕西·高一阶段练习）假如方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7⋅A．135 B．lg35 C．lg7⋅【题型5带附加条件的指、对数问题】【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要留意整体思想的应用.【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+【变式5-1】（2022·天津市高二期末）计算下列各题：(1)已知2a=5(2)求2log【变式5-2】（2022·辽宁·高一开学考试）已知3a=5，(1)27a(2)a+【变式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x-2（2）已知a+a-1=7，分别求a【题型6对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学探讨中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要留意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例6】（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满意lgXn=nlg(1+A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【变式6-1】（2022·四川绵阳·高二期末（文））酒驾是严峻危害交通平安的违法行为．依据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了肯定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度削减，若他想要在不违法的状况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（

）（参考数据：lg2≈0.3，A．12 B．11 C．10 D．9【变式6-2】（2022·河南安阳·高三开学考试（理））香农定理是全部通信制式最基本的原理，它可以用香