新教材人教A版高中数学必修第二册 第八章立体几何初步 知识点总结及章末测验

第八章立体几何初步知识点总结及章末测验

知识网络理清系统

基本思想基础知识基本技能

空间与平面转化，位

—、置关系转化，体积、

I距离的一花

转化思想

线面位置关系、

几何体分类等

分类思想

I空间类比平面I

类比思想

空间点、线、面

几何体的画法，之间的位置关系

点、线、面位置

关系的画法-

判

空间直线、

行为操作经验F定

点、线、面位置

平面的平行、

关系及定理、空性

质

间几何体的探究一

T推理技能

点、线、面位置关

系的推导与证明

立体几何及与其他

知识的•应用

空间直线、

T线面垂直卜

平面的垂直

基本活动

经验

------------------总结归纳要点研究------------

要点训练一空间几何体的结构特征

1.紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征,依据条

件构建几何模型,在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加

线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

2.通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只

要举出一个反例即可.

1.设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相

等的直四棱柱是正方体;③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平

行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的

个数是（）

A.lB.2C.3D.4

解析：底面是矩形的直平行六面体是长方体，①错误;棱长都相等的

直四棱柱是正方体，②正确;侧棱垂直于底面两条相邻边的平行六面体

是直平行六面体，③错误;任意侧面上两条对角线相等的平行六面体是

直平行六面体，④错误.故命题正确的个数是1.

答案:A

2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析:如图所示，在长方体A8CQ-48GQ1中，取四棱锥Ai-ABCQ,

则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.

答案:D

要点训练二空间几何体的表面积与体积

1.空间几何体表面积的求法

⑴以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确

定几何体中各元素之间的位置关系及数量.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注

意衔接部分的处理.

(3)旋转体的表面积问题，应注意其侧面展开图的应用.

2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体问题是可直接用公式求解的柱体、锥体或台

体，则可直接利用公式进行求解.

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换

法、分割法、补形法等进行求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体

的直观图，再根据条件求解.

1.已知一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，

侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.

解析：由题意可知,该六棱锥是正六棱锥.设该六棱锥的高为/?,则

工x6x@x22x/z=2V^,解得/?=1.由题意,得底面正六边形的中心到其边的距

34

离为所以侧面等腰三角形底边上的高为J(V3)2+1=2,所以该六棱

锥的侧面积为6xix2x2=12.

2

2.如图所示,三棱锥O-ABC为长方体的一角，其中040&0C两两垂

直，三个侧面0AB,Q4C,0BC的面积分别为1.5cm2,lcm2,3cnr2,求三棱

锥0-A3c的体积.

AC

R

解:设OA,OB,OC的长依次为xcm,ycm,zcm,

由已知可得浓=1.5,$2=1,1)2=3,解得x=l,y=3,z=2.

将三棱锥0-A8C看成以C为顶点，以OAB为底面，易知0C为三棱

3

锥C-OA8的高.故VO-ABC=VC-OAB=^S/\OAH-OC=1x1.5x2=1(cm).

3.如图所示，已知三棱柱A8CX5C；侧面8BCC的面积是S,点4

到侧面B5CC的距离是“，求三棱柱A8CA6c的体积.

R

解:连接ARAC,如图所示,

R

这样就把三棱柱A8C-ABC，分割成了两个棱锥，

即三棱锥4-A8C和四棱锥A'-BCCB

设所求体积为匕显然三棱锥4-A8C的体积是gv.

而四棱锥A'-BCC'B'的体积为fa,

古攵有，所以V=^Sa.

要点训练三与球有关的切、接问题

与球相关问题的解题策略

(1)作适当的截面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方体，则截

面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题.

⑵对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系,

主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关

系中来解决.

