第8讲 范围与最值齐飞（含解析）

a+ba+b则OA的取值范围是()【例4】在面积为2的△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则2PC.PB+BC的最小值是.最大值是...________+b2．在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP.BP=2,则AB是.2,ct1at2b的最小值是()A.5B.7C.12D.13为.a+ba+b【解析】a+2b2+y2(x+2)22+y2(x+2)2+y2a+b22x+y++=与与2-2x+1令令则所以当=1时,所求的最大值为2.【点拨】运用坐标法﹐探寻已知条件与所求值之间的代数关系.当且仅当等号成立.故所求的最大值为2·.【点拨】数形结合﹐再利用三角函数的有界性.【解法3】如图8-2,B为AC的中点,2所以当且仅当a+b=b时,等号成立. 所以a+b+b2·2,即所求的最大值是2·2.【点拨】巧用均值不等式.【解法4】记a+b=x,b=y,则x-y=2,x+y=2.因为x2+y2=所以当且仅当x=y=2时等号成立,故所求的最大值是2·2.【点拨】双换元再运用基本不等式.易知以a+b,b为邻边的平行四边形为矩形,于是a+b|2+b|2=4,令a+b=2cosθ,b=2sinθ,0θ,(4,(4,当且仅当时,取得最大值2·.【点拨】合理构造,三角换元.易知以a+b,b为邻边的平行四边形为矩形,于是a+b|2+b|2=4, 所以a+b+b22, 当且仅当a+b=b时等号成立,故所求的最大值是2·2.22【点拨】先探寻已知条件与所求式子之间的关系,找到恒等式a+b+b=4,再运用不等式求最值.22【赏析】【解法1】设向量坐标,再利用所得式子平方和为定值进行三角换元,转化为三角函数最值问题.【解法2】构造向量,数形结合,更快速简洁.【解法3】利用中点化简向量,再利用基本不等式求出最值.【解法4】双换元,更易看出式子本质;【解法5】、【解法6】巧妙构造,开拓思维.【例2】如图8-3,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个点,BA.CA=4,BF.CF=-1,则BE.CE的值是.【解析】【解法1】因为BA.CA=AB.AC=AD2-BD2，2-BD2=AD2-BD2.进而=ED2-BD2=AD2-BD2=【点拨】运用极化恒等式a×b=(a+b)2-(a-b)2【解法2】作点A,E,F关于点D的对称点A,,E,,F,,设BA=a,BA,=b，则由已知得【点拨】向量问题基底化【解法3】因为FB×FC=(AB-AF)×(AC-AF)=AB×AC-AF×(AB+AC)+22225.22【点拨】巧用向量加减法.【解法4】记BC=2m,以BC所在的直线为x轴,BC的中点D为原点建立平面直角坐标系，则B,,,又因为222【点拨】运用坐标法.【赏析】【解法1】使用向量的极化恒等式,是针对含有向量的数量积和可利用中点求解的问题的常用手段,方法简洁有效.【解法2】和【解法3】运用向量的基底和线性运算转化,对思维能力有较高要求.【解法4】使用坐标法,是解决平面向量问题的又一利器.则OA的取值范围是()【解析】【解法1】如图8-5,由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”可知2OP2B+(2OH)2，=2-OP2【点拨】巧用平行四边形性质.【赏析】【解法1】是“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”化成三角形的应用,可以解决一些三角形中有关长度的问题.【解法2】是坐标法,从角度方面解决问题.向量问题主要从“形”与“数”两个角度考虑.【例4】在面积为2的△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则2PC.PB+BC的最小值是.【解析】【解法1】设△PBC中角P,B,C所对的边分别为p,b,c,则由△PBC面积为1知bcsinP=2，所以bc=，所以从而进一步转化为求的最小值.令，得ysinP=2-cosP，即ysinP+cosP=2,其中cosφ=,sinφ=.