九年级上册期末数学试卷第一学期期末试卷

九年级数学第一学期期末试卷附参考答案

一、选择题(本题共32分，每小题4分)

下面各题均有四个选项，其中R有一个是符合题意的.

1.二次函数y=-(x+l)2-2的最大值是

A.-2B.-1C.1D.2

2.如图，四边形A3CQ内接于。。，E为8延长线上一点，如果

NAOE=120。，那么等于

A.130°B.120°

C.80°D.60°

3.下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

ABCD

4.把抛物线y=Y+l向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

A.y=(x+3)2-1B.y=(x+3)2+3

C.y=(x-3)2-lD.y=(x-3)2+3

5.ZVIBC与是位似图形，且△ABC与△AEC的位似比是1：2,如果aABC的面

积是3,那么△A0C的面积等于

A.3B.6C.9D.12

6.如果关于龙的一元二次方程f—x+J■机—1=0有实数根，那么团的取值范围是

4

A.m>2B.m23C.m<5D.机<5

7.如图，在RtZ\A5C中，ZACB=90°,AC=12,BC=5,

CDL4B于点O,那么sin/8C。的值是

55

A.B.

1213

1212

C.D.

BT

8.如图，在10x10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正

方形，每个小正方形的顶点称为格点.如果抛物线经过图中

的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物

线的“内接格点三角形”.设对称轴平行于y轴的抛物线与网

格对角线的两个交点为A,B,其顶点为C,如果AABC

是该抛物线的内接格点三角形，AB=3近,且点A,B,C

的横坐标%,XB，%满足那么符合上述条件的抛物线条数是

A.7B.8C.14D.16

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.在平面直角坐标系xOy中，点A（-2,〃）在反比例函数），=-9的图象上，A6_Lx轴于

x

点、B,那么△AOB的面积等于

10.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到

/XAB'C,使A夕〃C8,CB,AC的延长线相交于点。，

如果NO=28。，那么N8AC=

11.如图，点。为△ABC外一点，AO与BC边的交点为E,AE=3,

DE=5,BE=4,要使且点8,。的对应点

为A,C,那么线段CE的长应等于.

12.在平面直角坐标系xOy中，A（-m,0）,B（m,0）（其中

〃?>0）,点尸在以点C（3,4）为圆心，半径等于2的圆

上，如果动点尸满足NAPB=90。，（1）线段O尸的长

等于（用含〃?的代数式表示）；（2）机的最小值

为.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算：3tan30°+cos2450-2sin60°.

14.解方程：X2-4X+1=0.

15.如图，在。。中，点尸在直径AB的延长线上，PC,PD

与。。相切，切点分别为点C,点。，连接CO交A8于

点E.如果。。的半径等于36，tanNCPO='，求

2

弦CQ的长.

16.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个

小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C

都在格点上，将aABC绕点A顺时针方向旋转90。得到

△AB'C'.

（1）在正方形网格中，画出△AB'C'；

（2）计算线段A3在旋转到A8'的过程中所扫过区域的面积.

（结果保留兀）

17.某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价〃元,则每天可卖出（800-10°）

件.如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品

的售价是多少元.

18.如果关于x的函数y=0（?+（a+2）x+a+l的图象与x轴只有一个公共点，求实数a

的值.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.如图，小明同学在东西方向的环海路4处，测得海中灯塔P

在它的北偏东60。方向上，在A的正东400米的B处，测得

海中灯塔尸在它的北偏东30。方向上.问：灯塔尸到环海路

的距离PC约等于多少米？（追取1.732,结果精确到1米）

20.如图，在正方形48co中，有一个小正方形EFGH,其中顶点

E,F,G分别在AB,BC,FD上.

（1）求证：XEBFs/\FCD；

（2）连接。H,如果8c=12,BF=3,求tan/HOG的值.

21.如图，在。。中，弦BC,关于直径A3所在直线对称.E为半径0C上一点，OC=30E,

连接AE并延长交。。于点凡连接。尸交BC于点M.

(1)请依题意补全图形；

(2)求证：NAOC=NDBC；

(3)求也的值.

BC

22.已知抛物线C：y=x2+2x-3.

抛物线顶点坐标与X轴交点坐标与y轴交点坐标

抛物线C：y=x2+2x-34_____)B(______)(1,0)(0,-3)

变换后的抛物线G

(1)补全表中48两点的坐标，并在所给的平面直

角坐标系中画出抛物线C；y

(2)将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，

纵坐标变为原来的可证明得到的曲线仍是

2

i

抛物线，(记为£),且抛物线G的顶点是抛物0,17

线C的顶点的对应点，求抛物线£对应的函数

表达式.

五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(52),8(3,〃)在反比例函数y='(小为常

2x

数)的图象G上，连接A。并延长与图象G的另一个交点为点C,过点A的直线/与

x轴的交点为点0(1,0),过点。作CE//x轴交直线I于

点、E.

(1)求〃?的值及直线/对应的函数表达式；

E

(2)求点E的坐标；

(3)求证：^BAE=ZACB.