1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6,底面边长为

4,则该球的表面积为（）

A.竺447TB.4竺84%C.当81D.167T

394

解析:如图所示，设PE为正四棱锥P-ABCD的高,

则正四棱锥P-ABCD的外接球的球心。必在其高PE所在的直线

上，延长PE交球面于一点尸，连接日

由球的性质可知尸为直角三角形，且AELPE因为该棱锥的高

为6,底面边长为4,所以AE=2/，尸E=6,

2

所以侧棱长PA=<PE2+A£2=J62+（2V2）=V44=2VTT.设球的

半径为R,则PF=2R.由△P4Es△。网,得P^PFPE,即44=2Rx6,解得

/?=/,所以5=4兀/?2=4兀、（斗2=当21.

答案:B

2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个

球的体积是争r,那么这个正三棱柱的体积是（）

A.96V3B.16V3C.24V3D.48V3

解析：由球的体积公式可求得球的半径R=2.设球的外切正三棱柱

的底面边长为。，高即侧棱长，为/?,则/?=2R=4.在底面正三角形中,由正三

棱柱的内切球特征，得全曰=/?=2,解得a=4V3.故这个正三棱柱的体积

V=|X^X(4V3)2X4=48V3.

答案:D

要点训练四空间中的平行关系

1.平行问题的转化关系

性质

判定

2.直线与平面平行的主要判定方法

⑴定义法;⑵判定定理;(3湎与面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法;⑵判定定理;(3)推论;(4)a，a,a_LQna〃。

1.如图所示,三棱柱ABC-A'B'C'^,M,N分别为BB。的中点.求

证:MN〃平面ABC'.

证明：取BC的中点P,连接MP,NP(图略)，则MP//BC',NP//A'B'.

因为A'B'〃43,所以N尸〃A8

因为A3u平面ABC；NPC平面ABC,

所以NP〃平面ABC.

同理MP〃平面ABC.

因为NPCMP=P，所以平面MNP//平面ABC.

因为MNu平面MNP,所以MN〃平面ABC.

2.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,

M^AC,N^FB,^尸N,过点M作MH±AB于点H.

求证:平面MN”〃平面BCE.

证明：因为正方形ABCD中,MHLAB,BC.LAB,

所以MH//BC.

因为BF=AC,AM=FN,

所噜嘿

因为MH//BC,

所以%=处,

ACAB

所以空="

BFAB

所以NH//AF//BE.

因为MHu平面MNH,NHu平面MNH,MHCNH=H,

BCu平面BCE,BEu平面BCE,BCHBE=B,

所以平面MNH//平面BCE.

要点训练五空间中的垂直关系

1.空间中垂直关系的相互转化

判定

性质

2.判定线线垂直的方法

(1)平面几何中证明线线垂直的方法.

(2)线面垂直的性质:Qa,buana_Lb;a_La,b//a=a_Lb.

3.判定线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂

直”.

(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也

垂直”.

(4)利用面面垂直的性质.

4.判定面面垂直的方法

(1)利用定义:两个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理:

1.如图所示,RtZiAOC可以通过RtAAOB以直角边A0所在直线为

轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角Q是AB上任意一点.

求证:平面COD_L平面AOB.

证明：由题意，得。0,40,8。_140,所以/80。是二面角B-AO-C

的平面角.

因为二面角8-A0-C是直二面角，所以N3OC=90°,所以C0L80.因

为Aoneo=o,所以co工平面AOB.

因为COU平面COD,所以平面COZ5_L平面AOB.

2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PA_L平面ABCD,AB=BC=2,

AD=CD=V7,PA=V3,ZABC=120°,G为线段PC上的点,O为AC,BD交点.

(1)证明:3O_L平面APC;

⑵若G满足尸C_L平面8GQ,求的值.

GC

(1)证明：由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.

所以。为AC的中点,BO_L4C.

因为P4J_平面A3C£),8Ou平面所以PAVBD.

因为ACDP4=A,ACu平面APC,PAu平面APC,

所以8。_1_平面APC.

(2)解:连接OG,如图所示.

因为PC_L平面BGROGu平面BGD,所以PCLOG.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC=J22+22-2X2x2xcosl20°=2V3.

在RtAPAC中，得PC=y/AC2+PA2=y/12+3=V15.