为单位圆的左半圆.）22【点拨】根据三角形的面积公式,问题可转化为已知VPBC的面积为1,求PC×PB+BC小值﹐结合三角换元﹐即可求出其最小值.4【解法2】设BC的中点为D,则.BC2 故所求的最小值为2·3.【点拨】直接利用向量的线性运算及数量积的运算律进行变形处理.【解法3】以BC中点为原点,BC所在直线为x轴,过BC中点与BC垂直的直线为y.轴建立平面直角坐标系.设Bm2m22222223,.222aaaaa当且仅当m=0,a4=时取等号.故所求的最小值为23.【点拨】建立平面直角坐标系,把向量坐标化,从而把问题转化为函数最值问题.【解法4】如图8-7,取BC中点为M,连结并延长MP交过点A的BC的平行线于点P,,过点M作MH丄P,A,H为垂足.222222而S△ABC=2，即2∣HM∣∣BC∣=2,所以PC【点拨】向量运算,数形结合.【解法1】思维独特,利用面积公式和余弦定理将所求式子转化为分式型三角函数值域问题.【解法2】利用向量运算化简后用基本不等式求最值.【解法3】将坐标法与基本不等式结合.【解法4】用几何法解决向量问题,利用中点转化为向量运算,技巧性较强.【例5】已知向量a,b,a=1,b=2,若对任意单位向量e,均有a.e+b.e最大值是.【解析】【解法1】如图8-8,由题意,对任意单位向量e,均有a.e+b.e·成立,又因为10=2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2,所以(a-b)24,4a.b=(a+b)26-4=2→a.b【点拨】数形结合,结合已知条件,直接利用向量数量积的性质即可求解.【解法2】由题意,要求a.b的最大值,不妨设向量a,b之间的夹角为β,向量a与任意单位向量e的夹角为α,a.e+b.e=cosα+2cos(β-α)=cosα+2(cosαcosβ+sinαsinβ)因为max=所以5+4cosβ6,即cosβ,故a.b=2cosβ,即max=.【点拨】利用向量数量积的定义，把问题转化为三角函数的最值问题，即可求解,【解法3】如图8-9,由题意,要求a.b的最大值,不妨设向量a,e的夹角为α,向量b与任意单位向量e的夹角为β,记α+β=θ,a.e+b.e=cosα+2cosβ=cosα+2cos(θ-α)=cosα+2(cosθcosα+sinθsinα)=(1+2cosθ)cosα+2sinθsinα 6, 6,a.e+b.e ,4所以(1+2cosθ)2+(2sinθ)26,所以cos ,4【点拨】根据向量数量积的定义及运算律,把问题转化为三角函数的最值问题,即可求解.【赏析】【解法1】巧妙运用不等式的性质进行求解,【解法2】与【解法3】稍有区别,均把所求间题转化为三角函数问题进行求解.【例6】已知向量a,b,c满足a=b=2,c=1,(a-c).(b-c)=0,则a-b的取值范围.________【解析】如图8-10,设=c,则=a-c,=b-c,由矩形性质知:OD2+OC2=OA2+OB2,解得,,OD-OCCDOD+OC,所以·7-1a-b·7+1.【点拨】数形结合,根据题干条件,作出草图,结合矩形的性质,即可求解.附:矩形性质证明.已知ABCD为矩形,O是ABCD平面内一点.证明:如图8-11,设AC,BD交于点P,连结OP.222【解法2】,设A,B是以O为圆心,2为半径的圆上的两点,且AC丄BC,Ma-b为ABa-b而MA=MC,所以MO2+MC2=4.设M(x,y),则x2+y2由（*)知,x,所以·7-1a-b·7+1.【点拨】建立坐标系,向量坐标转化为函数值域问题.(2cosα,2sinα),b=(2cosβ,2sinβ)，则由(a-c).(b-c)得(2cosα-1)(2cosβ-1)+4sinαsinβ=0,(α-β)-2(cosα+cosβ)+1=0,所以-12t-1,2α-β16-16cos=2所以2α-β16-16cos=2所以7-1a-b·7+1.所以【点拨】利用三角函数表示向量坐标;结合三角恒等变换,三角函数有界性解决问题.【赏析】【解法1】构造向量,利用矩形性质快速解答.【解法2】利用坐标转换为函数问题,庽常规解法.【解法3】进行三角换元,利用三角函数有界性求最值,计算量较大.强化训练1．1．设非零向量OA满足由{-b∣=1,故当|b|≠0时,以a+b,由{ 222=222=是.即PM丄AB时ΔABO的面积最大,因此原题等价于在RtΔAOB中答图8-1求AP.PO的最大值.(M为OA的中