江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高二上学期10月阶段测试数学试题

2022～2023学年第一学期高二10月阶段测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接计算抛物线焦点得到答案.【详解】抛物线，则，，故焦点坐标为.故选：D.【点睛】本题考查了求抛物线的焦点，属于简单题.2.过两点的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线斜率即可得出倾斜角.【详解】因为直线AB的斜率为，又倾斜角的范围，所以直线AB的倾斜角为.故选：C.3.已知直线：与直线：垂直，则实数的值为（）A. B.C.或 D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据直线垂直的关系即得.【详解】由两直线垂直可得，解得或.故选：C.4.若直线与椭圆交于点，，线段中点为，则直线的斜率为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据点差法，可得答案.【详解】设，则，两式相减可得，整理可得，由线段中点为，则，故直线的斜率.故选：B.5.已知两点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”下列直线中，不是“点定差直线”的有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据双曲线的定义，求得点的轨迹方程，联立直线与双曲线，求交点，可得答案.【详解】由题意，点的轨迹是以两点为焦点的双曲线的右支，则，即方程为，对于A，联立方程，消去可得，则，则方程无实数解，故直线与双曲线无交点，故A符合题意；对于B，联立方程，消去可得，解得，故直线与双曲线的右支有一个交点，则B不符合题意；对于C，联立方程，消去可得，则，解得，由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故C不符合题意；对于D，联立方程，消去可得，则，解得，由，则直线与双曲线的右支存在一个交点，故D不符合题意.故选：A.6.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为10，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的几何性质求解.【详解】，根据椭圆的几何性质可知，当轴时，有最小值，此时的最大值为10，此时在中，令则，所以，所以的值是.故选:D.7.若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长是（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．【详解】由题意作出图形分析得：由圆几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心、，则在中，，，所以，斜边上的高为半弦，且，则，即，所以.故选：C.8.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（）A.与（，）共轭的双曲线是（，）B.互为共轭的双曲线渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率、，则D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】B【解析】【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A正确；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，B错；对于C选项，设，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D正确.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.过点并且倾斜角为90°的直线方程为B.直线的纵截距是C.直线的倾斜角为60°D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为【答案】AB【解析】【分析】对于A，由倾斜角与斜率之间关系，可得答案；对于B，由斜截式方程的定义，可得答案；对于C，由一般式方程转化成斜截式方程，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案；对于D，由直线方程，求得所过的顶点，由此作图，可得答案.【详解】对于A，由倾斜角为，则直线斜率不存在，即垂直于轴，故方程为，则A正确；对于B，由斜截式方程，易知直线纵截距为，故B正确；对于C，由一般式方程，可得斜截式方程，设该直线的倾斜角为，则，故，故C错误；对于D，由一般式方程，则斜截式方程，易知直线过顶点，可作下图：则直线的斜率，直线的斜率，故，则D错误.故选：AB.10.关于，的方程表示的曲线可以是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断.【详解】根据椭圆的定义，若即，方程表示焦点在轴上椭圆，所以A正确；若，即，则方程表示焦点在轴上的双曲线，所以B选项正确；因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，所以C错误；当即时方程为表示圆，所以D正确.故选:ABD.11.以下四个命题表述正确的（）A.圆上有4个点到直线：的距离都等于1B.已知，，三点，动点不在轴上，且满足，则直线的斜率取值范围是C.圆：与圆：恰有一条公切线，则D.圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，为切点，则直线经过定点【答案】BD【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系转化为代数式求解.【详解】(1)圆心到直线：的距离，而圆的半径等于2，所以圆上只有3个点到直线距离等于1，所以A错误;(2)设点，由得，化简得（），设过点且与（）相切直线方程为即，则有，解得，因为点在圆（）上，所以的斜率取值范围是，所以B正确；(3)由题可知解得，所以C错误；(4)因为点为直线上，所以设，圆：的圆心为，所以中点坐标为，，所以以为直径的圆方程为，即，圆与圆的公共弦直线方程为，即令，则，解得，所以直线过定点,所以D正确.故选:BD.12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一.关于曲线给出下列四个结论，其中正确结论是（）A.图形关于轴对称B.图形关于轴对称C.