第7讲 善用内力定理（含解析）

兀【例1】已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且上则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()B.C.3D.2△PAB,△PBC,△PAC的面积S1,S2,S3满足,则【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=3,则△ABC的面积S△ABC的最大值是.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a+b=4,(2−cosA)tan=sinA,则△ABC面积的最大值为.【例5】设a,b,c分别是△ABC中内角A,B,C的对边,且=6cosC,1.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且<F1PF2=60。,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则当取最大值时,e1,e2的值分别是()2.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若asinA+bsinB-csinC=·asinB,则7C=. 3.已知在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=·3,ACTCD,AC=CD,当7ABC变化时,对角线BD的最大值是.4.已知在等腰△ABC中,AB=AC,点D在线段AC上,AD=kAC(k为常数,且0<k<1),BD=l为定长,则△ABC的面积最大值是.5.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若tanB=tanC,则△ABC面积的最大值为.兀【例1】已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且上则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()【解析】由正弦定理的得,即,故3sinθ,当且仅当时等号成立,故【点拨】本题可以从椭圆与双曲线的定义入手﹐得到椭圆与双曲线的离心率的倒数之和接下来围绕这个等式求最值﹐方法很多﹐可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判别式法、平面几何法﹑向量法等不同的方法求解.22mncos60。=m2+n2mn思路一：配方法222mn当且仅当n=0时等号成立,故选A.思路二:基本不等式法也就是当且仅当时等号成立，故选A.思路三:判别式法2m2c(2c)2=m2+n2—mn得n2-mn+m2-4c2=2m2c关于n的一元二次方程有解，,也就是,故选A.【点拨】第一类方法：记F1F2=m>0,PF2=n>0,F1F2=别为e1和e2，不妨设m>n,则PF1+PF2=m+n,PF1-PF2=m-n,则椭圆和双曲线离心率的倒数之和易得如图72,c为定值,只要m最大即可.故当且仅当t=时等号成立,故选A.【点拨】本题也可以从椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式入手﹐得到椭圆与双曲线的离心率的恒等关系式接下来围绕这个等式求最值﹐方法很多﹐可以采用换元法,均值不等式法、柯西不等式法、线性规划法﹑导数法、齐次式法等不同的方法求解.第二类方法：利用在椭圆中=b2tan上在双曲线中S△=b2cot上设椭圆在双曲线中，b12当且仅当e2=3e1=3时等号成立,故选A.问题转化为约束条件+=1下，求z=x+y的最大值.+y,,则x2+3y2=4,需求x+y的最大值.设,则f,,所以f处取得最大值,.所以f(t)max=16,即x+y的最大值为4·i3.【赏析】本题以椭圆、友曲线为载体,考查圆锥曲线的定义和性质、正余弦定理等知识点,注重知识的迁移,条件的等价转化能力.第一类方法围绕离心率的倒数之和,从粆圆与双曲线的定义入手,得到椭圆与攵曲线的离心率的倒数之和接下来围绕这个等式求最值,方法很多,可以采用正弦定理、余弦定理、配方法、基本不等式法、判别式法、平面几何法、向量法等不同的方法求解.解法1:把所求问题化成三角函数问题,利用正弦函数的有界性求最值,注意等号取得的条件.解法2:利用余弦定理得到4c2=m2+n2-mn后,从配方法、基本不等式法和判别式法三个角度展开.其中判别式法应注意变量的转换,把等式看成关于n的方程.【解法1】和【解法2】系常规解法,上手容易.【解法3】:利用平面几何知识,数形结合,需要较好的初中基础.解法4:基于向量的角度思考,以向量为工具,把所求问题通过换元法转化为不等式问题,是值得关注的解法.