所以由△GOCs△APC可得

从而PG=S空,所以竺二2

要点训练六空间角的求解方法

1.找异面直线所成角的三种方法

(1)利用图中已有的平行线平移.

(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.

(3)补形平移.

2.线面角

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过

斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线

在平面内的射影所组成的直角三角形.

3.求二面角的两种常用方法

(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过

该点作垂直于棱的射线.

(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半

平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.

1.如图所示，在三棱锥P-ABC中,PAJ_平面ABC,ZBAC=90°,

ABRAC,分别是的中点,ACM。,设PC与QE所成的角为a,PD

与平面ABC所成的角为以二面角P-BC-A的平面角为％则a,fi,y的大小

关系是a<£<y.

解析：因为。万分别是BC,AB的中点,

所以OE〃AC,所以PC与DE所展的角为NPCA,即a.

因为平面ABC,所以P。与平面ABC所成的角为NPD4,即。

如图所示，过点A作垂足为“，连接PH,

易证8CJ_平面PAH,所以NPH4是二面角P-BC-A的平面角，即y.

因为ABWAC,所以AD>AH.

因为4c>A。，所以AC>AD>4",所以"徐篇，

所以tana<tany?<tan%所以a<§<y.

2.如图所示,A3是00的一条直径『A垂直于00所在的平面,C是

圆周上不同于A,8的一动点.

(1)证明:△P3C是直角三角形;

⑵若PA=A8=2,且当直线尸C与平面48c所成角的正切值为加时,

求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

(1)证明：因为是。。的一条直径，。是圆周上不同于4,8的一动

点，所以BC.LAC.

因为平面ABC,所以BCVPA.

因为PAAAC=44Au平面P4C,ACu平面PAC,

所以平面PAC,

所以BCLPC,

所以△8PC是直角三角形.

(2)解:如图所示，过点A作AHLPC于点"，连接BH.

因为平面PAC,所以BCLAH.

因为PCCIBOC,尸Cu平面PBCBCU平面PBC,

所以平面PBC,

所以ZABH是直线A8与平面PBC所成的角.

因为平面ABC,

所以NPCA即是PC与平面A3C所成的角.

因为

tanZPCA=—AC=V2,PA=2,

所以AC=VI

在RtZ\PAC中,AH=°：竺一厂2班,

\/PA2+AC23

/o

在RtAABH中,sinNA3"=¥=],

即AB与平面PBC所成角的正弦值为更

要点训练七转化思想

转化思想是指在解决数学问题时，一个数学对象在一定条件下转化

为另一种数学对象的思想.它包括从未知到已知的转化,从一般到特殊

的转化等，折叠问题中体现了转化思想.

解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况,

看看哪些元素的位置变了，哪些元素的位置没有变，基本思路是利用“不

变求变"，一般步骤如下：

⑴平面一空间:根据平面图形折出满足条件的空间图形，想象出空

间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化.

(2)空间一平面:为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元

素的变与不变.

1.如图所示,四边形ABCD中,AO〃8C,AQ=A8,N3CD=45。,

NR4O=90。.若将△ADS沿BD折起,使平面平面BCO,构成三棱

锥A-3C。,则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()

A.平面A3。平面A3c

B.平面A。—平面BOC

C.平面ABC，平面BDC

D.平面4OC，平面ABC

解析：因为在四边形ABCD中,4O〃8C,AO=A8,N8CO=45。,

N8A0=9O°,所以BD1CD.

因为平面A8DL平面BCD,且平面A80n平面BCD=BD,

所以CC平面ABD,所以CD_LAB.

因为平面AQC,CDu平面ADC,

故A3,平面ADC.

因为ABu平面ABC,所以平面ABC,平面ADC.

答案:D

2.如图所示,在矩形ABCO中,A8=2,3C=1方为0c的中点产为线段

EC(端点除外)上一动点.现将沿AF折起,使平面A3。，平

面ABC.在平面ABD内过点D作QKLA3,垂足为K.设AK=f,则t的取值

范围是(a1).