曲线上任意一点到原点的距离都不超过D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于3【答案】ACD【解析】【分析】利用图象对称就是点对称，距离公式，以及结合图形可解决.【详解】若点在曲线上，则有，则点也满足曲线的方程，即图形关于轴对称，所以A正确；点不满足曲线的方程，即图形不关于轴对称，所以B错误；当时，方程可写，由重要不等式得，所以所以，曲线上的点到原点的距离等于，所以C正确；作出心形图如图，可知心形图上半部分面积大于长为2，宽为1的矩形面积，下半部分大于腰长为的等腰直角三角形的面积，所以心形面积大于3，所以D正确.故选:ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________．【答案】或【解析】【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，又直线l过点，故直线l的斜率，故直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即，∴直线l过点，∴，∴，∴直线l的方程为．综上可知，直线l的方程为或．故答案为：或.14.已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.【答案】##0.5【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率.【详解】由题意知，直线的方程为：，由等腰三角形，，得，过作垂直于轴，如图，则中，，故，，所以，即，代入直线，得，即，所以所求的椭圆离心率为.故答案为：..15.设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切,过圆心C的轨迹E上的一点作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N，则的周长__________．【答案】【解析】【分析】首先根据双曲线的定义求出动圆的轨迹方程，再表示出直线的方程，即可判断在直线上，再根据双曲线的定义计算可得；【详解】解：设动圆的半径为，若动圆与圆相内切，与圆相外切，则，，动圆与圆相外切，与圆相内切，则，，动圆与两圆中的一个内切，另一个外切，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线．即，，所求圆心C的轨迹的方程为；依题意直线的方程为，恰好经过，所以在线段上，所以，，所以，，所以，即，所以故答案为：16.已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】过点作垂直于准线，根据抛物线的定义结合条件可得，进而可得当和抛物线相切时，的值最小，然后利用直线的斜率公式及导数的几何意义即得.【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角，故当最小时，的值最小，即当和抛物线相切时，的值最小，设切点，则，由的导数为，则的斜率为，所以，，，，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点和直线：.（1）求过且与直线的平行的直线方程；（2）求点关于直线：的对称点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为，再代入即可得解；（2）不妨设所求点为，由对称性可知及线段的中点落在直线上，得到方程组，解之即可.【小问1详解】因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，代入得，解得，故所求直线方程为.【小问2详解】设关于的对称点为，又直线：可化为，故由及线段的中点落在直线上可得：，解得，所以对称点坐标为.18.求满足下列条件的曲线标准方程：（1）两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；（2）与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；(2)根据双曲线及渐近线方程的定义求解.【小问1详解】设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，，又椭圆过点，，又，，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】方法一：(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，双曲线的标准方程为：或方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）焦距为，，双曲线的标准方程为：或19.已知点，，若以为圆心的圆，被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，当最小时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据直线被圆截得的弦长公式求解即可;(2)当与圆相切且切于点下方时，最小.【小问1详解】设圆的标准方程为：圆被直线截得的弦长为，圆的标准方程为：.【小问2详解】当与圆相切且切于点下方时，最小，此时.20.已知点，，动点满足直线与的斜率积为，记的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）已知直线：与曲线交于两点，且在曲线存在点，使得，求的值及点的坐标.【答案】（1）：（），是除去左右两个端点的双曲线（2）时，，当时，.【解析】【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；（2）将直线与曲线联立消去，设，利用韦达定理得和，再设，由列方程解出的值即可.【小问1详解】动点满足直线与的斜率积为即：（），是除去左右两个端点的双曲线【小问2详解】将直线与曲线联立得，设，则，设，由得，即，又因为，解得，所以当时，，当时，.21.已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，点在椭圆上，轴，点时椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值是，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆方程结合条件可得，进而可得，根据椭圆的定义可得，即得；（2）由题可设：，利用韦达定理法可得的垂直平分线，进而可得点的纵坐标，然后利用两点间的距离公式即得.【小问1详解】由题可知，，轴，由代入，可得，又，，，，即，又，，又，，，椭圆的标准方程为：；【小问2详解】设：，联立得：，设，，则，，，中点坐标为，中垂线方程为，令时，点的纵坐标的最大值为，，则，，当时，的最大值为.22.已知抛物线：，为其焦点，为原点，是上位于轴两侧的不同两点，且.（1）求证：直线恒过一定点；（2）若点为轴上