第二类方法从柇圆与双曲线的焦点三角形面积公式入手,得到椭圆与双曲线的离心率的恒等关系式接下来围绕这个等式求最值,方法很多,可以采用换元法、均值不等式法、柯西不等式法、线性规划法、导数法、齐次式法等不同的方法求解,体现了多种思考视角,蕴含着丰富的数学思想,值得细细品味.【解法5】:利用平方和为定值采取三角换元的方法,最后用辅助角公式化成正弦函数形式,注意取等的条件.【解法6】:巧妙构造出均值不等式的形式,思想灵活,切入点难,不易想到.【解法7】:用柯西不等式求解,对学生能力要求较高.【解法8】:以线性规划为工具,在目标区域内求出目标函数的最大值,体现了数形结合思想.解法9:采取暴力求导的方法,对学生要求较高,适合基础较好的学生练习使用.【解析】【解法10】利用齐次化的方法,最后通过求导的方法求最值. △PAB,△PBC,△PAC的面积S1,S2,S3满足,则【解析】因为ÐPAC+ÐBAP=ÐPAC+ÐPCA=60°所以所以AP=2BP,CP=2AP=4BP,所以【点拨】数形结合,利用三角形相似的判定定理进行等价转换，问题即可迎刃而解.【解法2】如图7-4,作点P关于AB,BC,AC的对称点P1,P2,P3,则7P1=7P1AP3=7AP3C=7BP2C=120。,12,237PBP=180。712,23=AP3,即x=2y,所以P2P3=2AP1,即z=2x=4y,所以.【点拨】数形结合,作出点P关于AB,BC,AC的对称点P1,P2,P3,结合图形的特点,即可求解.【解法3】如图7-5，由条件知sinÐAPB=sinÐAPC=sinÐBPC,所以7APB=7APC=7BPC=120。,作△APC的外接圆圆O,延长BP交圆O于点D.因为7CAB=7ADC,所以BA是圆O的切线,又因为7BPC=120。,所以7DPC=60。,7DAC=60。.所以△DAC为等边三角形,因为7BCD=7BCA+7ACD=90。,所以DCTBC, 所以BD=7,因为BA2=BP.BD,所以BP=.【点拨】数形结合,作出△APC的外接圆,结合余弦定理即可求解.因为所以上APB=上APC=上BPC=12再由面积关系有xy+yz+zx=2,所以x2+y2+z2=3,所以(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=7,即x+y+z=·,将x=·-(y+z)代入x2+y2+z2=3得7-2(y+z)+y2+z2+2yz+y2+z2=3再将y2+z2+yz=3代入上式可得y+z=所以【点拨】利用面积公式结合条件得出上APB=上BPC=上CPA=120。,再利用余弦定理列方程组求解.在△ABP中，由正弦定理有所以【点拨】引入角参数,利用三角形内角和定理及正弦定理进行边化角求解.【赏析】本题条件涉及三角形边、角和面积关系,结论是求长度的比值问题,有一定的难度.【解法1】和【解法2】通过平面几何的知识,回归三角形的本质,减少运算量,体现了数形结合的思想.【解法3】:通过构造外接圆,再利用相关的平面几何知识和余弦定理进行求解.这三种解法都需要掌握必要的几何知识,对学生的平面几何能力要求比较高,值得品味.解法4:通过余弦定理建立各末知量的方程关系,消元求解,需要很好的运算功底.3【解法5】通过正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再利用三角公式进行求解,是解有关三角形题目的常见方法.3,则△ABC的面【例3】已知在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,则△ABC的面积S△ABC的最大值是.【解析】所以S△ABC=.2x.2x.sinA【点拨】设出边长,巧用余弦定理,把面积最值问题转化为函数最值问题，即可求出△ABC面积的最大值.所以由海伦公式2【点拨】利用海伦公式、中线性质及中线长公式,结合均值不等式求解.所以,5S5S,所以S24,S2.【点拨】设出边长,利用余弦定理及辅助角公式进行等价变换,即可求出△ABC面积的最大值.【解法4】如图710,设AD=DC=x,BC=2y,则AB=2x.22+(2y)2化简得2x2=64y2,,【点拨】利用余弦定理引出三边的关系,巧用均值不等式,即可求出△ABC面积的最大值.因为D为AC的中点,则DE= ,,所以S△ABC=4sinαcosα=2sin2α2.【点拨】利用中线及重心性质,将S△ABC转化为S△ABC问题,以角代边,利用三角函数有界性解题.【解法6】如图7-12,过点A作AO丄BC,以BC为x轴,AO为y轴建立平面直角坐标系,设又因为D为AC的中点,所以D,所以 所以所以ab2,【解法7】设点G为△ABC的重心,因为AB=AC,所以BG=CG=【点拨】直接利用重心的性质即可求出△ABC面积的最大值.【解法8】取BC的中点H,AH^BC,G为VABC的重心，BG=S△ABC=6S△BGH2(当且仅当x=y=时取等号)【点拨】利用重心的性质找到等价关系式,再结合基本不等式,即可求出△ABC面积的最大值.