24.如图，等边三角形A8C的边长为4,直线/经过点A并与AC垂直.当点P在直线/

上运动到某一位置(点P不与点A重合)时，连接PC,并将aACP绕点C按逆时针

方向旋转60。得到△BCQ,记点P的对应点为Q,线段用的长为根(/n>0).

(1)①NQBC=°；

②如图1,当点尸与点8在直线AC的同侧，且加=3时，点Q到直线/的距离

等于:

(2)当旋转后的点Q恰好落在直线/上时，点P,Q的位置分别记为玲，Qt.在图2

中画出此时的线段EC及△8C。)，并直接写出相应加的值；

(3)当点P与点B在直线AC的异侧，且△以。的面积等于邛时，求〃z的值.

25.如图1,对于平面上不大于90。的NMCW,我们给出如下定义：若点P在NMON的内

部或边界上，作PE±OM于点E,PFLON于苴F,则称PE+PF为效P相对于

ZMON的“点角距离”，记为d(P,/MON).

4

7-

6

5

4-

3

2

1

24-3-2-\0~23456%

-1

-2

-3-

图1图2

如图2,在平面直角坐标系xOy中，对于40X，点尸为第一象限内或两条坐标轴正

半轴上的动点，且满足d(P,4Oy)=5,点尸运动形成的图形记为图形G.

(1)满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积

等于:

(2)设图形6与不轴的公共点为点A,已知8(3,4),M(4,l),求或例,NAO3)的值;

(3)如果抛物线y=—gd+加经过仁)中的A,B两点,点。在A,B两点之间

的抛物线上(点。可与A,B两点重合)，求当d(Q,NAO3)取最大值时，点。

的坐标.

第一学期期末

九年级数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题(本题共32分，每小题4分)

12345678

ABBCDDBC

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9.3.10.28.11.—.12.(1)zn；(2)3.

4

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

13.解：3tan30°+cos2450-2sin60°

央手图-*...........................................3分

=6+l-6

2

14.解：—4x+1=0.

a=\,b=-4,c=1,...................................................................................1分

,/一4ac=(-4)2—4x1x1=12........................................................................2分

-b±y]b2-4ac_4+>/}2

3分

~^a-—T~

4±2百

=2±G

2

•••原方程的解是为=2+6，々=2-G........................................................5分

15.解:连接0C.（如图1）

PC,尸。与。0相切，切点分别为点C,点。，

...OCLPC,............................................................................................................I分

PC=PD,ZOPC=ZOPD.

：.CDLOP,CD=2CE........................................2分

tanZCPO=-,

2

•*.tanZOCE=tanACPO=-...................3分

2

设OE=k,则CE=2A,OC=®.(k>0)

,/。0的半径等于3&,

0=3#＞，解得％=3.

CE=6.4分

:.CD=2CE=\2............................5分

16.(1)画图见图2.....................2分

(2)由图可知△ABC是直角三角形，AC=4,BC=3,

所以AB=5...............3分

线段AB在旋转到AB'的过程中所扫过区域

是一个扇形，且它的圆心角为90。，半径为5.

............................4分

•01心1-25

,•S扇物s'BUwnxAB=4KX5=~4n'

...................5分

所以线段4B在旋转到AB'的过程中所扫过区域的面积为上兀.

4

17.解：根据题意,得(a-20)(800-10a)=8000.(20WaW80)..............1分

整理，得a2-100a+2400=0.

可得(”40)3—60)=0.

解方程，得％=40,出=60......................................3分

当q=40时，800-10^=800-10x40=400（件）.

当出=60时，800-10a=800-10x60=200（件）.

因为要使每天的销售量尽量大，所以a=40.........................4分

答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售

价应是40元.........................................................5分

18.解：(1)当a=0时，函数y=2x+l的图象与x轴只有一个公共点成立......1分

(2)当aWO时，函数y=+(a+2)x+a+l是关于x的二次函数.

V它的图象与x轴只有一个公共点，

关于x的方程ax2+(a+2)x+a+l=0有两个相等的实数根...2分

A=(a+2)2—4a(a+1)=0..................................3分

整理，得3/—4=0.

解得a=±—V3............................................5分

3

综上，a=O^,a=±—>/3.

3

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19.解：如图3,由题意，可得/B4C=30。，ZPBC=60°.

..............................2分

AR

・・・ZAPB=ZPBC-ZPAC=30°.

，

ZPAC=ZAPB.图3

JPB=AB=400..........................................3分

在RtAPBC中，ZPCB=90°,NPBC=6。。,尸8=400,

PC=PB-sinZPBC=400x=20073=346.4^346(米)..............4分

2

答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米.............................5分

20.(1)证明：如图4.

,/正方形ABC。，正方形EFGH,---------------^1»

ZB=ZC=90°,ZEFG=90°,

BC=CD,GH=EF=FG./

又•.•点F在BC上，点G在FZ)上，1/

NOFC+NE尸8=90°,NDFC+NFDC=9。。,/

AZEFB=ZFDC.................［分B1------------1c

△EBFs^FCD..............................2分

(2)解：VBF=3,BC=CD=\2,图4

CF=9,DF=dCF'+CU=15.

