高中数学热点题型增分练专题06圆教师版新人教A版选择性必修第一册

专题6圆【题型一】求圆1：圆心在直线上求方程【典例分析】（2024·全国·高二）已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题设写出的中垂线，求其与的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.【详解】因为点，在M上，所以圆心在的中垂线上．由，解得，即圆心为，则半径，所以M的方程为．故选：C【提分秘籍】基本规律1.圆的一般方程表示的圆的圆心为，半径长为．2.圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径【变式训练】1.（2024·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为点，在圆上，所以，解得，所以圆的方程是.故选：B.2.（2024·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可．【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为，因为所求圆过点，所以，解得：所以所求圆的方程为：故选：A【题型二】求圆2：外接圆【典例分析】（2024·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】，，，为锐角三角形，的外接圆就是它的最小覆盖圆，设外接圆方程为，则

解得的最小覆盖圆方程为，即，的最小覆盖圆的半径为.故选：C【提分秘籍】基本规律求外接圆：1.利用一般方程，把三个点代入求解2.外接圆是三边中垂线的交点，可以分别求出两边的中垂线方程，接触交点坐标即为圆心。【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（﹣2，2），C（1，﹣7），则该三角形外接圆的圆心及半径分别为（

）A．（2，﹣2）， B．（1，﹣2），C．（1，﹣2），5 D．（2，﹣2），5【答案】C【分析】依据题意，设三角形外接圆的圆心为M，其坐标为（a，b），半径为r，由|MA|＝|MC|和|MA|＝|MB|，求出a、b的值，可得圆心坐标，进而可得r的值，即可得答案.【详解】依据题意，设三角形外接圆的圆心为M，其坐标为（a，b），半径为r，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（﹣2，2），C（1，﹣7），|MA|＝|MC|，必有b＝﹣2，|MA|＝|MB|，则有（a﹣1）2+25＝（a+2）2+16，解可得a＝1，则r＝|MA|＝5；即圆心为（1，﹣2），半径r＝5；故选：C.2.（2024·全国·高二专题练习）已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程.【详解】设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点，分别令，则，．设，则，又曲线与x轴交于M，N两点，则，，，，，所以，，故外接圆的方程．故选：C.3.（2024·江苏·高二单元测试）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故选：C.【题型三】求圆3：内切圆【典例分析】（2024·全国·高二单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，求这个三角形的内切圆圆心和半径．【答案】圆心；半径为.【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答.【详解】依题意，由得直线与的交点，由得直线与的交点，由得直线与的交点，明显，且，即是等腰直角三角形，则直线平分，设的内切圆圆心为，，则，解得，即，半径，所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心，.【提分秘籍】基本规律求内切圆：1.内切圆是角平分线的交点，可以求出三角形两条角平分线，解出交点即为圆心2.待定系数法，到三边距离相等的点即为内心【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为__________．【答案】【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可．【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式则因而圆心坐标为，圆的方程为2.（2024·重庆南开中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，点、、，动点在的内切圆上，则的最小值为_________.【答案】##【分析】求出的内切圆方程，设点，计算得出，其中点，数形结合可求得的最小值.【详解】由两点间的距离公式可知，则是边长为的等边三角形，设的内切圆的半径为，则，解得，因为点、关于轴对称，所以，的内切圆圆心在轴上，易知直线的方程为，原点到直线的距离为，所以，的内切圆为圆，设点，，其中点，所以，，当且仅当点为射线与圆的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.3.（2016·重庆·一模（理））已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为________．【答案】【分析】由两直线方程，得出两直线垂直且交于点，结合圆的几何性质推断出四边形是边长为的正方形，其内切圆半径为，由此可求得答案.【详解】联立，解得，即直线和直线相互垂直且交于点，而恰好是圆的圆心，则AB,CD为圆的两条相互垂直的直径，且,所以，四边形是边长为的正方形，因此其内切圆半径是，面积是，故答案为:.【题型四】点与圆的关系【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）假如直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即．由点在圆内部或圆上可得，即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．故选：C．【提分秘籍】基本规律圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0.【变式训练】1.（2024·安徽·合肥市第八中学高二开学考试）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据点与圆的位置关系建立不等式求解，并留意方程表示圆所满意的条件.【详解】因为点在圆：的外部，所以，解得，又方程表示圆，所以，解得，故实数a的取值范围为．故选：C2.（2024·河北·高二期中）直线与圆有两个公共点，那么点与圆的位置关系是（

