广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高二段考二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分。在每小题所给的选项中，只有一个符合题目要求的。1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84，79，86，87，84，93，84，则这组分数的中位数和众数分别是（）A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，852．若椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为（）A．6 B．或 C． D．或3．已知AD是△ABC的中线，，，则（）A． B． C． D．4．现有上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为的圆台，则其体积为（）A． B． C． D．5．己知，则（）A． B． C． D．6．某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（）种．A．18 B．36 C．60 D．727．已知两条不同直线m，n，三个不同平面，，，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则8．若的展开式中的系数为，则a的值为（）A．2 B．3 C．1 D．4二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中。有两个或三个符合题意，全对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分。9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）A．复数为纯虚数B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共扼复数为D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆10．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减11．已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列各选项正确的是（）A．当时， B．的周期为4C． D．的图象关于对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．己知的定义域为A集合，若，则实数a的取值范围是______．13．在平面直角坐标系xOy中，过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程为______．14．国家主席习近平在十九大报告中指出，坚持人与自然和谐共生．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策．某林区一片森林2019年底的木材总量为a万立方米，由于环境保护，树木的木材总量每年在上一年的基础上增加15%，则至少经过______年，使得木材总盘翻两番．（参考数据：，，）四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题13分）在①，，，②其前n项和为，，；③其前n项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答．已知数列为等差数列，（1）求数列的通项公式．（2）若，证明数列的前n项和满足·16．（本小题15分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．（1）求证，；（2）求二面角的正弦值；（3）求直线与平面DB，E所成角的正弦值．17．（本小题15分）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，，证明：．18．（本小题17分）随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差，派送不及时．包装损坏等一系列问题也让市民感到不病，影响了整个行业的持续健康发展．A市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了20名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分100分），根据他们的服务质量得分分成以下6组：，，，……，，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这200名外卖派送人员服务质好的平均得分？（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）A市外实派送人员的服务质量得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本甲均数．若A市恰有2万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这200人一定的现金补助，并准备了两种补助方案．方案一：按每人服务质量得分进行补助，每1分补助4元；方案二，以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数t的可抽奖2次，反之只能抽奖1次．在每次抽奖中、若中奖、则补助200元次、若不中奖，则只补助100元/次、且假定每次中奖的概率均为．问：哪一种补助方案补助总金额更低．参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，．19．（本小题17分）已知椭圆离心率，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点、截得的弦长为，求直线l的方程；（3）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA、QA分别与y轴交于M，N两点、试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．高二段考二数学参考答案1．B【详解】数据84，79，86，87，84，93，84按从小到大的顺序排一列：79，84，84，84，86，87，93，所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误．故选：B．2．D【详解】当焦点在y轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆C的长轴长为；当焦点在x轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆C的长轴长为．故选：D．3．D【详解】．故选：D．4．B【详解】由，，，则圆台的高，根据圆台体积公式得．故选：B．5．D【详解】因为，所以，所以，所以．故选：D．6．B【详解】因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置，B又2、4、5三种位置选择。有种次序；②A在2号位置，B有4，5号两种选择，有种次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有种；故共有种．故选：B．7．D【详解】试题分析：若，，则或m，n相交或m，n异面，A不正确；若，，则或，相交，选项B不正确；若，，则或，相交，选项C不正确；若，则m垂直于内的任意一条直线，而，所以选项D正确．选D．A【详解】依题意，，展开式的通项为，，，当时，，此时展开式的的系数为，当时，，此时展开式的的系数为，所以展开式中的系数为，所以．故选：A9．ABD【详解】对于A，，则为纯虚数，A正确；对于B，，而，即，，则复数对应的点位于第二象限，B正确；对于C，，复数的共轭复数为，C错误；对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确．故选：ABD10．ABD【详解】函数，．此时，，，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，．所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确．故选：ABD11．AB【详解】是定义在R上的偶函数，设，则，，故A正确；由得，的周期为4，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选：AB．12．【详解】，则或，即．①当时，，满足，符合题意；②当时，，所以若，则有或（舍），解得；③当时，，所以若，则有或（舍），解得．综上所迹．故答案为：13．【详解】根据题意，圆经过点，，则圆心在线段AB的垂直平分线上．又由点，，则线段AB的垂直平分线方程为．则有，解可得，即圆心为，圆的半径，故圆的方程为．14．10【详解】第1年：2019年底的木材总量为a万立方米，第2年：2020年底的木材总量为万立方米，第3年：2021年底的木材总量为万立方米，第4年：2022年底的木材总量为万立方米，……第n年：木材总量为万立方米，由木材总量翻两番即为4a，令，，，即．又，，故第11年时，即至少经过10年，才能使得木材总量翻两番．15．【详解】（1）已知数列为等差数列，若选①，，注意到，解得，，从而，所以，若选②其前n项和为，，；则，解得，，所以，若选③其前n项和为，，首先，其次，时，，当时，也满足，故，综上无论选条件①，②，③，都有．（2）由题意，所以．16．【详解】（1）法一、在三棱柱中，平面ABC，则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直）．，M为棱的中点，，又∵平面平面，平面平面，平面．又平面，法二：（1）依题意，以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、．依题意，，，，，（2）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，则，不妨令，得．，．二面角的正弦值；（3）依题意，．（2）知为平面的一个法向量，．直线与平面所成角的正弦值为．17．【详解】（1）的定义域，．若，，则在上单调递增；若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．综上：当时，在上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）因，，设，则．在上单调递减，，．18．【详解】解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以样本平均数为．所以这200名外卖派送人员服务质量的平均得分为70.5．（2）由（1）可知，故，，．2万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间的人数约为（人）．（3）按方案一：所补助的总费用为（元）按方案二：设一个人所得补助为Y元，则Y的可能取值为100，200，300，400．由题意知，；，，，，所以Y的分布列为Y100200300400P，估算补助的总金额为：（元）．，所以选择方案二补助的总金额更