/,、/日BECF

由(1)得---=---

BFCD

.BFxCF3x99

・・BE=----------==—3分

CD124

GH=FG=EF=dBE?+BF=—....................................................4分

4

45

DG=DF-FG=—

4

tanZH£>G=—........................................................................5分

DG3

21.(1)补全图形见图5............................................................I分

(2)证明：：弦BC,8。关于直径A8所在直线对称，

NDBC=2ZABC...............2分

XVZAOC=2ZABC,

NAOC=NDBC..................................3分

(3)解：*/BF=BF，

ZA=Z£>.

又丁ZAOC=ZDBC,图5

・・・/XAOE^^XDBM................................................................................4分

OEBM

~OA~~BD'

OC=3OE,OA=03

BM_OE_OE

~BD~~OA~~dc~l>

,/弦BC,3。关于直径A8所在直线对称,

BC=BD.

BMBM1

22.解：⑴A(-D,3(—3,0).....................................................................................2分

画图象见图6.................................................................................................3分

(2)由题意得变换后的抛物线G的相关点的坐标如下表所示:

抛物线顶点坐标与X轴交点坐标与y轴交点坐标

变换后的抛物线G^(-2,-2)BX-6,0)(2,0)(0,-1.5)

设抛物线G对应的函数表达式为y=a(x+2)2-2.(a^O)

说明：其他正确解法相应给分.

五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)

23.解：(1)•.•点A(±2)在反比例函数y='(山为常数)的图象G上,

2x

m=—x2=l...........................................................................................1分

2

反比例函数丁=生(机为常数)对应的函数表达式是y=’.

XX

设直线/对应的函数表达式为丁=依+人(匕〃为常数，ZW0).

,/直线/经过点A(±2),£)(1,0),

2

—k+h=2,k=—4,

・•・2解得《

b=4.

k7+b=OM.

・・・直线/对应的函数表达式为y=-4x+4................................................2分

(2)由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为2)................3分

2

,/。£〃》轴交直线/于点日

,,%=•

3

・•・点£的坐标为E(—2).4分

2

(3)如图7,作AFLCE于点F,与过点5的y轴的垂线交于点G,BG交AE于点M,

作CHLBG于点H,则BH//CE,NBCE=/CBH.

113

.A(-,2),C(---2),EQ,-2),

222

，点尸的坐标为尸(g,—2).

.CF=EF.

・AC=AE.

・ZACE=ZAEC.......................5分

•点3(3,〃)在图象G上，

1

・〃=一,

3

1•^(3,—),G(—,—),H(——.

32323

AG2--2

在RtAABG中，tanZABH=——

BG3,3

2

CH

在RtZkBC”中，tan/CBH=—.r!_2

BH3+13

2

・・・ZABH=ZCBH....................................................................................6分

:.NBCE=NABH.

­?NBAE=ZAMH-/ABH=ZAEC-ZABH,ZACB=ZACE-/BCE,

(3)作BG_L4c于点G,过点。作直线/的垂线交/于点。，交BG于点F.

CAJ_直线I,

：.ZCAP=90°.

易证四边形为矩形.

等边三角形ABC的边长为4,

AZACB=6Q°,DF=AG=CG=-AC=2,NCBG=工NCBA=30。.

22

:将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60。得到△BCQ,

：.△ACP^/XBCQ.

：.AP=BQ=孙ZPAC=ZQBC=90°.

：.NQB尸=60°.

在Rtz\Q2F中，ZQFB=90°,ZQBF=60°,BQ=m,

QF=m................................................................................................5分

要使△公。存在，则点P不能与点4,玲重合，所以点P的位置分为以下两

种情况：

①如图9,当点尸在（2）中的线段4A上（点P不与点A,4重合）时，

可得0<〃?〈受，此时点。在直线/的下方.

:.DQ=DF—QF=2-Bm.

一/

RC.

整理，得G/_4„2+百=0.图9

解得町=—■或丐=6.

经检验，m=正或J5在0<加<迪的范围内，均符合题意.…7分

33

②如图10,当点P在（2）中的线段A4的延长线上（点P不与点A,4重

合）时，可得加>竽，此时点Q在直线1的上方.

解得tn=-------------(舍负).图10

经检验，“=26+®在一〉迪的范围内,符合题意........8分

33

综上所述，，〃=弓或G或空手包时，△以Q的面积等于日.

25.解：(1)满足条件的其中一个点P的坐标是竺；..........................1分

(说明：点尸(x,y)的坐标满足x+y=5,0WxW5,0WyW5均可)

25

图形G与坐标轴围成图形的面积等于二...........................2分

(2)如图11,作于点E,MF_Lx轴于点E则MF=1,作M£>〃x轴，交

。8于点。，作BKLx轴于点K.

4

由点8的坐标为8(3,4),可求得直线0B对应的函数关系式为y=-X.

3313

.•.点。的坐标为。（二,1）,DM=4——=—.

444

・・・03=5,sinZAOB=—=-,

OB5

4

sinZMDE=sinZAOB=-.

5

13413