）A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定【答案】A【解析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外.故选：A.3.（2024·辽宁·沈阳市第一中学高二阶段练习）已知三点，，，以为圆心作一个圆，使得，，三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为______.【答案】【分析】计算,依据大小确定半径，即可求出圆的方程.【详解】，，，，故所求圆以为半径，方程为.故答案为：【题型五】弦长与弦心距【典例分析】（2024·江苏·滨海县八滩中学高二期中）已知圆：，直线：与圆交于，两点，且的面积为8，则直线的方程为(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解.【详解】由圆的方程可得圆心的坐标为，半径为4．∵的面积为，∴，∴，∴点到直线的距离为．由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为，∴或，∴的方程为或.故选：C．【提分秘籍】基本规律弦长问题：用勾股，即圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则依据勾股得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2－d2【变式训练】1.（2024·江苏·高二期中）已知的三个顶点为，，，过点作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，，三点的坐标可得外接圆的方程，依据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】设的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由O（0，0），M（6，0），N（8，4），得，解得.∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．依据勾股定理得最短的弦|BD|＝，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|•|BD|＝×10×＝．故选：B．2.（2024·四川成都·高二开学考试（文））直线l与圆相交于A，B两点，则弦长且在两坐标轴上截距相等的直线l共有（

）．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】先利用题意得到圆心到直线的距离，然后分直线过原点和不过原点进行假设直线方程，结合弦长即可得到答案；【详解】解：由可得圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离为，当直线不过原点时，设直线l的方程为即，所以圆心到直线的距离为，解得，此时直线为或；当直线过原点时，设直线l的方程为即，所以圆心到直线的距离为，解得，此时直线为或；综上所述，直线l共有4条，故选：D．3.（2024·江西南昌·模拟预料（文））若直线与圆相交于两点，为坐标原点，则（

）A． B．4 C． D．－4【答案】D【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.【详解】由题意得圆的圆心到直线的距离为，所以，所以，所以，故选：D【题型六】到直线距离为定值的圆上点个数【典例分析】（2024·天津市西青区杨柳青第一中学高二期中）已知圆上存在四个点到直线的距离等于，则实数范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据题意可知，圆心到直线的距离小于1，即求.【详解】由知圆心，半径为3，若圆上存在四个点到直线的距离等于，则点C到直线的距离，∴，∴.故选：D.【变式训练】1.（2024·全国·高二课时练习）已知圆上恰有三个点到直线距离等于，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于圆上恰有三个点到直线距离等于，而圆的半径为，所以只要圆心到直线l的距离等于半径的一半即可，然后利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率.【详解】解：由题意，圆心到直线l的距离等于半径的一半，所以，解得，故选：A.2.（2016·湖北黄石·高二阶段练习）能够使得圆上恰好有两个点到直线的距离等于1的一个c值为A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】依据当M到直线l：2x+y+c=0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离等于1求解.【详解】解：圆的方程可化为：，所以圆心M（1，-2），半径r=2，由题意知：当M到直线l：2x+y+c=0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离等于1，，得，而，所以满意题意的c可以是3故选：C3.（2024·山东·日照青山学校高二期末）定义：假如在一圆上恰有四个点到始终线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆的“相关直线”的为（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分析可知，圆心到“相关直线”的距离满意，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为.设圆心到“相关直线”的距离为，由图可知，可得.对于A选项，，不合乎题意；对于B选项，，合乎题意；对于C选项，，合乎题意；对于D选项，，不合乎题意.故选：BC.【题型七】弦长与弦心距：弦心角【典例分析】（2024·江苏·高二课时练习）若直线​与圆​相交于​两点，且​(其中​为原点)，则​的值为（

）A．​或​ B．​ C．​或​ D．​【答案】A【分析】依据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由可知，圆心到直线的距离为，依据点到直线的距离公式可得故选：A【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）已知直线l：与圆O：相交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】以∠AOB为直角时为临界，此时圆心O到直线l的距离，依据题意可得，代入求解．【详解】因为直线l：经过定点，圆O：的半径为，当∠AOB为直角时，此时圆心O到直线l的距离，解得，则当∠AOB为锐角时，．又直线与圆相交于A，B两点，则，即，所以或，故选：A．【题型八】圆过定点【典例分析】（2024·江苏·高二课时练习）点是直线上随意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.【提分秘籍】基本规律类比含参直线过定点。形如，则圆恒过交点【变式训练】1.（2024·河北沧州·高二期末）已知点为直线上随意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.2.（2024·宁夏·银川一中高二期末）假如直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即．由点在圆内部或圆上可得，即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．故选：C．3.（2024·全国·高二）若动圆C过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8,则动圆圆心C的轨迹方程是(

