2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习11解三角形提高题

单元复习11解三角形一、单选题1．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用余弦定理即得．【解析】由余弦定理，得，解得AC=1.故选：B.2．已知的三个内角、、满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得结果.【解析】因为，由正弦定理可得，设，则，，由余弦定理可得，，因此，.故选：C.3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】由正弦定理得到，得出，进而，即可求解.【解析】因为，由正弦定理可得，即，又因为，所以，即，因为，所以，所以，所以为钝角三角形.故选：A.4．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB.【解析】在中，，所以，有，所以，在中，，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，即两个基站A、B之间的距离为.故选：D5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】根据正弦定理结合题干条件可得到，再由余弦定理得，代入已知条件可得到最终结果.【解析】因为，根据正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故选：A.6．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知条件结合两角和的正切公式及诱导公式可求出角，再利用正切定理可得，结合角的范围可得，从而可求出面积的取值范围【解析】因为，所以.因为，所以.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，.所以.所以.所以.故选：D.二、多选题7．三角形中，角的对边分别为，下列条件能判断是钝角三角形的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用正余弦定理逐一判断即可【解析】A：由可知，且，所以是锐角，故A不能判断；B：由,得，则为钝角，故B能判断；C：由正弦定理，得，则，，故C能判断；D：由正弦定理，条件等价于=，则，即，故，则，故D不能判断.故选：BC8．不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（

）A．，有一解 B．，有两解C．，有两解 D．，无解【答案】AD【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.【解析】A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确；B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误；C：由正弦定理，显然无解，错误；D：由正弦定理，显然无解，正确；故选：AD三、填空题9．已知在中，，则等于________.【答案】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【解析】因为在中，，所以正弦定理可得，则令（），由余弦定理得，故答案为：10．在中，已知，则的取值范围为___________.【答案】【分析】利用二倍角公式分析得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，令，则，，利用函数的单调性可求得的取值范围.【解析】因为，所以，因为、，故，所以或.因为，故，故.则由正弦定理得，因为，所以，所以，设，则，则，设，，则在上单调递增，则，即.所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角B的大小；(2)若，，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.【解析】（1）由正弦定理可得，又，所以，因此，又，所以；（2）由余弦定理，得，所以，所以△ABC的面积.12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，再使用余弦定理求出A；（2）由面积公式求出，再使用余弦定理求出，进而求出周长.(1)因为，所以，化简得，所以.因为，所以.(2)因为的面积为，所以，得.因为，，所以，整理得，解得.故的周长为.13．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【分析】若选①，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选②，由已知条件三角恒等变换可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值；若选③，由已知条件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理边化角求a＋2b最大值.【解析】若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得，由，得，由，得，∵，∴，，由正弦定理，有，∴，，∴，(其中，)∵，∴存在A，使得，此时取得最大值为.若选②：，∵A＋B＋C＝π，∴，，化简得，由，得，∵，∴.下同①；若选③：，，由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.下同①.14．（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；（i）用分别表示和，并求出的取值范围；（ii）若地到直线的距离为，求的最大值．【答案】（1）；（2）（i），，；（2）的最大值为10．【分析】（1）由正弦定理得，再由恒等变换求得，根据角的范围得，由余弦定理得，根据基本不等式得，令内切圆的半径为R，由三角形的面积公式求得，由此求得内切圆半径的最大值；（2）（i）在中，由余弦定理得，①，在中，由余弦定理得，，②，两式进行加减运算可求得，，由已知不等式可求得的范围．（ii）由和，设，得，，根据函数的单调性可求得的最大值．【解析】解：（1）因为，且，所以，由正弦定理得，又，所以，由于，得，即，又，可得，得，即，由余弦定理得，可得，由，得，所以有，令内切圆的半径为R，故，，得，代入，得，故，故内切圆半径的最大值为；故答案为：.（2）（i）在中，，，由余弦定理得，，又，所以，①，在中，，，由余弦定理得，，②，①+②得即①②得，所以又，所以，即，又，即，所以．（ii），故，又，设，所以，，又，，在上都是增函数；所以，在上是增函数，所以的最大值为，即的最大值为10．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.一、单选题1．在中，是边上的一点，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可得出，利用正弦定理可知，设，在中由正弦定理得：，进而利用诱导公式、两角和与差正弦和余弦公式、二倍角正弦公式进行化简，求出的值，从而得出.【解析】解：如图所示，在中，，，所以，由正弦定理知，设，，，所以，设，在中，由正弦定理得：，则，即，所以，整理得，即，即，所以，又，则，所以．故选：C.2．在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（

）A．的外接圆面积是；B．；C．可能等于14；D．作关于的对称点，则的最大值是.【答案】D【分析】对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．【解析】解：对A：，，由正弦定理可得，即的外接圆半径，的外接圆面积是，故选项正确；对B：由余弦定理可得，故选项正确；对C：由正弦定理可得，，，故选项正确；对D：设关于的对称点我，到的距离为，，即，又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以，即，所以的最大值是，故选项错误．故选：D．3．瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为．已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（

）．A．60m B．90m C．108m D．120m【答案】A【分析】设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，作出图形，根据条件可得，，由余弦定理可得答案.【解析】解：如图，设瀑布顶端为P，底端为H，瀑布高为h，该同学第一次测量时所处的位置为A，第二次测量时的位置为B，由题意可知，，，且，所以，，在中，由余弦定理可知，，即，解得．故选：A．4．设△的三边长为，，，若，，则△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【解析】设，△的内切圆半径为r，如图所示，法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，从而得或，∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，，从而得．又，代入①式，得，即，上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，∴△为等腰直角三角形．（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，综上，△为直角三角形．法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因为为三角形内角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，将其代入⑤，得：．变形得，即⑥，由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，综上，△为直角三角形．故选：B5．已知函数，a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且则下列不等式一定成立的是（