AR—AKR

解析:如图所示，过点K作KM1AF于M点，连接DM,

易得DM±AF,与折前的图形对比，

可知在折前的图形中O,M,K三点共线，且DK1AF,

于是AD4Ks△尸QA,

所以竺=竺.所以工=所以t=—.

ADDF1DFDF

1

因为D/£(1,2),所以ZG(-1).

3.如图①所示，在等腰梯形CDEF中,。£=。。=/无尸=2+四,将它沿

着两条高AD,CB折叠成四棱锥E-ABCD(E,F两点重合),如图②所示.

⑴求证

(2)设M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N,使得

"N〃平面DAE.

(1)证明：因为4。，石”所以4。，424。，48.

因为A3nAE=AdBu平面AB&4EU平面ABE,

所以AO，平面A8E,所以AQ，BE.

由题图①和题中所给条件知,AE=BE=i,AB=CD=V2,

所以氏A¥,即AELBE.

因为平面4。及AOu平面ADE,

所以BEL平面A。瓦所以BEIDE.

(2)解:如图所示，取EC的中点G,BE的中点、P,连接PM,PG,MG,

则MP//AE,GP//CB//DA,

E

所以MP〃平面D4E,GP〃平面DAE.

因为MPAGP=P，所以平面MPG〃平面DAE.

因为MGu平面MPG,

所以MG〃平面”4瓦即存在点N与G重合满足条件,

使得〃平面DAE.

章末质量评估（八）

（时间:120分钟分值:150分）

一'单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题所

给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.若用A,B表示点，用a表示直线,a表示平面,则下列叙述中正确的

是（）

A.若Aua,3ua,贝（JABua

B.若，则AB^a

C.若则AB^a

D.若A£q,aua,则A^a

答案:D

2.下列说法中正确的是（）

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C.所有的几何体的表面都能展成平面图形

D.棱柱的各条棱都相等

答案:B

3.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360。形成的曲面所围

成的几何体是（）

A.球

B.圆柱

C.圆台

D.两个共底面的圆锥组成的组合体

答案:D

4.（2020年新高考全国I卷）日辱是中国古代用来测定时间的仪器，

利用与号面的垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一

个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所

成角，点A处的水平面是指过点A且与QA垂直的平面，在点A处放置一

个日号,若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。,则号针与

点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案:B

5.如果空间中有三条线段和CD,且那么直线

A3与直线CZ）的位置关系是（）

A.AB//CD

B.AB与CD异面

CAB与CO相交

D.AB//CD或A3与CD异面或AB与CZ）相交

答案:D

6.设m,n是两条不同的直线,a/,y是三个不同的平面，给出下列命题:

①若m//a,n//£,a〃■，则m//%②若则a〃£;③若

_L£,a〃£,贝!Jm//期④若，则a//fi.

其中正确命题的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

答案:C

7.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.若“小球”的直

径为38mm,“大球”的直径为40mm,则“小球”的表面积与“大球”的表面

积之比为（）

A.V19：V20

B.19：20

C.192：202

D.193：203

答案:C

8.若正三棱柱有一个半径为V3cm的内切球，则此棱柱的体积是

（）

A.9V3cm3

B.54cm3

C.27cm3

D.18V3cm3

答案:B

二、多项选择题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给

出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的

得3分，有选错的得0分）

9.已知等腰直角三角形直角边长为1,若将该三角形绕其某一边旋

转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）

A.V2KB.（l+V2）n:C.2&7TD.（2+V2）TT

答案:AB

10.对于不重合的两个平面a与小给定下列条件,其中可以判定a与

£平行的有（）

A.存在平面％使得a/都平行于y

B.存在平面外使得a/都垂直于y

C.«内有不共线的三点到£的距离相等

D.存在异面直线/,m,使得l//a,l//fi,m//a,m//^

答案:AD

11.在正方体A8CD431G。中乃，尸,G分别为棱A1Q1AAA田的中

点，下列命题中正确的是（）

A.EFLBiC

B.8G〃平面EFG

C.AC，平面EFG

D.异面直线所成角的大小为；

答案:ABC

12.如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为菱形,N0AB=6O。,侧面

PAD为正三角形,且平面PAD_L平面A8CZ）,则下列说法正确的是（）

A.在棱AD上存在点M使AQJ_平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为90°

C.二面角P-BC-A的大小为45。

平面尸AC

答案:ABC

三、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题

中的横线上）

13.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面面积为16TIcm2.