)A． B． C． D．()【答案】C【分析】设并作轴于，由垂径定理得，又，利用两点间的距离公式化简，即可得结果.【详解】设圆心的坐标为，过作轴，垂足为，则，，，得.故选：C.【题型九】两圆位置关系【典例分析】（2024·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知圆：和圆：，则（

）A．时，两圆相交 B．时，两圆内切C．时，两圆外切 D．时，两圆内含【答案】AD【分析】依据题意得两圆圆心距为，圆半径，再依次探讨求解即可得答案.【详解】解：由题知圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径，所以两圆圆心距为，故对于A选项，当，，故两圆相交，正确；对于B选项，当，，故两圆外切，错误；对于C选项，当，，故两圆内切，错误；对于D选项，当，，故两圆内含，正确.故选：AD【提分秘籍】基本规律圆与圆位置关系的判定（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的推断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与，的关系__（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行推断．消元，一元二次方程【变式训练】1.（2024·湖南省邵东市第一中学高二期末）已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是(

)A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【答案】C【详解】两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝，由1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，答案C2.（2024·全国·高二专题练习）分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．【答案】答案见解析【分析】依据两圆的位置关系，可得圆心距和半径之间的关系，由两圆半径分别为1和，以及圆心距|C1C2|＝，进行比较即可得解.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，从而|C1C2|＝，当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切.当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切.当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交，∴当k＝14或k＝34时，两圆相切，当14＜k＜34时，两圆相交.【题型十】两圆公共弦【典例分析】（2024·全国·高二课时练习）已知圆和圆相交，则圆和圆的公共弦所在的直线恒过的定点为（

）A．(2，2) B．(2，1) C．(1，2) D．(1，1)【答案】B【分析】依据题意，联立两个圆的方程可得两圆公共弦所在的直线方程，由此分析可得答案．【详解】依据题意，圆和圆相交，则，则圆和圆的公共弦所在的直线为，变形可得，则有，则有，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为，故选：B．【提分秘籍】基本规律公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程假如“貌似两圆”的方程含参数，则必需先保证两点以限定参数范围：1.保证是两个圆。2.保证两圆相交。【变式训练】1.（2024·全国·高二专题练习）垂直平分两圆，的公共弦的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求解两个圆的圆心，圆心连线即为所求.【详解】依据题意，圆，其圆心为，则，圆，其圆心为，则，垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线，则直线的方程为，变形可得；故选:B.2.（2024·山东泰安·高二期中）圆和圆交于，两点，则两圆公共弦的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】两圆两式相减，得到公共弦所在直线的方程为，结合弦长公式，即可求解.【详解】由题意，圆和圆，两式相减，可得，即公共弦所在直线的方程为，又由圆可化为，可得圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以，即两圆公共弦的弦长为.故选：A.3.2024·全国·高二专题练习）圆心都在直线上的两圆相交于两点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由相交两圆的公共点性质求解，即由直线是线段的垂直平分线求解．【详解】由题意直线是线段的垂直平分线，所以，解得，所以．故选：A．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.．（2024·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.【详解】设圆的标准方程为，将坐标代入得:

,解得，故圆的方程为，故选：C.2.（2024·全国·高二专题练习）已知，则外接圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.【详解】设外接圆的方程为则有，解之得则外接圆的方程为故选：D3.（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知三点，，，则的内切圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线与到直线的距离相等列出一个等式，即可求出圆心，即可进而求出半径，得到答案.【详解】易知是等腰三角形，且，∴圆心在直线上，设圆心，易得直线的方程为，直线的方程为，则，解得，则内切圆的半径为，∴所求圆的方程为.故选：D.4.（2024·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可【详解】由题意，表示圆故，即或点A（1，2）在圆C：外故，即故实数m的取值范围为或即故选：A5.（2024·全国·高二专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.【详解】圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.6.（2024·北京八中高二期末）已知圆：（），直线：.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解析】圆的圆心为到直线的距离为1，由圆上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为到直线的距离为，由此求出的值.【详解】圆的圆心为,则圆心到直线的距离.又圆上恰有三个点到直线的距离为1.所以圆心为到直线的距离为,即。所以故选：A7.（2024·江苏·高二单元测试）若直线与圆相交于，两点，且（为坐标原点），则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先由余弦定理求出，即可得出圆心到直线的距离，即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为2，则在中，由余弦定理可得，即，所以圆心到直线的距离为，则，即.故选：B.8.（2024·江苏·高二课时练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内含 D．相切【答案】B【分析】依据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系推断位置关系.【详解】由题设，：，：，∴，半径；，半径；∴，即两圆相交.故选：B9.（2024·吉林·长春市其次试验中学高二开学考试）两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（）A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0【答案】C【分析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0故选：C培优其次阶——实力提升练1..（2024·全国·高二）某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.【详解】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D2.（2024·全国·高二课时练习）若不同的四点，，，共圆，则a的值为（