）A． B．f(cosA)≤f(cosB)C．f(sinA)≥f(sinB) D．f(sinA)≥f(cosB)【答案】D【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得，从而得到.由和在上的单调性得到,，而大小不确定，大小不确定.利用复合函数的单调性法则判断出在上单调递减.对四个选项一一验证：对于A、D：因为，所以f(sinA)≥f(cosB).即可判断；对于B、C：因为大小不确定，大小不确定.【解析】因为a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且由余弦定理得：利用基本不等式可得：，所以，所以.因为，所以，所以,所以.因为在上单调递增，在上单调递减，所以,,即,.由于A、B大小不确定，所以大小不确定，大小不确定.当x>0时，.因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减；因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递减.对于A、D：因为，所以f(sinA)≥f(cosB).故A错误，D正确.对于B、C：因为大小不确定，大小不确定，所以B、C不能确定.故选：D【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择．6．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．【解析】解：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.【点睛】关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.二、多选题7．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】AD【分析】先利用正弦定理从条件中求出，得到选项A正确.选项B利用为锐角三角形求解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.【解析】在中，由正弦定理可将式子化为，把代入整理得，，解得或，即或(舍去).所以.选项A正确.选项B：因为为锐角三角形，，所以.由解得，故选项B错误.选项C：，因为，所以，，即的取值范围.故选项C错误.选项D：.因为，所以，.令，，则.由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.又，，所以.即的取值范围为.故选项D正确.故选：AD.8．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.【解析】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题9．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，，，则长度的最大值为_________【答案】【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【解析】正三角形ABC中，，设，则根据题意有：，中，中，根据正弦定理得：中，根据正弦定理得：化简计算得：（）当时，有最大值.故答案为：.10．拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在中，，以、、为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为、、，若的面积为，则的周长的取值范围为__________．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示图形，把几何问题转化为代数问题解答，即可求出周长的取值范围．【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：设，，，所以以、为边作等边三角形，其中一边在、的延长线上；由，，，；所以，，；同理，，；；所以等边△的面积为，解得，所以；在中，由，所以，所以的周长为，又，且，所以，解得，当且仅当时取“”；又，，所以，，，即的周长最小值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，面积、边长的计算转化为坐标运算是关键，利用均值不等式即可求出最小值，属于难题.四、解答题11．在中，角的对边分别为，且.(1)求A的值；(2)若，，当的周长最小时，求的值；(3)若，，且的面积为，求的长度.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.【解析】（1）由及正弦定理，得，因为，且，所以，即，因为，所以；（2）由余弦定理，得，将代入，整理，得，因为，所以的周长为，当且仅当，即时取等号，所以当的周长最小时，；（3）由的面积为，得，所以①，又，所以，，由正弦定理，得，②由①②可得，因为，所以，在中，由余弦定理，得，所以.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，与平行，(1)判断△ABC形状(2)设，，在下列三个条件中任选一个，求的值.条件①：若，；条件②：若；条件③：若，.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)等腰三角形；(2)选条件①②，选条件③.【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得出，再由正弦定理及两角差的正弦公式化简即可求出，判断三角形形状；（2）根据正弦定理及（1）的结论可得，根据条件①②③分别代入即可得出结果.(1)因为与平行，所以,即，由知，所以，即,故△ABC为等腰三角形.(2)选条件①，由正弦定理知，，,因为,,所以，即，又，所以.若选条件②：，由正弦定理可得，,因为,,所以，即，又，所以.选条件③：若，，则由正弦定理可得，,因为,,所以，即，又，所以.13．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.（1）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积；（2）已知，，，设.①若，求MN的长；②求面积的最小值.【答案】（1）；（2），【分析】（1）过点作交于，作交于，利用三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积；（2）依题意，表示出，，，再由正弦定理表示出，，，，①由同角三角函数的基本关系求出，即可求出，从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值.【解析】解：（1）如图，过点作交于，作交于，则因为，平分且，（2）在中，，所以，，，又，设，，，，在和中由正弦定理可得，即，，，，①当时，则，，②令因为，，所以当时，【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.一、单选题1．（2023·四川成都·成都七中校考二模）的内角所对的边分别为，且，则的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.【解析】由得，又，所以，从而，所以.故选：B2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据余弦定理与正弦定理角化边求解即可.【解析】解：因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A3．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.【解析】依题意，如图，在中，，则，由正弦定理得，即，因此（海里），所以两点间的距离是海里．故选：A4．（2022·浙江杭州·模拟预测）在中，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边，代入后即可得答案.【解答】解：因为，，，则故选：B.5．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：作出图形，设，则.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根据平面向量的运算可得，，两式联立，结合基本不等式即可求解.【解析】方法一：如图，设，则.在中，由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.方法二：由题可得，，所以①.又因为，所以②，由①②得，由①得，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选：.6．（2020·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知正实数，设，.若以为某个三角形的两边长，设其第三条边长为，且满足，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据基本不等式得，，再根据余弦定理得，由得，故.【解析】解：先根据基本不等式得：，，因为其第三条边长为，且满足，所以由余弦定理得：，因为所以，即，所以.故选：D.【点睛】本题考查满足三角形的条件时求参数的取值范围，解题的关键是结合余弦定理和基本不等式进行，是难题.二、多选题7．（2020·福建漳州·统考模拟预测）在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据三角形面积公式，结合正弦定理和圆的性质进行判断求解即可.【解析】，A正确；已知所以即，D正确；若为锐角三角形，所以，若为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；，所以，C错．故选：ABD.8．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.【解析】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题9．（2023·河南·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，