2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质（课件）

河北

数学函数图象与性质综合题2023中考备考重难专题课件二次函数性质综合题二次函数性质综合题

课堂练兵

课后小练1

典例精讲23考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究的问题202223解答题10(1)抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；(2)函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离年份题号题型分值考查内容设问形式探究的问题202125解答题10(1)已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；(2)二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；(3)抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差年份题号题型分值考查内容设问形式探究的问题201926解答题12(1)平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；(2)直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；(3)平均数→中点，函数图象上点的性质；(4)直线与抛物线交点个数问题含参抛物线(y=－x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数年份题号题型分值考查内容设问形式探究的问题201626解答题12(1)反比例函数k的几何意义；(2)抛物线与x轴交点坐标，对称轴；(3)二次函数性质求最值，分类讨论思想；(4)反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线(y=－

(x－t)(x－t+4))性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问年份题号题型分值考查内容设问形式探究的问题201525解答题11(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；(2)抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；(3)抛物线与线段交点问题(x轴)，分类讨论思想含参抛物线（y=－(x－h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例

(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；A、B点也在直线上已知条件代入直线解析式例题图要代入图象上A、B两点坐标？解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；例题图例

(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；P(m，m2－3m＋2)先表示点P点C坐标C(m，m＋2)PC=m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m求最大值怎么求？配方例题图注意：点P在AB下方抛物线上，注意m取值范围答题步骤表示点P坐标表示点C坐标表示线段PC长配方求最大值，P点坐标(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；P(m，m2－3m＋2)C(m，m＋2)例题图例

(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB恰好有一个交点，求n的取值范围．y＝x2－3x＋2=(x－)2－观察图象，什么情况抛物线和线段有1个交点？②抛物线过点B把点A和点B代入抛物线，判断n范围例题图化为顶点式①抛物线过点A数形结合答题步骤抛物线化为顶点式猜想符合交点情况判断情况分类讨论判断取值范围(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－

，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2

＝(x－

＋n)2－

，例题图①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－

＋n)2－

＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B(4，6)代入抛物线解析式，得(＋n)2－

＝6，解得n1＝－5，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为－5≤n＜0.∴n的取值范围为－5≤n＜0或0＜n≤3.通过图象可知，例题图例

(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.(4)若原抛物线沿y轴向上平移后顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离及点F的坐标.实质是求一对对应点距离通常是顶点两顶点到x轴距离和点F坐标？例题图两顶点横坐标相同联立抛物线直线解析式平移后顶点坐标答题步骤求平移后抛物线顶点坐标求两顶点间距离求平移后抛物线联立求交点例题图(4)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－∵顶点坐标为(，－

)，向上平移两顶点横坐标相同∴将

代入直线解析式y＝

＋2=，顶点坐标为(，

)∴平移距离=＋=∴平移后抛物线y＝(x－

)2＋

当x＝

时，交点为平移后顶点当x＝

时，

交点F坐标为(，

)

选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结二次函数性质综合题知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；

②顶点式：直接得到顶点坐标；

③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得对称轴：①解析式已知，直接代入x=－

；

②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=解题方法：1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；

②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确

定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段

交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此

类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范

围的两端点的x值分别代入求解即可.课堂练兵练习

(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－

x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；(1)①对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，

)；【解法提示】∵k＝－1，∴y＝－

x2－x＋4＝－

(x＋1)2＋

，∴对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，

).练习题图②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；对称轴判断抛物线图象增减性结合x取值范围判断自变量与对称轴位置，同侧或异侧在对称轴两侧根据增减性判断最值？练习题图练习

(2022河北预测卷自测卷6)如图，抛物线y＝－

x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.拓展：同侧只根据增减性求最值答题步骤求对称轴判断对应函数图象分情况确定最值求最值差②由①得，抛物线y＝－

x2－x＋4的对称轴为直线x＝－1，∵－

＜0，∴当－2≤x≤－1时，y随x的增大而增大，当－1＜x≤1时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，抛物线有最大值为

，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为

，∴当－2≤x≤1时，抛物线的最大值为

，最小值为

，∴最大值与最小值的差为

－

＝2；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．分情况讨论k时，最高点坐标，依据题干条件，判断求解练习

(2022河北预测卷自测卷6)如图，抛物线y＝－

x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图考虑x≤k，当x＝

k是直线，设x＝

k与抛物线交点，抛物线顶点将抛物线y＝－

x2＋kx＋4化为顶点式，此时看抛物线对称轴，顶点有什么发现？将x＝

k代入抛物线顶点式得出交点坐标答题步骤设交点，顶点抛物线化为顶点式求对称轴、顶点、交点k分情况讨论方程求解求k【解法提示】设直线x＝

k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－

x2＋kx＋4＝－

(x－k)2＋

k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，

k2＋4)，当x＝

k时，y＝－

×(k)2＋k×k＋4＝

k2＋4，∴P(k，

k2＋4).解图当k＜0时，如解图，当x≤k时，最高点为R(k，

k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝－2或k＝2(舍去)；解图当k≥0时，如解图，当x≤k时，抛物线的最高点为P(k，

k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝

或k＝－

(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－

或

.(2)k的值为－

或

.解图课后小练练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；练习1题图解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝

，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝

(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令

(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；练习1题图练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？练习1题图(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝

(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－

(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，将点D(6，3)，F(12，0)代入，∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－

(x－8)2＋4.练习1题图当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝

(x－4)2＋2，解得x＝4±，或2.5＝－

(x－8)2＋4，解得x1＝8＋

，x2＝8－

(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋

或4－

或8＋

；练习1题图练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习1题图(3)由抛物线y＝－

(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－

(d－8)2＋4)，则SP＝d－8，PM＝－

(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－

(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－

(d－10)2＋9，∵8＜d＜12，－

＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习1题图练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－

x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；练习2题图练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－

x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；练习2题图(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q的横、纵坐标都不小于0