14.若四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,E,RG分别为PA,PD,

CD的中点，则BC与平面EFG的位置关系为平行.

15.若棱锥的高为16,底面积为512,平行于底面的截面面积为50,则

截得的棱台的高为11.

16.（2020年新高考全国I卷）已知直四棱柱ABCQ-AiBiGQi的棱长

均为2,NB4D=60。.以U为球心，而为半径的球面与侧面BCC\B\的交线

四'解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算过程）

17.（10分）某圆柱有一个内接长方体48。0-4囱©。,该长方体的体

对角线长是10V2cm,该圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是

IOOTTcm2,求该圆柱的体积.

解:设该圆柱底面半径为rem,高为"cm.如图所示，

则该圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角

线长，

f（2r）2+F=（10/产b=5,

k2nrh—IOOTT,4=10.

所以Viatt=5/z=7rr2/z=7Tx52xl0=2507r（cm3）.

18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形,

ZABC=90°,/\PAC是直角三角形,NPAC=90。,平面PAC_L平面ABC.

求证:平面尸48,平面PBC.

A

R

证明：因为平面PAC_L平面ABC,PALAC,

平面ABCTI平面PAC=AC,P4u平面PAC,

所以PA_L平面ABC.

因为BCu平面ABC,所以PALBC.

因为平面PAB,PAu平面PAB,

所以BCJ_平面PA83Cu平面PBC,

所以平面尸AB_L平面PBC.

19.(12分)如图，在正三棱柱A3CA闰G中尸内分别是ACAG的

中占

求证:(1)平面ABE〃平面GBF.

(2)平面J_平面ACCiAi.

证明：⑴在正三棱柱A8C4BG中,

因为F,Fi分别是ACAG的中点,

所以AF\//C\F.易证得B\F\//BF.

因为B\F\^AF\=F\,C\F^BF=F,

所以平面〃平面GBF.

(2)在正三棱柱ABC-4BG中,A4iJ_平面AiBiCi,

所以BiFi±A4i.

易证得41cl.

因为AiCjn/L4i=Ai,

所以3i*_L平面ACCiAi.

因为BFiU平面ABiFi,

所以平面ABB，平面ACCiAi.

20.(12分)如图所示,四棱锥P-A8C。的底面ABC。是边长为1的菱

形,/8。。=60。方是CD的中点,PA_L底面ABCD,PA增.

⑴求证:平面P3£_L平面PAB.

(2)求二面角A-BE-P的大小.

⑴证明：如图所示，连接BD.

由四边形48CO是菱形，且N8CO=60。,

知△BCD是等边三角形.

因为E是C。的中点，所以BELCD.

因为AB〃CQ,所以BELAB.

因为平面ABCD,BEu平面ABCD,

所以PALBE.

因为PAfM8=4,PAu平面PAB,ABu平面P48,所以BE工平面PAB.

因为BEu平面PBE,

所以平面PBE1.平面PAB.

(2)解：由⑴知8瓦L平面平面PAB,

所以PB.LBE.

因为ABLBE,

所以APBA是二面角A-BE-P的平面角.

在RtAPAB中,tanNPB4=^=『=V^,

所以NP84=60°.

故二面角A-BE-P的大小是60°.

21.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是矩形.已知

AB=AD=PA=PB=2,PD=242.

(1)求点8到面尸AD的距离.

(2)取AB中点O,过点O作OELBD于点E.

①求证:N