【解法9】如图7—13,G为△ABC的重心,取BC中点E,平方得则BE.EA2,【点拨】利用重心的性质及向量的数量积性质,结合均值不等式,即可求出△ABC面积的最大值.【解法10】如图714,以BD中点O为坐标原点,OD及OD的垂直平分线所在直线分别为x轴,y轴建立坐标系.化简得2+y2=2,所以【点拨】建立平面直角坐标系，求出点A的轨迹方程,即可求出△ABC面积的最大值.【解法11】如图7-15,因为AB=2AD,所以点A的轨迹是以EF为直径的圆,其中E,F是使的内外分点,且EF=3.当点A到BD的距离为圆的半径【点拨】确定点A的轨迹圆,利用几何法求解.【解法12】如图7-16,过点A作外角平分线AG,过点A作BC的垂线AE,交BD于点F,易证B,F,D,G四点共线,即=2,上EAG=90。,所以A点的轨迹是以FG为直径的圆.【点拨】通过作辅助线﹐确定点A的轨迹圆,利用几何法求解.点C的轨迹是以为圆心为半径的圆,其中直径端点M,N分别为线段AB的内外分点CM,CN分别为上ACB的内外角平分解法13】如图7-18,B0,3,A-a解法13】如图7-18,B0,3,A-a,-,Ca,,所以【点拨】建系﹐用坐标表示所求三角形面积,再结合中线长,利用二次函数求最值.【赏析】本题主要考查函数最值的应用,根据条件设出变量,利用二次函数的性质求出最值,或构造建系转化为均值不等式问题,注意取等条件.本题考查学生的逻辑思维能力和运算能力,运算量较大,属于中档题.如果能利用阿波罗尼斯圆的性质则运算就简化许多,值得推广.解法1:设出边长,巧用余弦定理,把面积最值问题转化为函数最值问题,即可求出△ABC面积的最大值.【解法2】:利用周长的关系,把周长转化为三边的关系,巧用海伦公式结合均值不等式,即可求出△ABC面积的最大值.【解法3】和解法4:设出边长,利用余弦定理及辅助角公式进行等价变换，即可求出面积的最大值.【解法5】:面积转化后利用倍角公式转化求值域.解法6:建立平面直角坐标系,把问题坐标化,然后利用勾股定理进行转化,再巧用均值不等式,即可求出△ABC面积的最大值.解法7,8、9利用三角形的重心的性质进行解题,从不同侧面考虑间题,体现了数形结合的思想.【解法9】到12利用了阿波罗尼斯圆的具体性质解题.解法13:建立平面直角坐标系,设出点A,C的坐标,利用模长关系,把面积最值问题转化为函数最值问题,即可求出△ABC面积的最大值.【例4】已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a+b=4,(2−cosA)tan,则△ABC面积的最大值为.【解析】又a+c=4,即BC+BA=4>AC,故B点轨迹是棛圆（除去长轴两个端点).以线段AC的中点为原点,线段AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),C(1,0),点B的轨迹方程为以A,C为焦点的椭圆（除去长轴两个端点),即【点拨】根据题干条件进行等价变换,即可得出点B的轨昹方程是椭圆,然后利用椭圆的性质,即可求出△ABC面积的最大值.因为=sinA,所以2sinB=sinA+sinC,所以由海伦公式得S△ABC=·p(p-a)(p-b)(p-c)3(33(3-a)(3-c)2 【点拨】根据题千条件进行等价变换，然后利用海伦公式及均值不等式的常用变形,即可求出△ABC面积的最大值.因为=sinA，所以2sinB=sinA+sinC,所以b=2.【点拨】根据题干条件进行等价变换﹐然后利用余弦定理及基本不等式，即可求出△ABC面积的最大值.【赏析】本题给出的三个解法均由条件(2-cosA)tan=sinA得到b=2,后续的解法有所不同.【解析】【解法1】:利用BA+BC为定值,得到点B的轨迹为椭圆（去掉长轴两个端点),然后利用B为短轴端点时△ABC面积最大的特点,求出最值.解法2:注意到三角形的周长为定值,利用海伦公式及平均值不等式得解.【解法3】:由余弦定理求出cosB,进而有sinB,再利用均值不等式可得ac2=4,得到△ABC面积的最大值.【例5】设a,b,c分别是△ABC中内角A,B,C的对边,且=6cosC,【解析】【解法1】+===+2cosC=6cosC→=4cosC【点拨】根据题干条件进行等价变换,然后利用正弦定理,化边为角，即可求出代数式的值.222222ababab222222ababab【点拨】根据题干条件进行等价变换﹐然后利用余弦定理,即可求出代数式的值.【解法3】+=6cosC→+=6sinAsinB-6cosAcosB+=6tanAtanB-6tan2B+tan2A+2tan2Atan2B=6tanAtanB(tanAtanB-1)(tanB+tanA)2+2tanAtanB(tanAtanB-1)=6tanAtanB(tanA-tanB)(tanAtanB,(tanB+tanA)tanC=4tanAtanB→tanC(|1(tanAtanB,【点拨】根据题千条件进行等价变换,化边为角,然后利用同角三角函数的基本关系式,转化为