）A．1 B．3 C． D．7【答案】D【分析】设圆的方程为，解方程组即得解.【详解】解：设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得，解得，所以A，B，C三点确定的圆的方程为．因为也在此圆上，所以，所以，解得a＝7或（舍去）．故选：D．3.（2024·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，O为坐标原点，则的内切圆的方程为_____________.【答案】【分析】由圆与坐标轴相切（圆心在在第一象限），设的内切圆的圆心为，则半径为.由圆心到切线的距离等于半径求得，从而得圆方程．【详解】由题意设的内切圆的圆心为，则半径为.直线l的方程可化为，由题意可得，解得或（不符合题意，舍去）.∴内切圆的方程为.故答案为：.4.（2024·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C【分析】先求圆心与已知点之间距离，再与半径比较确定选项.【详解】因为，所以点在圆外．故选：C5.（2024·江苏·高二课时练习）已知圆：，直线过点与圆交于A，B两点，若点为线段的中点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题知，进而得，再求直线的方程即可.【详解】解：由已知得，所以.因为为弦的中点，所以，所以，所以，直线的方程为，即.故选：B6.（2024·全国·高二课时练习）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则不行能取值（

）A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离，使得圆心到直线的距离与半径的差的确定值小于1，即可满意题意，求出r的范围．【详解】∵圆心到直线的距离，圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，∴，即，∴．则不行能取值为6．故选：D．7.（2024·山东·肥城市教学探讨中心模拟预料）已知是坐标原点，直线与圆：相交于两点，若，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】依据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知，然后可得圆心到直线的距离，依据点到直线的距离公式列方程可解.【详解】由，得，则圆心为，半径为，易知在圆上，因为，所以，得，则圆心到直线的距离，即，即或.故选：B.8.（2024·全国·高二课时练习）设，则两圆与的位置关系不行能是（

）A．相切 B．相交 C．内切和内含 D．外切和外离【答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为4；圆的圆心为，半径为．两圆心之间的距离为，又因为，所以两圆不行能外切和外离．故选：D．9.（2024·江苏·高二专题练习）当时，两圆与的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交、相切或相离【答案】D【分析】圆心距为，探讨时，时，时，时四种状况，分别计算得到答案.【详解】两圆与的圆心距为，.当时，，两圆内切；当时，，两圆相交；当时，，两圆外切；当时，，两圆外离；故选：.10.（2024·全国·高二专题练习）已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦A． B． C． D．2【答案】A【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.∵圆的圆心，，圆心到直线：的距离，则．故选A培优第三阶——培优拔尖练1.（2024·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设得的中垂线方程为，其与交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可.【详解】由题设，的中点坐标为，且，∴的中垂线方程为，联立，∴，可得，即圆心为，而，∴圆的方程是.故选：B2.（2024·辽宁营口·高二期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，依据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.3.（2024·四川宜宾·高二期末（文））直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】由题意，求出内切圆的半径和圆心坐标，设，则，由表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，从而即可求解最小值.【详解】解：因为直线分别交坐标轴于A，B两点，所以设，则，因为，所以三角形OAB的内切圆半径，内切圆圆心为，所以内切圆的方程为，设，则，因为表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，且在内切圆内，所以，所以，,即的最小值为18，故选：B.4.（2024·山东·乳山市第一中学高二阶段练习）直线与圆相离，则与圆的位置关系是点在圆________．（填“外”或“上”或“内”）【答案】内【分析】先求得的关系式，由此推断出点与圆的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为，由于直线与